解三角形知识点总结及典型例题

1、课前复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式si n(si n(2两角和与差的余弦公式cos(cos(3两角和、差的正切公式o+ B=sin ocos B+cos osin B o B=sin ocos Bcos osin Bc+ B=cos ocos Bsin osin B o B=cos ocos+sinosin Btan( o+B=邑91 tan tan(tan tantan1 tan tan);tan( o B)=一. (tan tan1 tan tantantan tan).精选资料，欢迎下载 sin22sincos .1 si n22 2sincos2sin c

2、os(sincos )22 cos2 cos2 sin2cos211 2si n2升幕公式1cos2 cos2,12cos2sin2 2降幕公式cos2cos21 . 2 ,sin1 cos222简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: tan22ta n1 tan2默写上述公式，检查上次的作业课本上的!解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1正弦定理及其变形 二、典型例题 题型1边角互化 例1 在 ABC中，若sin A: sin B : sinC 3:5:7，则角C的度数为a b csin A sin B sin C2R （R为三角形外接圆半径）(1 a 2RsinA,b 2R

3、sin B,c 2RsinC (边化角公式)abc(2)si nA ,si nB ,si nC (角化边公式)2R2R2Rasin A asin A bsin B（3） a:b: c sin A:sinB:sin C （4），,-bsin B c sin C csin C2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A,求B时的解的情况：如果si nA si nB，则B有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B有两解;如果sin B 1,贝U B有唯一解；如果si nB 1，则B无解.3、余弦定理及其推论222a b c 2

4、bccosA222b a c 2accosB222cab 2abcosCcosCb22 c2 a2bc222acb2ac222abccosAcosB2ab4、余弦定理适用情况:（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.5、常用的三角形面积公式1 亠（1）S ABC 底咼；21（2） S abcabsinC26、三角形中常用结论11bcsin A -casinB (两边夹一角)22(1) a b c,b c a, a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)；(2) 在ABC中，A B a bsi nA si n B(即大边对大角，大角对大边).(3) 在厶 ABC中, ABC ，所以 s

5、in(A B) sinC ； cos(A B) cosC ； tan(A B).A B C A B . Csin cos ,cos sin 一.2 2 2 2tan C.【解析】由正弦定理可得b22abc2 = 32 52 72 =2 3 5a:b:c 3:5:7，,令 a、b、c依次为 3、5、7，2因为0 C ，所以C3若 a、b、c是 ABC 的三边，f(x) b2x22 2 2 2(b c a )x c ,则函数f(x)的图象与x轴()A、有两个交点 B、有一个交点C 、没有交点 D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得 b2 c2 a2 2bccosA，所以2 2 2 2 2 2 2

6、 2 2 2 2f (x) b x 2bccos Agx c = (bx ccos A) c c cos A，因为 cos A 1,所以 c c cos A 0，因止匕f (x)0恒成立，所以其图像与 x轴没有交点。题型2三角形解的个数例3在 ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A a7, b 14, A 30 ;B、b25, c30, C 150 ;C b4, c 5, B 30 ;Da 6 , b 3 , B 60。题型3面积问题例4ABC的一个内角为1200，并且三边构成公差为 4的等差数列，则ABC的面积为【解析】设厶ABC的三边分别：x4, x,x 4 ,/ C=1

7、20°,a由余弦定理得：(x2 2 24) (x 4) x2x(x 4)cos120°，解得:x 10 , ABC三边分别为6、10、14,1 .1Svabc ab si nC 61015 32 22题型4判断三角形形状例5在 ABC中，已知(a2b2)sin (A B) (a2b2) sin(A B),判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：a2s in (A B) sin(A B) b2 sin (A B) sin(A B)2 2 2a cos Asi nB 2b cos B si nA由正弦定理，即知 si n2AcosAs in

8、 B sin2 B cos B si nAsin Asin B(sin A cos A sin B cosB) 0 sin2A sin2B由 0 2A,2B 2 ，得 2A 2B或 2A2B,即ABC为等腰三角形或直角三角形方法二：同上可得 2a2cosAsin B 2b2cosBsin A由正、余弦定理，即得:a2b2 2c a2bc2b2aa2ac2 2 2 2 2 2 2 2a (b c a ) b (a c b )2 2 2 2 2即(a b )(c a b )0a b 或 c a b ,即ABC为等腰三角形或直角三角形【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转

9、化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状;(角化边)二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。 题型5正弦定理、余弦定理的综合运用(边化角)例6在 ABC中，a,b,c分别为角A.B,C的对边，且si nA si nCpsin B( pR)且 ac1 b245(1)当p ,b 1时，求a,c的值;4(2)若角B为锐角，求p的取值范围。【解析】(1)由题设并由正弦定理，得 a5c -,ac41，解得，a41 、1,c 或 a41,c4(2)由余弦定

10、理，b2 a2c2 2ac cos B = (a2c) 2ac 2accosB即p23cosB，因为 02cosB 1，所以 p2(3,2)，由题设知p2所以62三、课堂练习: 1、满足A 45，c ，a 2的 ABC的个数为m，则am为2、已知a 5,b5 3， A 30，解三角形。3、在ABC 中,已知a4 cm , b4、B、x cm , A 60，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()D 4 X史3C、4 x 833ABC 中,1(a24b2c2),则角C5、设R是 ABC外接圆的半径，且2R(si n2A si n2C)(.2a b) sin B，试求 ABC面积的最大

11、值。-，求 AD .556、在 ABC 中，D 为边 BC上一点，BD 33， sin B ， cos ADC13ABC形状。7、在 ABC中，已知a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a cOsB，试确定b cosA8、在 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知cos A 2cos CcosB2c ab(1)求sin Csin A1若 cosB 一,b42,求ABC的面积。四、课后作业1、在 ABC 中，若(a b c)(bA、等边三角形C直角三角形2、 ABC 中若面积 S=1 (a2 b24c a) 3bc,且 sin A 2sinBcosC，贝V ABC 是B、钝角三角形D等腰直角三角形2c )则角C 3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为h m，则清源山的高度为m。h sin cossin( )B、h cos sinsin( )C、h sin sinsin( )hcos