2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理

1、大纲全国理科1.(2012大纲全国,理1)复数=(). a.2+ib.2-ic.1+2id.1-2ic=1+2i.2.(2012大纲全国,理2)已知集合a=1,3,b=1,m,ab=a,则m=().a.0或b.0或3c.1或d.1或3ba=1,3,b=1,m,ab=a,m=3或m=.m=3或m=0或m=1.当m=1时,与集合中元素的互异性不符,故选b.3.(2012大纲全国,理3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为().a.+=1b.+=1c.+=1d.+=1c焦距为4,即2c=4,c=2.又准线x=-4,-=-4.a2=8.b2=a2-c2=8-4=4.椭圆的方

2、程为+=1,故选c.4.(2012大纲全国,理4)已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1中,ab=2,cc1=2,e为cc1的中点,则直线ac1与平面bed的距离为().a.2b.c.d.1d连结ac交bd于点o,连结oe,ab=2,ac=2.又cc1=2,则ac=cc1.作chac1于点h,交oe于点m.由oe为acc1的中位线知,cmoe,m为ch的中点.由bdac,ecbd知,bd面eoc,cmbd.cm面bde.hm为直线ac1到平面bde的距离.又acc1为等腰直角三角形,ch=2.hm=1.5.(2012大纲全国,理5)已知等差数列an的前n项和为sn,a5=5,s5=15,则数列

3、的前100项和为().a.b.c.d.as5=15,a1=1.d=1.an=1+(n-1)×1=n.=.设的前n项和为tn,则t100=+=1-+-+-=1-=.6.(2012大纲全国,理6)abc中,ab边的高为cd.若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则=().a.a-bb.a-bc.a-bd.a-bda·b=0,ab.又|a|=1,|b|=2,|=.|=.|=.=(a-b)=a-b.7.(2012大纲全国,理7)已知为第二象限角,sin +cos =,则cos 2=().a.-b.-c.d.asin +cos =,且为第二象限角,(kz).2(

4、kz).由(sin +cos )2=1+sin 2=,sin 2=-.cos 2=-=-.8.(2012大纲全国,理8)已知f1,f2为双曲线c:x2-y2=2的左、右焦点,点p在c上,|pf1|=2|pf2|,则cosf1pf2=().a.b.c.d.c设|pf2|=m,则|pf1|=2m,由双曲线定义:|pf1|-|pf2|=2a,2m-m=2.m=2.又2c=2=4,由余弦定理可得cosf1pf2=.9.(2012大纲全国,理9)已知x=ln ,y=log52,z=,则().a.x<y<zb.z<x<yc.z<y<xd.y<z<xdx=ln

5、 >1,y=log52>log5=,z=>=,且<e0=1,y<z<x.10.(2012大纲全国,理10)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=().a.-2或2b.-9或3c.-1或1d.-3或1ay'=3x2-3=3(x+1)(x-1).当y'>0时,x<-1或x>1;当y'<0时,-1<x<1.函数的递增区间为(-,-1)和(1,+),递减区间为(-1,1).x=-1时,取得极大值;x=1时,取得极小值.要使函数图象与x轴恰有两个公共点,只需:f(-1)=0或f(1)=0

6、,即(-1)3-3×(-1)+c=0或13-3×1+c=0,c=-2或c=2.11.(2012大纲全国,理11)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有().a.12种b.18种c.24种d.36种a当第一行为ab时,有和两种情况,当第一行为a,b时,共有4种情况.同理当第一行为a,c时,共有4种情况;当第一行为b,c时,共有4种情况;不同的排列方法共有12种.12.(2012大纲全国,理12)正方形abcd的边长为1,点e在边ab上,点f在边bc上,ae=bf=.动点p从e出发沿直线向f运动,每当碰到正方

7、形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点p第一次碰到e时,p与正方形的边碰撞的次数为().a.16b.14c.12d.10b结合已知中的点e,f的位置,由反射与对称的关系,可将点p的运动路线展开成直线,如图.当点p碰到e时,m为偶数,且=,即4m=3n.故m的最小值为6.n=8,线段pe与网格线交点的个数为(除e点外)6+8=14个.(pe的方程为:y=x-,即4y=3x-,x,y不能同时为整数,所以pe不过网格交点)13.(2012大纲全国,理13)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为. -1由题意画出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可

8、,故直线过a(0,1)时,z最小.zmin=3×0-1=-1.14.(2012大纲全国,理14)当函数y=sin x-cos x(0x<2)取得最大值时,x=. y=sin x-cos x=2=2sin.当y取最大值时,x-=2k+,x=2k+.又0x<2,x=.15.(2012大纲全国,理15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为. 56=,n=8.tr+1=x8-r=x8-2r,当8-2r=-2时,r=5.系数为=56.16.(2012大纲全国,理16)三棱柱abc-a1b1c1中,底面边长和侧棱长都相等,baa1=ca

9、a1=60°,则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为. 取bc的中点o,连结ao,a1o,ba1,ca1,易证bcao,bca1o,从而bcaa1,又bb1aa1,bb1bc.延长cb至d,使bd=bc,连结b1d,则b1dbc1,设bc=1,则b1d=,ab1=ad=.所以,所求角的余弦值为=.17.(2012大纲全国,理17)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知cos(a-c)+cos b=1,a=2c,求c.解:由b=-(a+c),得cos b=-cos(a+c).于是cos(a-c)+cos b=cos(a-c)-cos(a+c)=2sin asin

10、 c,由已知得sin asin c=.由a=2c及正弦定理得sin a=2sin c.由,得sin2c=,于是sin c=-(舍去),或sin c=.又a=2c,所以c=.18.(2012大纲全国,理18)如图,四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形,pa底面abcd,ac=2,pa=2,e是pc上的一点,pe=2ec.(1)证明:pc平面bed;(2)设二面角a-pb-c为90°,求pd与平面pbc所成角的大小.解法一:(1)证明:因为底面abcd为菱形,所以bdac.又pa底面abcd,所以pcbd.设acbd=f,连结ef.因为ac=2,pa=2,pe=2ec,故pc=2,e

11、c=,fc=,从而=,=,因为=,fce=pca,所以fcepca,fec=pac=90°,由此知pcef.pc与平面bed内两条相交直线bd,ef都垂直,所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb,g为垂足.因为二面角a-pb-c为90°,所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbc=pb,故ag平面pbc,agbc.bc与平面pab内两条相交直线pa,ag都垂直,故bc平面pab,于是bcab,所以底面abcd为正方形,ad=2,pd=2.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc,且ad平面pbc,bc平面pbc,故ad平面pbc,a,d两点到平面pb

12、c的距离相等,即d=ag=.设pd与平面pbc所成的角为,则sin =.所以pd与平面pbc所成的角为30°.解法二:(1)证明:以a为坐标原点,射线ac为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz.设c(2,0,0),d(,b,0),其中b>0,则p(0,0,2),e,b(,-b,0).于是=(2,0,-2),=,=,从而·=0,·=0,故pcbe,pcde.又bede=e,所以pc平面bde.(2)=(0,0,2),=(,-b,0).设m=(x,y,z)为平面pab的法向量,则m·=0,m·=0,即2z=0且x-by=0,令

13、x=b,则m=(b,0).设n=(p,q,r)为平面pbc的法向量,则n·=0,n·=0,即2p-2r=0且+bq+r=0,令p=1,则r=,q=-,n=.因为面pab面pbc,故m·n=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2),cos<n,>=,<n,>=60°.因为pd与平面pbc所成角和<n,>互余,故pd与平面pbc所成的角为30°.19.(2012大纲全国,理19)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜

14、方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.解:记ai表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i分,i=0,1,2;a表示事件:第3次发球,甲得1分;b表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2.(1)b=a0·a+a1·,p(a)=0.4,p(a0)=0.42=0.16,p(a1)=2×0.6×0.4=0.48,p(b)=p(a0·a+a1&#

15、183;)=p(a0·a)+p(a1·)=p(a0)p(a)+p(a1)p()=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.(2)p(a2)=0.62=0.36.的可能取值为0,1,2,3.p(=0)=p(a2·a)=p(a2)p(a)=0.36×0.4=0.144,p(=2)=p(b)=0.352,p(=3)=p(a0·)=p(a0)p()=0.16×0.6=0.096,p(=1)=1-p(=0)-p(=2)-p(=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.e()=0×p(=

16、0)+1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)=0.408+2×0.352+3×0.096=1.400.20.(2012大纲全国,理20)设函数f(x)=ax+cos x,x0,.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)1+sin x,求a的取值范围.解:(1)f'(x)=a-sin x.当a1时,f'(x)0,且仅当a=1,x=时,f'(x)=0,所以f(x)在0,是增函数;当a0时,f'(x)0,且仅当a=0,x=0或x=时,f'(x)=0,所以f(x)在0,是减函数;当0<a<

17、1时,由f'(x)=0解得x1=arcsin a,x2=-arcsin a.当x0,x1)时,sin x<a,f'(x)>0,f(x)是增函数;当x(x1,x2)时,sin x>a,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x(x2,时,sin x<a,f'(x)>0,f(x)是增函数.(2)由f(x)1+sin x得f()1,a-11,所以a.令g(x)=sin x-,则g'(x)=cos x-.当x时,g'(x)>0,当x时,g'(x)<0.又g(0)=g=0,所以g(x)0,即xsin x.

18、当a时,有f(x)x+cos x.当0x时,xsin x,cos x1,所以f(x)1+sin x;当x时,f(x)x+cos x=1+-sin1+sin x.综上,a的取值范围是.21.(2012大纲全国,理21)已知抛物线c:y=(x+1)2与圆m:(x-1)2+=r2(r>0)有一个公共点a,且在a处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m,n是异于l且与c及m都相切的两条直线,m,n的交点为d,求d到l的距离.解:(1)设a(x0,(x0+1)2),对y=(x+1)2求导得y'=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1).当x0=1时,不合题意,所以x01.圆心为m,ma的斜率k'=.由lma知k·k'=-1,即2(x0+1)·=-1,解得x0=0,故a(0,1),r=|ma|=,即r=.(2)设(t,(t+1)2)为c上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1.若该直线与圆m相切,则圆心m到该切线的距离为,即=,化简得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2