计算方法简明教程习题全集及解析

1、例1已知数据表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)并回答用线性插值计算 f(11.75)，应取 哪两个点更好？解 因为11.75更接近12,故应取11，12，13三点作二次插值.先作插值基函数.已知 x0=11, y0=2.397 9 , x1=12, y仁2.484 9 , x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)=f(11.75)?P2(11.75)=2.463 8若用线性插值，因为所求点x = 11.75在11与12之间，

2、故应取x=11,x=12作线性插值合适.注：在作函数插值时，应根据要求，使所求位于所取的中央为好，任意取点一般近似的效果差些.第五章插值与最小二乘法5.1 插值问题与插值多项式ex实际问题中若给定函数°是区间d上的一个列表函数吗必)(0丄/如果 心©宀，且f(x)在区间缶列上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式* ' '在区间二上近似f(x)，使尹(召(5.1.1)就称T "为二的插值函数，点 称为插值节点，包含插值节点的区间-称为插值区间.通常L 门，其中是一组在上线性无关的函数族，r表示r?l ".组成的函数空间匚-表示为

3、1p（x）=旳 （对+円矶（兀）+务丸（X）(5.1.2)这里一-是（n+1）个待定常数，它可根据条件（5.1.1）确定当厂；- -时，：二三-表示次数不超过 n次的多项式集合， 二扁Lv -厂，此时(5.1.3)#称为插值多项式，如果-h 1 ;宀：为三角函数，则 人为三角插值，同理还有分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、X、十运算，故常用的；就 是多项式、分段多项式或有理分式， 本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.从几何上看，插值问题就是求过n+1个点山'；叮的曲线J d,使它近似于已给函数，|： |,如图5-1 所示.插值法是一种古老

4、的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条（Spline）插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式讲解：插值多项式就是根据给定n+1个点 二一,求一个n次多项式:= a0外 h这里勺.叫企

5、是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数： -i-的线性方程组。当节点互异时由于系数行列式3所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值 多项式不用这种方法，而使用下节给出的基函数方法。5.2 Lagrange 插值5.2.1线性插值与二次插值厶=/（和+上壬/（和%-齐1阳一阮(5.2.1)最简单的插值问题是已知两点及1 : 1,通过此两点的插值多项式是一条直线，即两点式显然-il;-:|!：. !，满足插值条件，所以丄就是线性插值.若记当n=2,已给三点5 .冷° )1(1), E/E). /则称* *为与|的线性插值基函数.如图5

6、-2所示.胳-X、Zi -右于是SC) - 4jW/&o)+A()/Ci)称为关于点7的二次插值基函数，它满足(5.2.2)、'川的图形见图5-3.它们是满足(522)的二次插值多项式.满足条件L '-的二次插值多项式-可表示为-2： : M：-、一i (523)；一，二的图形是通过三点的抛物线.5.2.2 Lagrange插值多项式将n=1及n=2的插值推广到一般情形，考虑通过(n +1)个点，：- ：一的插值多项式-一-,使L(J = 了(否小。丄，料用插值基函数方法可得uO其中(珀础)(坞心(舌禹+J(丙耳)(5.2.4)(5.2.5)(5.2.6)称为关于：&#

7、39;的n次插值基函数，它满足条件1,J =i显然(5.2.5)得到的插值多项式-上满足条件(5.2.4) ，则称LJk)为Lagrange(拉格 朗日)插值多项式.引入记号叫+】(初=(-x0)(x-x1)-<x-xJ(5 2 7)则-:-: ':1于是由(5.2.6)得到的可改写为土一篤I严)(5.2.8)并有以下关于插值多项式的存在唯一性结论定理2.1 满足条件(5.2.4)的插值多项式是存在唯一的.证明 存在性已由(5.2.5)给出的证明，下面只需证明唯一性 .用反证法，假定还有另一个使上：一士 - -.成立，于是有且 ' ' 11 :，它表明n次多项式-

8、 11 有n+1个根亠 匕这与代数基本定理n次多项式只有n个根矛盾，故J .证毕.5.2.3 插值余项与误差估计若插值区间为-在上有插值多项式二,；二，则称I： r丄为插值余项.定理2.2 设''- 1 - ；订(表示f(x)在匸上(n+1)阶导数连续)，且节点r : 1' .，则满足条件(5.2.4)的插值多项式 ； -.对j.-：.有严%(兀)=r +n.曲MM1(5.2.9)这里：是(5.2.7)所定义的.证明 由插值条件(5.2.4)可知 心宀:"丿，故对任何x有瓦-瓷匕-X。)(K-可)(X -疋(力叫+1 (力(5.2.10)其中K(x)是依赖于x

9、的待定函数.将x > 看做区间二上任一固定点，作函数卩Q) = /“)一厶(f) 一疋(兀)。一叼)(f 一眄)(f 一耳)显然-,且上.，它表明''''在L“上有n+2个零点''i 及x,由Rolle定理可知"在 山上至少有n+1个零点.反复应用 Rolle定 理，可得在上至少有一个零点E，使计叫幻=严叫刁-(旳十1)!疋(兀)=0(科 +1)1代入(5210)则得余项表达式(5.2.9).证毕.注意定理中E .： ' 一依赖于x及点-1 -'：,此定理只在理论上说明E存在，实际上”川:门仍依赖于x，即使x固定，

10、E也无法确定因此，余项表达式(529)的准确 值是算不出的，只能利用(529)式做截断误差估计，由可得误差估计(5.2.11)当n=1时可得线性插值的误差估计(5.2.12)|Ri仗)国警I (兀阳)(齐一舟)1当n=2时有二次插值的误差估计(5.2.13)利用余项表达式(5.2.9)，当； 1时，由于-，于是有兔(X)= /W-(x)=才右(x) = 0i:g=汽上=o丄上即二(5.2.14)它表明当上二二' 时，插值多项式 ' 1就是它自身，(5.2.14)也给出了插值基函数右(x)(i =Q1,“)的性质，特别当k=0时有£肛沪12-0例5.1已给"小

11、二 X,亠，二m,用线性插值及二次插值计算sin 0.336 7的近似值并估计误差11解由题意知被插函数为:丿：:；匚给定插值点为 . -尹厂0 367,阳7一込 必"笏别込乃=0兀 丹“芳2274.由(5.2.1)知线性插值函数为L】(对儿+”-西 航-孔=X° 34x0314567 十 Z° 32 x0.3334S7-0.02 0 02当 x=0.336 7 时nT FC 它空坨 f 367 - 0 34丄 °1 d 了2 n川 QUsin 0.3367 恕厶(0.3367) =x (-0.3145671 +x 0 3334870X20,02如 0.

12、0519036 + 0 2784616 玛 0.330365其截断误差由(5212)得IRQ 卜学| (x -巧)(X -册)|其中 I .因 f(x)=sin x,f " (x)= -sin x ，故/(x) = sinx, f'(k) = -sinxi0.3335于是IRO.3367) I-| sin 0.3367 -(0.3367) |<1x03335x0.0167x0 0033 <0.92X10-若用二次插值，在(5.2.3)中取n=2,则得sin 03367 *(0.3367) =0.7689x10-*_0.0008_x 03145673.8911x10

13、-*_0.0004x 0.333487 +-0.5511x10-0.0008xO.352这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样.其截断误差由(5.2.13)得其中M3 壬f j 1-51 cos 11- cos 0 32 < 0.950于是IR/0.3367) |=| sinO.3367 -La(0.3367) |< 11 0.950x0 0167 x0.Q033x0.02331< 0.204x10例5.2设/ -上L.，试证顔|了（力-他）+化"叭）$扣-疔|厂（对|ba8由于.的线性插值"于是伽一炖+3-畑 b - a工（鬲-说-0例5.3 证明J

14、,其中.是关于点；75的插值基函数解-工(為-兀)引©)=工(彳 -2x.x + x2)/x)i2-0J5J= V(W- n工昭+卫工右(对=F -肃+ x J oi-0J-Oi-0讲解:当n=1及n=2得到的是线性插值和抛物线插值，对于一般情形给定被插值函数-'：的n+1个点-!：-111、，要求:'- 可通过n+1个点的插值基函数一；得到，其中就是由（526 ）给出的，它在i点的初值为1，其余点上为0,于是有(525)它显然满足条件- ；- ''-上就是Legrange插值多项式。在区间Q詞上用一宀叮& 儿;它的余项为(529)这里：是依赖

15、于 和插值点； 二，实际是给不出来的。所以二、也不可能精确 得到，但当 怦"（力|在区间気甸上有最大值 叽，则得误差估计利用余项表达式（5.2.9 ），令比或：叢仗“则得到插值基函数'''- - J 1得一个重要性质（5.2.14 ）特别当K= 0有另 £ ( X)= 11-0用这一性质可以证明例5.3得等式。5.3 均差与Newton插值公式5.3.1均差及其性质利用插值基函数求出 Lagrange插值多项式(528)，在理论上是很重要的， 但用二二： 计算f(x)近似值却不大方便，特别当精度不够，需增加插值节点时，计算要全部重新进行为此我们可以给

16、出另一种便于计算的插值多项式:J ，它表达为NB(x) = Og +(x-x0) + oa(x-x0)(x-x1) + + as(z-x0)-.(jr-i1_1)(5.3.1)其中' -'为待定常数显然，它可根据插值条件(5.3.2)直接得到，例如当 二一二时，得；当，时，由(531)得：-",得一"-.实际上*就是直线方程的点斜式.汀加一二工-1'.-.为了给出I 的系数一宀的表达式，先引进以下定义.定义3.1记丨-为f的零阶均差，零阶均差的差商记为称为函数关于点 i L的一阶均差 一般地，记(k-1)阶均差的差商为伽=皿皿"伽m曲g -

17、 S(5.3.3)称为f关于点7| -的k阶均差.均差有以下重要性质：(1)均差对称性.k阶均差可表示为函数值八'；|的线性组合，即俶旳"% =着鶯 S临F(534)17这个性质可用归纳法证明，见3 .（5.3.4）表明均差' | 仁I与节点排列次序 无关，称为均差对称性（2）如果' ' 1 ' "' 是 x的m次多项式，贝l J是x的（m-1）次多项式证明由均差定义可知打.力兀心应I,和和.1】£托卜忑jt+d右端分子为x的m次多项式，且当；-】时，此式为零，所以分子含有 = I- I 丄 "的因子，与分

18、母相约后得到（m-1）次多项式. 若、：二，并且二二1訣'丨：一 -丄 川互异，则有(5.3.5)/和九,忌这公式可直接由Rolle定理证明（略）.其他均差性质可作为习题自己证明.均差可列均差表，见表5-15.3.2 Newt on 插值根据均差定义，把 x看成上一点，可得JW = /（0 ） + / 列（工-兀）/k心=了內+川兀心內（兀-巧） 打兀忑，心_1厂了肉內召+川兀岛,”耳（x -耳）只要把后一式代入前一式，就得到/図=/(x0) + /x01x1(k-x0) + /x0 xpxaJ(x-x0)(x-x1) + *"+ /ko血,皿(工-础)(孟l耳)+71兀4A

19、 出曲U)二乩+此(x)其中凡(对二了(和+_/心內(和十/%內旳(恳十+了弘，耳耐(瓷rz)(536)丘 /0)-弘"/兀S入叫叔(羽(537)亠：是由(5.2.7)定义的.由(5.3.6)确定的多项式匚心显然满足插值条件，且次数不超过n,它就是形如(5.3.1)的多项式，其系数为徃 了可，忑比 0丄/我们称-'"：为Newton均差插值多项式.系数匚就是均差表5-1中加横线的各阶均差，它比Lagrange插值的计算量少，且便于程序设计(5.3.7)为插值余项，由插值多项式的唯一性可知，它与(529)是等价的.事实上，利用均差与导数关系式(5.3.5)，可由(5.

20、3.7)推出(5.2.9).但(5.3.7)更有一般性，它对f是由离散点给出的情形或f导数不存在时均适用.例5.4 给出f(x)的函数表(见表5-2)，求四次牛顿插值多项式，并由此计算f(0.596)的近似值.从均差表看到四阶均差已近似于常数.故取四次插值多项式做近似即可.N4(xH.4 1075 1.11 fi(x-0.4) + 0 28 (x-04) (x-0.55)+0.19733 (x-0.4) (x-0 55)(x-0.fi5)+0.03134(x- 0.4Xx- 0.55)(孟一 D 上 5)仗 一 0 3)于是/(0.596) *(0.596) = 0.63192截断误差|R4(

21、X)hfx0T.rXi(0 596)|< 3.63X10这说明截断误差很小，可忽略不计讲解：均差即差为函数值之差商比相应自变量之差。K阶均差是K 1阶均差的均差。由（533 ）给出，它有很多性质，其中（534 ）及（535 ）最重要，利用均差定义则可推出Newt on均差插值公式，从而得到Newton均差插值多项式凡（x） =心）十#山內（兀一心）+ /心,补人（兀-心）（工一兀_J及均差形式的余项表达式（5.3.7 ），实际上当-'-'则-1'的极限就是函数：-在二 二|处的Taylor多项式。余项极限就是 Taylor多项式。Newt on插值多项 式有点是计

22、算简单。且增加一个插值点就增加一项。前面计算都是有效的。注意，由于插值点固定时插值多项式是存在唯一的。 因此Newton插值多项式与Lagrange插值多项式只是形 式不同，它们都是同一个多项式。5.4 差分与Newton前后插值公式5.4.1差分及其性质当插值节点为等距节点-时，称h为步长，此时均差及Newton 均差插值多项式（5.3.6）均可简化.定义 4.1 设-，记(5.4.1)(5.4.2)分别称为疋丘处以h为步长的一阶向前差分及一阶向后差分.符号及分别称为向前差分算子及向后差分算子.利用一阶差分可定义二阶差分为（二阶向前差分）（二阶向后差分）般地，可定义 m阶向前差分及m阶向后差

23、分为"=或仏-Ph 昇=V-V-L此外还可定义不变算子 I及位移算子E为：八二宀.-（543）于是，由一曲一一上二一二一二一凡，可得=E I同理可得'；_一1由差分定义并应用算子符号运算可得下列基本性质性质1各阶差分均可用函数值表示例如fk =（E-iyfk =工（-1）;）旷皿(544)=£（-1）弋“3J-0(5.4.5)V"A = U -矿丁£ = $>l）r （；W =£（计（;心J-0C）- j + 1）其中.-为二项式展开系数性质2可用各阶差分表示函数值.例如，可用向前差分表，因为仏=sa =(/+a)ma= X 仇(

24、546)于是#fg =£(;)理*j-0性质3均差与差分有的关系由定义可知，向前差分秘】-无 h力忑小忑壮一了忑用如3 -忑般地有(5.4.7)同理，对向后差分有vMA(548)利用(547)及(535)又可得到(5.4.9)其中 '儿，这就是差分与导数的关系差分的其他性质从略 计算差分可列差分表，表5-3是向前差分表表5- 3AA3A4人丹。AV0A7,A71a7i9B9i11*9»5. 4.2等距节点插值公式将牛顿均差插值多项式（536）中各阶均差用相应差分代替，就可得到各种形式的等距 节点插值公式这里只推导常用的前插与后插公式女口果有节点''&

25、#39;：，要计算几附近点x的函数f（x）的值，可令X =< 1 干是叫方（X - ®- 1）（一町严>0将此式及（547）代入（5.3.6），则得 叽為+册）=/0+气卫止托+ - +心1）（+ 1）厘托(5.4.10)2>旳称为Newt on前插公式，其余项由（5.2.9）得(5.4.11)如果要用函数表示附近的函数值f（x），此时应用牛顿插值公式（5.3.6）,插值点应按 %,耳亠小的次序排列，有凡（盂）=/（耳）+ 了耳？”1-+九叫.耳j，-j& 一召）（兀一耳丿）十+ /耳,心_，”必（X -耳）匕-X）作变换"'，并利用公式(

26、548)，代入上式得叽 g + 血=£ + f% +f (f + 1)f (f + 1)(f + M 1)、/' ：.(5412)称为Newton后插公式，其余项RnW = /(x)-2Vrn(xB +fh)(总+ 1)!,f e(3xn)21(5413)例5.5设-二m,给出;述-.心在-亠in丄.匸的值.试用三次等距节点插值公式求f(1.01)及f(1.28)的近似值.解 本题只要构造出f的差分表，再按Newton前插公式及后插公式计算即脅gA(V)1.001 000000 024701.051.024700 02411L101 048810.023571.151.072

27、380 23071.201.095440.022591 251 118030.022141 301J4017可"'-的差分表如下所示计算f(1.01)可用Newton前插公式(5.4.10) 阶差分值.W)&V)0.00005-0.000540.00004-0,000500.00002-0.000480.00003-0.00045此时用到差分表中的上半部分划波纹线的各/(I 01)呵(1.01) =耳(1 00 +卜朋=1 00000+ 0.2X0 02470 + x0.2x(0.2-1)(-0.00059)+ 72x(0 2-1)(0 2-2)(0X0005) 2

28、&L00499计算f（1.28）要用Newton后插公式（5412），它用到差分表下部分的差分（即下划直线的）./(1.28)兔从(1 2(130 - 0.4 x A)=1.14017 + (-0,4) x 0 02214 + 1 (-04) x 0.6x(-0.00045) + 1(-04) x06xl 6x 0 00003 2 6= 1.13137f（1.01）与f（1.28）的7位有效数字分别为 广U1 =厂.；一1 1 1,可见计 算结果已相当精确 讲解:实际使用时给定的函数表常常是等距节点的情形，这时只需考察函数值之差。于是均差变成了差分，相应的Newt on均差插值变成 N

29、ewt on前插与后插公式，当插值节点由小到大排列得到的是前插公式，反之，插值点由大到小排列得到的是后插公式，而利用插值计算f（x）的值时如果只用到函数表中的部分值。那么计算x0附近点x的函数值就用前插公式，而计算 xn附近的函数值f（x）,就用后插公式。5.5 Hermite 插值不少问题不但要求在插值节点上函数值相等，而且还要求节点上导数值相等，有的甚至要求高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为Hermite插值多项式.若给出的插值条件有（m+1）个则可造出m次插值多项式.建立Hermite插值多项式的方法仍可采用插值 基函数和均差插值的方法，较常见的一类带导数插值的问题，是在给出

30、节点-I ：一：上已知'：.' :-要求.-,1，使(5.5.1)(5.5.2)円禺厂叫】=0.上若用基函数方法表示可得H亦1 （方£碍0）£ +妫（X）胸ji-0其中"I及二1是关于点：八的（2n+1）次Hermite插值基函数，它们为（2n +1）次多项式且满足条件叫包）瓦卫；（和）-0(5.5.3)劝（忑）=鬲“氐=°丄0若f（x）在上存在（2n+2）阶导数"上，则其插值余项为(5.5.4)R如（兀）=了（对一丹叶1（对其中E与x有关，='，由（5.2.7） 表示.下面只对n=1的情形给出- " 1的表达

31、式.若插值节点为二：及！ ，要求-1 - ，使严gOA加越（g）认1（5.5.5）相应插值基函数为 宀 =1 ： 人，.讥.、,它们满足条件= h % （u） = °，”； U0 = （xjui） = 0,乐氣（祗）二去+i（和i） =1卫;+i（心）f加0讪）7, 屁（心）=屁（仏1） = 6尿） = 1亦（仏J =0， 九 （抵）=炕*1（仏1） = 6饥1（无）-1血1 （昭J = '1根据给出条件可令丑帥+时（“也尸心zjt+i显然-, 2再由心二一丨-及："'-XJt _ 畫fed解得于是可得223(5.5.7)(5.5.8)W=/W 2) = 1

32、 严)(抵尸E在与：.讥之间(5.5.9)Jt+l 耳弘+1同理，可求得昭】的弋+ 2口）（丄 耳一1工如-忑屮AW =（点一叱）（x %1尸兀-工如A+l（x）=（工_孟如）（共 兀yF -心于是满足条件（5.5.5）的Hermite插值多项式为码W 土气（町不+毎利（忑）土ui +久（力他+炕+心）叫利它的插值余项为F面再给出一个典型的例子例5.6求O二匕，使；心：I<->一的插值多项式及其余项表达式.解 这里给出了四个条件故可造三次插值多项式宀一二匕，由:-，可用 Newton均差插值，令P&d 血 0）+叭耳血-z0+ffz0pxvxa& -XO）（X -x

33、j +fl（X-K0）&-X1）CH -盟 （5.5.10）显然它满足条件''-：-'，为待定参数.P'（xl）=f矶，囂訂+ 収°总衍（究_矶）+总仪-X2） =f CXj）解得(5.5.11)1F©)-/心和3=1 -2 1兀_盂0于是得到的插值多项式为（4.8）的p（x），其中由（5.5.11）给出，它的余项表达式是(5.5.12)%（力弓了（对弋（力三扌了©（"心）（厂心尸（L乜）其中E在-；与二之间，而- - '> : -:丄凡 讲解：带有导数条件的插值统称Hermite插值，构造Hermi

34、te插值多项式原理与 Lagrang插值相同，如果给定m+1个条件，则可构造次数不超过m次的插值多项式，构造原则是什么方法最简单就用什么方法。这里我们仍使用了基函数方法和均差插值方法。具体用哪种方法原则是使构造的多项式中待定参数尽量少。例如求二时，由于已知xk+1为二重零点，故含因子 ：1 -',可令% 陥】43,b为待定参数，可由另两个条件一 -及："： - 确定，再如对.',由条件知为二重零点，而 匚是单重零点，故可令 "'耳-初只有一个待定参数 A,由另一条件；"一可立即求得A= 1。而例5.6则直接利用了均差值给出了二的表达式，它只

35、有一个待定参数 A至于导数插值多项式的余项表达式也是很有规律的，如果给出的插值条件是m+1 个,则有其余项为3+1)1（兀-心）3根据这规律，例5.6中点有导数条件，而二及点只给出函数值相等条件，故一共有4个条件，即m=3,余项表达式就是（5.5.12 ）。5.6 分段低次插值5.6.1 多项式插值的收敛性问题若在上任给一组插值节点.!-，假定,按条件（5.2.4）造出Lagra nge插值多项式丨工17* /；-：，若廿_-: ,-：i极限(x)=f(x)rxe(a)(5.6.1)就称插值多项式-：二收敛于但实际上甚至对各阶导数均存在的|也不能保证（5.6.1）成立，也就是插值多项式序列.&

36、#39; " '收敛性不成立，下面给出一个不收敛的例子.例5.7可造在-5,5 上取（n+1）个等距节点上.'1 +料插值多项式记 r-一 :表5-4列出n=2,4,2。的厂亠的计算结果及在 1:处的误差 :- 表5-4nWX-血20.1379310.7591515-0.621(54340.06(5390-0.35682(50 423216150.0544630.(07879-0.553416E0.045651-0.3310170.8306(58100.0470591.578721-L531M2120.045440-17550002.S00440140.0443345

37、.332743-5 288409“0.043530-10.17386710.217397180.04292020 123(571-20.030751200.042440-39J5244939.994889可以看出随n的增加'1 - 几乎成倍增加，这说明二在-5,5 上并不收敛.当n=10时，从 jiJ".的图形（见图5-4）也可看出它不收敛.这个例子是 Runge于1901年首先给出的，故把插值多项式不收敛的现象称为Runge现象.Runge还证明了此例中：I " 11L时, -.-：'， 但在:I- 1_，时J 丁发散.由于高次插值收敛性没有保证，实际的计

38、算稳定性也没保证.因此当插值节点n较大时通常不采用高次多项式插值，而改用低次分段插值.5.6.2 分段线性插值设已知节点'：!上的函数值为'-"''I':，若一折线函数-满足条件-二在每个小区间'. I 11 j上为线性函数则称-:为分段线性插值函数，.在每个小区间上表示为硏一兀i+iM -再(562)在区间- .上可表示为(563)其中码<x<xjri = 去AM =z， < x < z =理略去 丙-誥口0,X迂毎加小鬲報定理5.1 若-'1;- ?，则当hF 时1； |一致收敛于f(x).若二-:上

39、则余项-有估计式：止丄一罗严|=(564)5.6.3 分段三次 Hermite 插值设函数f(x)在节点1' _ ' J ' "': _卜上的函数值为.：，一阶导数值为七厂，若)满足条件:"I * -； J.一；(3)在每个子区间：1 -卞一 上是次数不大于3的多项式.则称是f(x)的分段三次Hermite插值函数.在每个子区间上的表达式为打= (1 + 2丄)(+(1 + 2)(H 九陷厂咼 禹一轧L咼一和1 和厂咼(565)X - X. ,.X-Xi .+(心)(一 )分十 )%在，上用插值基函数表示为SO) =£ (Z 斗必(

40、力£(5.6.6)其中）af xexMfXjj =0 略去 ri-i用已心鬲+訂二卑略去i“2322u）（上g -石馬0 + 2开勺）（开"加 音 xi -T = T恥）"吧盘）略去可以证明，若 '-； ' - ： "I -r 1 ；1，则当 hT0 时一致收敛于f（x）.讲解:由例5.7看到插值多项式次数增加时误差可能更大，它说明高次插值收敛性没有保证，因此当插值点较多时，为了求：在区间上的近似值，通常采用分段插值若在L"匕上节点为：二：匕 "，分段线性插值就是用折线近似曲线"卞,它在每个 小区间L-：i-

41、：i:上的方程（5.6.2 ）就是前面介绍的线性插值，余项也是线性插值余项。分段线性插值虽然 L当山时，“I； '.I。但它的导数不连续，且误差较大。5.7 三次样条插值5.7.1三次样条函数分段低次插值的优点是具有收敛性与稳定性，缺点是光滑性较差，不能满足实际需要.例如高速飞机的机翼形线、船体放样形值线、精密机械加工等都要求有二阶光滑度，即二阶导数连续，通常三次样条 (Spl in e)函数即可满足要求.定义7.1 设> 上给出一组节点-J，若函数s(x)满足条件(2) s(x) 在每个小区间 '；11 -丨上是三次多项式.则称s(x)是节点' "=上

42、的三次样条函数若s(x)在节点上还满足插值条件(3) r 一一 1；'(5.7.1)则称s(x)为上的三次样条插值函数.例 5.8 设 w 仗)二 F2x3+< 2L是以0, 1, 2为节点的三次样条函数，贝y，b,c应取何值？解 因二- -,故在止：-处由- - | -及|连续，可得(«+/? + <+ 2 = 22"占+ 6T2 + 12 = 8解得=-2,b=3,c=-1.此时s(x)是0,2 上的三次样条函数.由定义7.1可知s(x)在每个小区间上是三次多项式，它有四个待定系数,'中共有n个小区间，故待定的系数为4n个，而由定义给出的条件

43、，在"S宀i这(n-1)个内点上应满足-0) = f(Ai+o)I(5.7.2)S "Ui -0) = sM(Xj12卫-1它给出了 3(n-1)个条件，此外由插值条件(5.7.1)给出了 (n+1)个条件，共有(4n-2)个条件，求三次样条插值函数s(x)尚缺两个条件为此要根据问题要求补充两种边界条件，它们分别是问题 I ；-二(5.7.3)问题(5.7.4)问题川 当f(x)为周期函数，因 人；此时|：-'|,且|；'. _,：-_.这时s(x)称为周期样条函数.由此看到针对不同类型问题，补充相应边界条件后完全可以求得三次样条插值函数s(x).下面我们只

44、就问题I及问题n介绍三弯矩方程及其解法5.7.2弯矩方程设s(x)在节点一I -】上的二阶导数值亠1二,-二、芒' A -"在-上是三次多项式，故s (x)在I-上是一次函数，可表示为对此式积分两次，并利用 X"-可确定积分常数，从而得到(5.7.5)这里'是未知量，但它可利用条件(5.7.2) 中*山 ：川匚得到关于的方程组，由(5.7.5)对s(x) 求导得- x)3 (X - Xj)i )，兀E 爲咼丸(5.7.6)(g 弋由此可得(5.7.7)当，； ，类似(5.7.6)可得2gi-16(5.7.8)由二 一：_ :一、可得到関 Mr + +2jMm

45、 = 二 12皿-1(5.7.9)其中風-6/Ixw,码,xi+1fi-12-1(5.7.10)(5.7.9)是关于-I”匕的(n-1)个方程，对问题I,可由(5.7.3)补充两个方程，它们可由(5.7.7)当i=0时及(5.7.8)当i=n时得到，即6 ,+Mi =厂(/1叼內-齐)=4(5.7.11)6 ,心 +2Mh = -(/-/x#_T 忑)=£紅1示为将(5.7.9) 与(5.7.11)合并则得到关于I的线性方程组,用矩阵形式表21-眩. 2源£宀1 2A-i12A 一(5.7.12)这是关于1'1'：的三对角方程组对于问题H,可直接由条件 (5

46、.7.4)得到Mq=f将它代入(5.7.9)，并用矩阵形式表示为2 九 出222人-】Z(5.7.13)它是关于"|的三对角方程组，不论是(5.7.12)还是(5.7.13)，它们中每个方程只与三个相邻的匚相联系，而二在力学上表示细梁在二上的截面弯矩，故称(5.7.12)及(5.7.13)为三弯矩方程.方程(5.7.12)及(5.7.13)的系数矩阵都是严格对角占优 矩阵，它们可用追赶法求解.得到'二 后，代入(5.7.5)，则得到上的三次样条插值函数s(x).例5.9 设f(x)为定义在0, 3上的函数，插值节点为-，且,-”，二. 二，匚”丿：.当=J时，试求三次样条插值

47、函数s(x)，使其满足问题I的边界条件 (5.7.3).解 根据三弯矩方程(5.7.12),首先要求系数矩阵及右端项轨!”二了 ,由(5.7.10) 及 (5.7.11)可得為=瞰=0羽曲=压二人=毎=尊2£】=6/可盂】眄三久£ = 6/丑X), = -6血=f C/和帀】-八)务-O厂/花入)-3于是由(5.7.12)得三弯矩方程为211.30.520 5还30.520.5-6B1 2-胚-3a a(5.7.14)解此方程时可先消去:得35f'5.1'13 5am2 B-10 5' «解得培一 -'.,代入(5.7.14)得D=

48、二二将的值代入(5.7.5)可得三次样条函数0.48k3-0 18x2 +0 2x,xe0,1s(x) -1.04(- l)3 + 1.25(a - l)2 + 1 28( -1) + 0,5e 1,20 68(i - 2)s-L86(x- 2)a + 0 68(i -2) + 20fxe 2,3丁-亍：珀的图形见图5-5.0图5-55.7.3三次样条插值收敛性定理7.1 设:为问题I或问题H的三次样条函数，则有估计式I 严F%)Lgl/%)ILL 用(5.7.15)5 r其中"臨7褊两7泊一阳("°丄/T), °厂预，厂莎 g飞肿閒L应加I.定理证明见

49、3.定理表明当0(nth)时，:匸 分别一致收敛于.'.讲解:分段三次样条插值（简称Spline插值）是通过形值点的一条光滑曲线，从数学上表示就是由定义7.1所给出的三条件得到的 二知，它在区间匚上是二阶连续的，在每个小区 间：上是三次多项式并通过给定点二.，一 一 L打，若补充上相应的边界条件，问题或问题，就可求得二知，通过解三弯矩方程（5.7.12）或（5.7.13）就可得到（5.7.5）所表示的二山。求三次样条插值函数二山有现成软件，但对三次样条插值定义及其条件一定 要掌握好。5.8曲线拟合的最小二乘法在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函

50、数关系|1 '，这是"为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数 ai的数量比给定数据点的数量少 （即nv m）,因此它不同于插值问题.这类问题不要求1通过点-?；.' '-1. 丿，而只要求在给定 点二 上 的误差的平 方和工0 最小.当时，即(5.8.1)s （囂）听肌（町+筍鮒（对+斗佻（囂）这里- 11 1是线性无关的函数族，假定在：. 上给出一组数据.-!：，一；_一:.-以及对应的一组权：打，这里-："为权系数，要求成幻七p血仍,观使1（务卫J最小，其中(5.8.2)这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s（x），这种方法称为曲线拟合

51、的最小二乘法.（5.8.2）中I：；J实际上是关于山的多元函数，求 I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得&w（5.8.3）根据内积定义（见第三章）引入相应带权内积记号八仇）=工口转）矶（召）(5.8.4)则（5.8.3）可改写为这是关于参数：，“,'：山的线性方程组，用矩阵表示为L % h仇丿他，硯他I *弼f 仍（鮒T略）BiIIBiII al44=3初)11(5.8.5)IlIIIC仇，）（伽，例）（円*）13仇)（585）称为法方程当9,（輕丿=°丄加线性无关，且在点集 二 - I-爲.-、上至多只有n个不同零点，则称' r'- " r -在X上满足Haar条 件，此时（585）的解存在唯一（证明见3: ）记（5.8.5）的解为U = ；,上=°丄涉从而得到最小二乘拟合曲线y = （x）亦班）（x） +口;省（乂） +”：（K）（5.8.6）可以证明对.盲 -'V- ，有I£ 1（哄），知心）故（5.8.6）得到的二即为所求的