第七章高等数学课件(共10章)多元函数微分学

1、高等数学高等数学第七章：多元函数微分学第七章：多元函数微分学高等数学课件-多元函数微分学1 设设),(000yxp是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxp距离小于距离小于 的点的点),(yxp的全体，称为点的全体，称为点0p的的 邻域，记为邻域，记为),(0 pu，（1）邻域）邻域0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念 高等数学课件-多元函数微分学2（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的

2、是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设epepuppe .ee 的内点属于的内点属于ep .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集ee41),(221 yxyxe例如，例如，即为开集即为开集高等数学课件-多元函数微分学3的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点epeepeepep 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 ee是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结

3、起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设dddd 高等数学课件-多元函数微分学4连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo高等数学课件-多元函数微分学50| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点

4、，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集eepkapkapaepke 41| ),(22 yxyx高等数学课件-多元函数微分学6（3）聚点）聚点 设设 e 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，p 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 p 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 e，则则称称 p 为为 e 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点高等数学课件-多元函数微分学7 点集点集e的聚点可以属于的聚

5、点可以属于e，也可以不属于，也可以不属于e10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合高等数学课件-多元函数微分学8（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标. n维空间的记号为维空间的记号为;nr n维空间中两点间距离公式维空

6、间中两点间距离公式 高等数学课件-多元函数微分学9),(21nxxxp),(21nyyyq.)()()(|2222211nnxyxyxypq n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nrpppppu ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为高等数学课件-多元函数微分学10 设设d是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点dyxp ),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定

7、的按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称值和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为),(yxfz （或记为（或记为)(pfz ）. .（5）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数高等数学课件-多元函数微分学11例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义

8、域为., 42| ),(222yxyxyxd 高等数学课件-多元函数微分学12（6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为d，对于任意，对于任意取定的取定的dyxp ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxm，当当x取遍取遍d上一切点时，得一个空间点集上一切点时，得一个空间点集),(),(| ),(dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如下页图）（如下页图

9、）高等数学课件-多元函数微分学13二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.高等数学课件-多元函数微分学14xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:高等数学课件-多元函数微分学15定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxpd是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()

10、(|0yyxxpp的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|ayxf成立，则称成立，则称 a a 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( ayxf这里这里|0pp ）.二、多元函数的极限二、多元函数的极限高等数学课件-多元函数微分学16说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似高等数学课件

11、-多元函数微分学17例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立高等数学课件-多元函数微分学18例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200

12、 yxyxyxyxu2 高等数学课件-多元函数微分学19例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在高等数学课件-多元函数微分学20不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放高等数学课件-多元函数微分学21（1） 令令),(yxp沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxp，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同

13、趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxp处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：高等数学课件-多元函数微分学22定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集0, pd是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |00pp的 一 切 点的 一 切 点dp ， 都 有， 都 有 |

14、)(|apf成立，则称成立，则称 a a 为为n元函数元函数)(pf当当0pp 时的极限，记为时的极限，记为 apfpp )(lim0. .n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有高等数学课件-多元函数微分学23 设设n元函数元函数)(pf的定义域为点集的定义域为点集0, pd是其聚点且是其聚点且dp 0，如果，如果)()(lim00pfpfpp 则称则称n元函数元函数)(pf在点在点0p处连续处连续. . 设设0p是是函函数数)(pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(pf在在点点0p处处不不连连续续，则则称称0p是是函函数数)(pf的的间间断断点点.三、多元函数

15、的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3高等数学课件-多元函数微分学24例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 高等数学课件-多元函数微分学25 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx高等数学课件-多元函数微分学26例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(22222

16、2yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续高等数学课件-多元函数微分学27闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同

17、的函数值，则它在d d上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理高等数学课件-多元函数微分学28（3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定在在d d上一致连续上一致连续多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域

18、内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域高等数学课件-多元函数微分学29例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000pfpfppfpfppfpfpppp 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求高等数学课件-多元函数微分学30多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函

19、数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义高等数学课件-多元函数微分学31 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 a，能否，能否断定断定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题高等数学课件-多元函数微分学32思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是

20、 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41高等数学课件-多元函数微分学33一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习

21、习 题题高等数学课件-多元函数微分学34 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .高等数学课件-多元函数微分学35三、三、 证明：证明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .高等数学课件-多

22、元函数微分学36一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 xx21 ； 4 4、 yyx 112； 5 5、 xyyxyx4, 10),(222 ； 6 6、 yxyxyx 2, 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),(2 xyyx. .二、二、1 1、41 ； 2 2、0 0； 3 3、 . .练习题答案练习题答案高等数学课件-多元函数微分学37不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 高等数学课件-多元函数微分学38观察观察26300li

23、myxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学39观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学40观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学41观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学42观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学43观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyx

24、z 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学44观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学45观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学46观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学47观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学48观察观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在不存在.高等数学课件-多元函数

25、微分学49定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法高等数学课件-多元函数微分学50同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导

26、数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.高等数学课件-多元函数微分学51如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域d内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数

27、),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.高等数学课件-多元函数微分学52偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 高等数学课件-多元函数微分学53例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz

28、,82312 21yxyz.72213 高等数学课件-多元函数微分学54例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立高等数学课件-多元函数微分学55例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 高等数学课件-多元函数微分学56 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx

29、yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在高等数学课件-多元函数微分学57例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程rtpv （r为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pttvvp.证证 vrtp;2vrtvp prtv;prtv rpvt;rvpt pttvvp2vrt pr rv . 1 pvrt 高等数学课件-多元函数微分学58偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界

30、点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 高等数学课件-多元函数微分学59、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，高等数学课件-多元函数微分学604、偏导数的几何

31、意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxm 如图如图高等数学课件-多元函数微分学61 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0m处的切线处的切线xtm0对对x轴的轴的斜率斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0m处的切线处的切线ytm0对对y轴的轴的斜率斜率.几何意义几何意义: :高等数学课件-多元函数微分学62),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),

32、(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数高等数学课件-多元函数微分学63例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx高等数学课件-多元函数微分学64原函数图形原

33、函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：高等数学课件-多元函数微分学65例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 高等数学课件-多元函数微分学66定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混

34、合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 d d 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？例例 6 6 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu高等数学课件-多元函数微分学67解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2

35、2222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 高等数学课件-多元函数微分学68偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结高等数学课件-多元函数微分学69若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxp连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxp的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题高等数学课件-多元函数微分学70思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf

36、在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,高等数学课件-多元函数微分学71一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _

37、_ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题高等数学课件-多元函数微分学72 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少?

38、?四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .高等数学课件-多元函数微分学73六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .高等数学课件-多元函数微分学74一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3

39、 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案高等数学课件-多元函数微分学75 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4 . .四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx. .五、五、223231

40、, 0yyxzyxz . .高等数学课件-多元函数微分学76七、七、 0, 0; 0, 00, 0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,0, 12222yxxyyxyxxfxy. .高等数学课件-多元函数微分学77),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义高等数学课件-多元函数微分学78 如果函数如果函数)

41、,(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxp 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 p对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念高等数学课件-多元函数微分学79 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oybxaz ，其中，其中ba,不依赖于不依赖于yx ,而仅与

42、而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，ybxa 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =ybxa . .全微分的定义全微分的定义高等数学课件-多元函数微分学80 函函数数若若在在某某区区域域 d 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 d 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oybxaz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx

43、),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.高等数学课件-多元函数微分学81二、可微的条件二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 高等数学课件-多元函数微分学82证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxp可可微微分分, ),(yyxxpp的的某某个个邻邻域域)( oybxaz 总成立总成立,

44、当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxa axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzb 高等数学课件-多元函数微分学83一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff高等数学课件-多元函数微分学84)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点

45、),(yxp 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.高等数学课件-多元函数微分学85说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证

46、),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 高等数学课件-多元函数微分学86),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,高等数学课件-多元函数微分学87xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yx

47、fyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,高等数学课件-多元函数微分学88习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况高等数学课件-多元函数微分学89例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解

48、解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分高等数学课件-多元函数微分学90例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 高等数学课件-多元函数微分学91例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2co

49、s21(dzyedyzeydxduyzyz 高等数学课件-多元函数微分学92例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.高等数学课件-多元函数微分学93证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx

50、1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf高等数学课件-多元函数微分学94当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxp沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.高等数学课件-多元函数微分学95所以所以),(yxfx在

51、在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df高等数学课件-多元函数微分学96多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导高等数学课件-多元函数微分学97全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxf

52、yxfyxpyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 高等数学课件-多元函数微分学98例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 高等数学课件-多元函数微分学99

53、、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结高等数学课件-多元函数微分学100 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量

54、；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题高等数学课件-多元函数微分学101一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0li

55、m _. _.练练 习习 题题高等数学课件-多元函数微分学102二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹

56、角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .高等数学课件-多元函数微分学103七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .高

57、等数学课件-多元函数微分学104一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125；4 4、yyxyy1,)1( . .二、二、dydx3231 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、3cm3 .55. .五、五、%.30. 1 ,m6 .27,m212822七、七、),(),(yxfyxfyx 在在)0 , 0(处均不连续处均不连续, , ),(yxf在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. .练习题答案练习题答案高等数学课件-多元函数微分学105证

58、证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则一、链式法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 高等数学课件-多元函数微分学106由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvv

59、ztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 高等数学课件-多元函数微分学107.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz高等数学课件-多元函数微分学108 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),

60、(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .高等数学课件-多元函数微分学109uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 高等数学课件-多元函数微分学110 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有