选修4坐标系+版

1、第一节 坐标系本节主要包括2个知识点：1. 平面直角坐标系下图形的伸缩变换;2. 极坐标系.基础联通突破点(一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换 抓主干知识的“源”与“流”设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换P(x, y)对应到点P' (x', y')，称$为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,的作用下，点简称伸缩变换.考点贯通考点平面直角坐标系下图形的伸缩变换抓高考命题的“形”与“神2求椭圆4+y2= i,经过伸缩变换x' = "x,y' = y后的曲线方程.2方法技巧应用伸缩变换公式时的两个注意点(1) 曲线的伸缩变换是通过曲线

2、上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x, y)与变换后的点P '的坐标(X, Y)，再利用伸缩变换公式X= ax a>0 ,5建立联系.Y= by b>0(2) 已知变换后的曲线方程f(x, y)= 0，一般都要改写为方程f(X, Y)= 0，再利用换元法确定伸缩变换公式.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1. 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换机,3><， 求点A g，一 2 /经过0变换所得的点A '的坐标.x'= 3x,变换后所得到的直线I'的方程.2. 求直线1: y= 6x经过$：= y3.求

3、双曲线2C： x2-6;=1 经过x' = 3x,":k' =y变换后所得曲线C '的焦点坐标.X= ax(a>0Y= by(b>02 2求a,4将圆x2+ y2= 1变换为椭圆育+汽=1的一个伸缩变换公式为b的值.突破点（二）极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流1. 极坐标系的概念（1）极坐标系7如图所示，在平面内取一个定点0,点0叫做极点，自极点0引一条射线Ox, Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）, 这样就建立了一个极坐标系.（2）极坐标设M是平面内一点權点0与点阿的距离 叫做点何

4、的极径.记为P械角以根轴6为始边，轴线为终边的仙皿M 叫做血删的战桁，记为&育序数对（P叫做点财的祕坐标，记作旧，町一般地，没有特殊说明时，我们认为p> 0, B可取任意实数.（3）点与极坐标的关系一般地，极坐标（p, B）与（p, 0+ 2k n ）& Z）表示同一个点，特别地，极点 0）（ 0 R），和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定p>0,0< 0<2n,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 同时，极坐标（p 0表示的点也是唯一确定的.0的坐标为（0,(p, 0表示;点M直角坐标（x, y）极坐标（p 0）互化公式x=

5、pcos 0,y= pin 0P x2+ y2,1tan =如工0)2.极坐标与直角坐标的互化考点贯通一抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边冋乘P或冋时平方构造 pcos 0, psin 0, p的形式，一定要注意变形过程中方程要保持冋解，不要出现增解或漏解1. 极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式p，及p2= x2 + y2将极坐标ly= pin 0方程转化为直角坐标方程2. 直角坐标方

6、程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x, y分别用pcos0, psin B代替即可得到相应极坐标方程.求直角坐标系中的点(x, y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算p；第二步，根据角 0的正切值tan 0= 丫&工0)求出角0若正切值不存在，则该点在y轴上)x例1在极坐标系下，已知圆0: p= cos 0+ sin 0和直线I: pin0-4丿=¥(1)求圆0和直线I的直角坐标方程；当0 (0, n时，求直线I与圆0公共点的一个极坐标

7、.方法技巧1应用互化公式的三个前提条件(1) 取直角坐标系的原点为极点.(2) 以x轴的正半轴为极轴.两种坐标系规定相同的长度单位.2.直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角0的表示方法具有周期性，故点 M的极坐标(p 0)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定p>0 0 0,2时)除极点外，点 M的极坐标是唯一的.当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角0应注意判断点 M所在的象限(即角0的终边的位置)，以便正确地求出角0 0 0,2 的值.考点二极坐标方程的应用例2 (2017福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为 p 2 /2 pos 0+ ： 2 =

8、 0. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1) 若直线I过原点，且被曲线 C截得的弦长最小，求直线 l的直角坐标方程；(2) 若M是曲线C上的动点，且点 M的直角坐标为(x, y)，求x+ y的最大值.易错提醒用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.能力练通抓应用体验的“得”与“失1. 考点一、二已知直线I的极坐标方程为 A 2 2, 7n，求点A到直线I的距离.2 psinb+n=2， 点A的极坐标为2. 考点一已知圆C的极坐标方程为p+ 2j2

9、pin 0-n-4 = 0,求圆 C 的半径.尸2cos 4sin 0相交于A,3. 考点二在极坐标系中，直线psin 0 cos 0)= a与曲线B两点，若|AB|= 2 3，求实数a的值.4. 考点一、二(2017洛阳统考)已知圆Oi和圆。2的极坐标方程分别为p= 2, p 2.2pcos 0- 4 = 2.(1) 将圆Oi和圆。2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.全国卷5年真题集中演练一一明规律.Ix= acos t,1. (2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为(t为参|y= 1 + asin t数，a> 0).在以

10、坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： p= 4cos 0(1)说明C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；直线C3的极坐标方程为0= a,其中a满足tan a= 2,若曲线 6与C2的公共点都在C3上，求a.2. (2015新课标全国卷I )在直角坐标系xOy中，直线C1: x= 2，圆C2： (x 1) +(y 2)2= 1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1, C2的极坐标方程；若直线C3的极坐标方程为 0= n(p R),设C2与C3的交点为M , N ,求厶C2MN的面 积.课时达标检测基础送分题一一高考就考那几点，练通就能把分

11、捡1.在极坐标系中，已知圆 C经过点p§2，n，圆心为直线psin扌戸一¥与极轴 的交点，求圆C的极坐标方程.2.设M , N分别是曲线 叶2sin 0= 0和pin J+才戶乎上的动点，求 M , N的最小距离.3. 在极坐标系中，求直线p.3cos 0 sin 0= 2与圆p= 4sin 0的交点的极坐标.4. （2017山西质检）在极坐标系中，曲线 C的方程为P= +爲门20,点R0/2, n.以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形 PQR

12、S的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值，及此时 P点的直角坐标.5. （2017南京模拟）已知直线I :I上的点到圆C上的点的最小距离等于pin 0 4 = 4 和圆 C：丰0），若直线2求实数k的值并求圆心 C的直角坐标.86. 已知圆C: X2+ y2 = 4，直线I : x+ y= 2以0为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同 的单位长度建立极坐标系.(1) 将圆C和直线I方程化为极坐标方程；. 2(2) P是I上的点，射线 0P交圆C于点R,又点Q在0P上，且满足|0Q| |OP|=|OR| , 当点P在I上移动时，求点 Q轨迹的极坐标方程.7. (2017贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为2,器(1) 求出以C为圆心，半径长为 2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2) 在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(53), M是线段PQ的中点，当点P在圆C上 运动时，求点 M