2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)文 (2)

1、1 / 9 天津文科天津文科 1.(2012 天津,文 1)i是虚数单位,复数53i4i+=( ). a.1-i b.-1+i c.1+i d.-1-i c 53i4i+=(53i)(4i)(4i)(4i)+=22205i 12i3i16i+=17 17i17+=1+i. 2.(2012 天津,文 2)设变量 x,y 满足约束条件220,240,10,xyxyx+ 则目标函数 z=3x-2y的最小值为( ). a.-5 b.-4 c.-2 d.3 b 由约束条件可得可行域: 对于目标函数 z=3x-2y, 可化为 y=32x-12z, 要使 z取最小值,可知过 a点时取得. 由220,240

2、xyxy+=+=得0,2,xy=即 a(0,2), z=3 0-2 2=-4. 3.(2012 天津,文 3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( ). a.8 b.18 c.26 d.80 c n=1,s=0+31-30=2,n=2; n=24,s=2+32-31=8,n=3; n=34,s=8+33-32=26,n=4; 44,输出 s=26. 2 / 9 4.(2012 天津,文 4)已知 a=21.2,b=0.812,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( ). a.cba b.cab c.bac d.bc20.81, ab1,c=2log52=log54

3、1. cb12”是“2x2+x-10”的( ). a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 a 由 2x2+x-10,可得 x12, “x12”是“2x2+x-10”的充分而不必要条件. 6.(2012 天津,文 6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ). a.y=cos 2x,xr b.y=log2|x|,xr 且 x0 c.y=xx2ee,xr d.y=x3+1,xr b 对于 a,y=cos 2x是偶函数,但在区间1,2内是减函数,在区间,22内是增函数,不满足题意. 对于 b,log2|-x|=log2|x|,是偶

4、函数,当 x(1,2)时,y=log2x是增函数,满足题意. 对于 c,f(-x)=x-(-x)2ee=xx2ee=-f(x), y=xx2ee是奇函数,不满足题意. 对于 d,y=x3+1是非奇非偶函数,不满足题意. 7.(2012 天津,文 7)将函数 f(x)=sin x(其中 0)的图象向右平移4个单位长度,所得图象经过点3,04,则 的最小值是( ). a.13 b.1 c.53 d.2 3 / 9 d f(x)=sin x 的图象向右平移4个单位长度得:y=sin x4. 又所得图象过点3,04, sin344=0. sin2=0. 2=k(kz). =2k(kz). 0,的最小值

5、为 2. 8.(2012 天津,文 8)在abc 中,a=90,ab=1,ac=2.设点 p,q满足ap=ab,aq=(1-)ac,r.若bqcp=-2,则 =( ). a.13 b.23 c.43 d.2 b 设ab=a,ac=b, |a|=1,|b|=2,且 a b=0. bqcp=(aq-ab) (ap-ac) =(1-)b-a (a-b) =-a2-(1-)b2=-4(1-)=3-4=-2, =23. 9.(2012 天津,文 9)集合 a=x| x2| 5r中的最小整数为 . -3 |x-2|5,-5x-25, -3x7,集合 a 中的最小整数为-3. 10.(2012 天津,文 1

6、0)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 30 由几何体的三视图可知:该几何体的顶部为平放的直四棱柱,底部为长、宽、高分别为 4 m,3 m,2 m的长方体. 几何体的体积 v=v棱柱+v长方体=(1 2) 12+ 4+4 3 2=6+24=30 m3. 4 / 9 11.(2012 天津,文 11)已知双曲线 c1:22xa-22yb=1(a0,b0)与双曲线 c2:2x4-2y16=1有相同的渐近线,且 c1的右焦点为 f(5,0),则 a= ,b= . 1 2 c1与 c2的渐近线相同,ba=2. 又 c1的右焦点为 f(5,0),c=5,即 a2+b2=5

7、. a2=1,b2=4,a=1,b=2. 12.(2012 天津,文 12)设 m,nr,若直线 l:mx+ny-1=0与 x轴相交于点 a,与 y 轴相交于点 b,且 l与圆x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,o 为坐标原点,则aob面积的最小值为 . 3 l与圆相交所得弦的长为 2,221mn+=4 1, m2+n2=132|mn|,|mn|16. l与 x轴交点 a1,0m,与 y轴交点 b10,n, saob=121 1m n=1211|mn|2 6=3. 13.(2012 天津,文 13) 如图,已知 ab和 ac 是圆的两条弦,过点 b作圆的切线与 ac的延长线相交于点 d.过点

8、 c 作 bd的平行线与圆相交于点 e,与 ab 相交于点 f,af=3,fb=1,ef=32,则线段 cd的长为 . 43 由相交弦定理得 af fb=ef fc, fc=af?fbef=2. 由afcabd,可知fcbd=afab, bd=fc?abaf=83. 由切割弦定理得 db2=dc da,又 da=4cd, 4dc2=db2=649,dc=43. 5 / 9 14.(2012 天津,文 14)已知函数 y=2| x1|x1的图象与函数 y=kx的图象恰有两个交点,则实数 k的取值范围是 . (0,1)(1,2) y=2| x1|x1=| x1|x1|x1+=x1,x1,-|x1|

9、,x1,+ 函数 y=kx 过定点(0,0). 由数形结合可知: 0k1或 1kkoc, 0k1或 1k0,故解得 b=1. 所以 sin c=74,b=1. (2)解:由 cos a=-24,sin a=144,得 cos 2a=2cos2a-1=-34,sin 2a=2sin acos a=-74, 所以,cos2a3+=cos 2acos3-sin 2asin3=3218 +. 17.(2012 天津,文 17)如图,在四棱锥 p-abcd中,底面 abcd 是矩形,adpd,bc=1,pc=23,pd=cd=2. (1)求异面直线 pa与 bc所成角的正切值; (2)证明平面 pdc平

10、面 abcd; (3)求直线 pb 与平面 abcd 所成角的正弦值. (1)解:如图,在四棱锥 p-abcd 中,因为底面 abcd 是矩形,所以 ad=bc且 adbc.又因为 adpd,故pad为异面直线 pa与 bc所成的角. 在 rtpda中,tanpad=pdad=2. 所以,异面直线 pa 与 bc所成角的正切值为 2. (2)证明:由于底面 abcd是矩形,故 adcd,又由于 adpd,cdpd=d,因此 ad平面 pdc,而ad平面 abcd,所以平面 pdc平面 abcd. (3)解:在平面 pdc 内,过点 p 作 pecd交直线 cd于点 e,连接 eb. 由于平面

11、pdc平面 abcd,而直线 cd是平面 pdc与平面 abcd 的交线. 故 pe平面 abcd,由此得pbe为直线 pb与平面 abcd所成的角. 在pdc 中,由于 pd=cd=2,pc=23,可得pcd=30. 在 rtpec 中,pe=pcsin 30=3. 由 adbc,ad平面 pdc,得 bc平面 pdc,因此 bcpc. 在 rtpcb 中,pb=22pcbc+=13. 在 rtpeb 中,sinpbe=pepb=3913. 7 / 9 所以直线 pb与平面 abcd所成角的正弦值为3913. 18.(2012 天津,文 18)已知an是等差数列,其前 n项和为 sn,bn是

12、等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)记 tn=a1b1+a2b2+anbn,nn*,证明 tn-8=an-1bn+1(nn*,n2). (1)解:设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q.由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d. 由条件,得方程组3323d2q27,86d2q10. +=+=解得d3,q2.= 所以 an=3n-1,bn=2n,nn*. (2)证明:由(1)得 tn=2 2+5 22+8 23+(3n-1) 2n, 2tn=2 22+5 23+(3n-4) 2n+

13、(3n-1) 2n+1. 由-,得 -tn=2 2+3 22+3 23+3 2n-(3n-1) 2n+1 =n6 (1 2 )1 2-(3n-1) 2n+1-2=-(3n-4) 2n+1-8, 即 tn-8=(3n-4) 2n+1,而当 n2时,an-1bn+1=(3n-4) 2n+1. 所以,tn-8=an-1bn+1,nn*,n2. 19.(2012 天津,文 19)已知椭圆22xa+22yb=1(ab0),点 p52a,a52在椭圆上. (1)求椭圆的离心率; (2)设 a 为椭圆的左顶点,o为坐标原点.若点 q 在椭圆上且满足|aq|=|ao|,求直线 oq 的斜率的值. (1)解:因

14、为点 p52a,a52在椭圆上,故22a5a+22a2b=1,可得22ba=58. 于是 e2=222aba=1-22ba=38,所以椭圆的离心率 e=64. (2)解:设直线 oq 的斜率为 k,则其方程为 y=kx,设点 q 的坐标为(x0,y0). 由条件得00220022ykx ,xy1,ab=+=消去 y0并整理得 20 x=22222a bk ab+. 由|aq|=|ao|,a(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a)2+k220 x=a2,整理得(1+k2)20 x+2ax0=0,而 x00,故 x0=22a1k+,代入,整理得(1+k2)2=4k222ab+4. 由(1)知2

15、2ab=85,故(1+k2)2=325k2+4,即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 8 / 9 所以直线 oq的斜率 k=5. 20.(2012 天津,文 20)已知函数 f(x)=13x3+1 a2x2-ax-a,xr,其中 a0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (3)当 a=1时,设函数 f(x)在区间t,t+3上的最大值为 m(t),最小值为 m(t),记 g(t)=m(t)-m(t),求函数 g(t)在区间-3,-1上的最小值. (1)解:f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-

16、a).由 f(x)=0,得 x1=-1,x2=a0. 当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (-,-1) -1 (-1,a) a (a,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 故函数 f(x)的单调递增区间是(-,-1),(a,+);单调递减区间是(-1,a). (2)解:由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当f(-2)0,f(-1)0,f(0)0,解得 0a13. 所以,a 的取值范围是10,3. (3)解:a=1 时,f(x)=13x3-x-1.由(1)知 f(x)在-3,-1上单调递增,在-1,1上单调递减,在1,2上单调递增. 当 t-3,-2时,t+30,1,-1t,t+3,f(x)在t,-1上单调递增,在-1,t+3上单调递减.因此,f(x)在t,t+3上的最大值 m(t)=f(-1)=-13,而最小值 m(t)为 f(t)与 f(t+3)中的较小者.由 f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当 t-3,-2时,f(t)f(t+3),故 m(t)=f(t),所以 g(t)=f(-1)-f(t).而 f(t)在-3,-2上单调递增,因此 f(t)f(-2)=-53,所以 g(t)