小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

1、小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是 _m-2_和 _m+2 _ 。2有一种三位数， 它能同时被 2、3、7 整除，这样的三位数中， 最大的一个是 _966_，最小的一个是 _126_。解题过程： 2 ×3 ×7=42 ；求三位数中 42 的倍数 126 、168 、 9663小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是 _9_岁和 _16_岁。解题过程： 144=2 ×2 ×2 ×2×3 ×3 ；（9、16 ） =14一个四

2、位数，它的第一个数字等于这个数中数字0 的个数，第二个数字表示这个数中数字 1 的个数，第三个数字表示这个数中数字 2 的个数，第四个数字等于这个数中数字 3 的个数，那么这个四位数是 _1210_。5 2310 的所有约数的和是 _6912_。解题过程：2310=2 ×3×5 ×7 ×11 ；约数和 =（1+2 ）×（1+3 ）×（ 1+5 ）×（1+7 ）×（1+11 ）6已知 2008 被一些自然数去除，得到的余数都是 10，这些自然数共有 _11_个。解题过程： 2008-10=1998；1998=2 &#

3、215;33 ×37 ；约数个数 = （1+1 ）×（1+3 ）×（1+1 ）=16 （个）其中小于 10 的约数共有 1，2 ，3 ，6，9 ；16-5=11 （个）7从 1、2、3、 、 1998、 1999 这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于 4？_ 1000 _。解题过程： 1 ，5 ，9，13 ， 1997 （ 500 个） 隔 1 个取 1 个，共取 250 个 2 ，6 ，10 ，14 ， 1998 （500 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个3 ，7 ，11 ，15 ， 1999 （500 个）隔 1 个取 1

4、个，共取 250 个4 ，8 ，12 ，16 ， 1996 （499 个）隔 1 个取 1 个，共取 250 个8黑板上写有从 1 开始的若干个连续的奇数： 1，3，5，7，9，11， 13 擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为 1998，那么擦去的奇数是 _27_。解题过程： 1+3+5+ （ 2n-1 ）=n 2 ； 45×45=2025 ；2025-1998=279一个 1994 位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以 13，商的第 200 位（从左往右数）数字是 _5_，商的个位数字是 _6_，余数是 _5_。解题过程：333333333 ÷13=2564

5、10 25641010在小于 5000 的自然数中，能被11 整除，并且数字和为13 的数，共有 _18_个。解题过程：能被11 整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11 的倍数；1 位数不满足条件； 2 位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于 13 ）；应为 3 或 4 位数； 13=12+1 ；偶数位数字和 =1 ，奇数位数字和 =12 时，共有14 个；偶数位数字和 =12 ，奇数位数字和 =1 时，共有 4 个； 14+4=18（个）11设 n 是一个四位数，它的 9 倍恰好是其反序数（例如： 123 的反序数是 321），则 n_1089_。解题过程：千位只能是1；

6、个位只能是9；百位只能是0 或 1 ；如百位是 1 ，则十位必须为 0，但所得数 1109 不满足题意；如百位是0 ，则十位必须为8，得数 1089 满足题意12555555 的约数中，最大的三位数是_555_。解题过程： 555555= 3 ×5 ×11 ×37 ×91 ；3 ×5 ×37=55513设 a 与 b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是以有 _17_种不同的值。72，那么a 与b 之和可解题过程： 72=2 ×2 ×2 ×3 ×3；a=72 ，b= （1+3 ）

7、5;（1+2 ）-1=12-1=11；a=36 ，b=8或 24；a=24 ， b=9 或 18 ；a=18 ， b=8 ；a=9 ，b=8 ；11+6=1714小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1，2，3， ， 13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积， 可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被 6 整除的乘积共有 _21_个。解题过程： 6 ×1 ，2，3 ， 13共 13 个；12 ×7， 8 ，9 ， 13=6×14 ，16 ，18 ， 26共7个；9 ×10=6 ×15 共 1 个；13

8、+7+1=21 （个）15一列数 1， 2， 4， 7，11，16， 22，29， 这列数的组成规律是第2 个数比第 1 个数多 1；第 3 个数比第 2 个数多 2；第 4 个数比第 3 个数多 3；依此类推。那么这列数左起第 1992 个数除以 5 的余数是 _2_。解题过程： a2 -a 1=1 ； a3 -a 2 =2 ； an-1 -a n -2=n-2 ；an -a n-1 =n-1 ；an -a 1=1+2+3+n-1=n （n-1 ） /2 ；an = n （n-1 ） /2+1；a1992=1992 ×（1992-1 ） /2+1=996×1991+1=

9、（ 995+1 ）×（1990+1）+116两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是 _20或40_。解题过程：（ a、 b ）=5 ；5|a ，5|b ；a=5 ，b=45或 a=15 ，b=3517将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰好是某个自然数的平方，这个和是_121_。解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11 的倍数，即11 的平方。18100 以内所有被 5 除余 1 的自然数的和是 _970_。解题过程： 1+6+11+16+91+96= （1+96 ）×20 ÷2=9701

10、99 个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多 _4_个。解题过程： 9 个连续的自然数， 末尾可能是 0-9 ，末尾是 0 、2、4、6 、8 的一定被 2 整除，末尾是 5 的一定被 5 整除，每连续 3 个自然数中一定有一个是 3 的倍数，只有末尾是 1 、 3、 7、 9 的数可能是质数于是质数只可能在这 5 个连续的奇数中，所以质数个数不能超过 420如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是_961_。解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如1 和本身是一对，出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的，即这个

11、自然数是完全平方数。1000 以内最大的完全平方数是31 2 =961，所以这个希望数是96121两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和是_105 或147_。解题过程：126=21×2×3；这两个数是42 和63 ，或21 和12622甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是_32_。解题过程：4 |364×8= 3236 ÷4= 9288 ÷4÷9= 823一个三位数能同时被2、5、7 整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是 _560_。解题过程： 2 ×

12、5 ×7=70 ；70 ×2， 3 ，4， 13 ，14=140 ，210 ， 280 ， 910 ，98024有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是_30_。解题过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4 个数和为11 ，分别为1、2、3、 525两个整数相除得商数是12 和余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是 _30_。解题过程：设除数是X，则12X+26+X+12+26=454；X=3026在1×2× 3× ×

13、; 100 的积的尾部有_21_个连续的零。解题过程：尾数为5 的共10个，尾数1 个0 的9 个，2个0 的1 个，共21 个027有 0、1、 4、 7、 9 五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如能被 3 整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5 个数的末位数字是1409），把其中_9_。解题过程： 1047 、1074 、1407 、1470 、1704 、1740 、4017 、4071 、4107 、41701479 、 1497 、1749 、179428一些四位数，百位数字都是 3，十位数字都是 6，并且他们既能被 2 整除又能被 3 整除。甲是这样四位数中最大的，乙是

14、最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是 _18_。解题过程：求 ?36? 中能被 3 整除的偶数；甲为9366 ，乙为 1362 ；9+6+1+2=1829把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、 、9、10、11、12、 ，把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数： 1、2、 、 9、 1、 0、 1、1、1、2、1、3、 。则第一串数中 100 的个位数字 0 在第二串数中是第 _192_个数。解题过程： 1-9 （共 9 个）， 10-99 （共 180 个），100 （共 3 个）30某个质数与6、8、12、 14 之和都仍然是质数，

15、一共有_1_个满足上述条件的质数。解题过程：除 2 和 5 以外，其它质数的个位都是1， 3，7 ，9；6 ，8，12 ，14 都是偶数，加上唯一的偶数质数2 和仍然是偶数，所以不是2 ；14 加上任何尾数是 1 的质数，最后的尾数都是 5，一定能被 5 整除； 12 加上任何尾数是 3 的质数，尾数也是 5；8 加上任何尾数是 7 的质数，尾数也是 5 ； 6 加上任何尾数是 9 的质数，尾数也是 5；所以，这个质数的末位一定不是1，3，7，9；只有5符合31已知 a 与 b 的最大公约数是 12，a 与 c 的最小公倍数是 300，b 与 c 的最小公倍数也是 300。那么满足上述条件的自

16、然数 a、b、c 共有 _30_组。（例如 a12，b300，c 300，与 a300， b 12，c300 是不同的两个自然数组）解题过程：（a，b ）=12 ，a=12m ，b=12n （m ，n=1 或 5 或 25 ，且（ m ，n ）=1 ）；a ，c=300 ，b ， c=300 ，c=25k （ k=1 ，2 ，3 ，4， 6， 12 ）；当m=1，n=1时， a=12，b=12， c=25k当m=1，n=5时， a=12，b=60， c=25k当m=1，n=25时， a=12， b=300，c=25k当m=5，n=1时， a=60，b=12， c=25k当m=25， n=1时，

17、 a=300， b=12，c=25k故有30 组32从左向右编号为1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行。从左向右1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1 至 11 报数，报数为11 的同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1 至 11 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_1331_。解题过程： 11 ×11× 11=133133在 1，9，8，9 后面写一串这样的数字：先计算原来这 4 个数的后两个之和 8917，取个位数字 7 写在 1， 9

18、， 8， 9 的后面成为 1， 9， 8， 9，7；再计算这 5 个数的后两个之和 9716；取个位数字 6 写在 1， 9， 8， 9， 7 的后面成为 1， 9， 8， 9， 7，6；再计算这 6 个数的后两个之和 7613，取个位数字 3 写在 1，9，8，9，7，6 的后面成为 1，9，8， 9，7，6，3。继续这样求和，这样填写，成为数串1， 9， 8， 9， 7， 6， 3，9，2，1，3， 4 那么这个数串的前398 个数字的和是 _1990_。解题过程： 1，9，|8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，|8 ，9，7，6，3， 398-2=396 ； 396 

19、7;12=33 ； 8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×33+10=1990二、判断题1两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。（ ）2偶数的个位一定是0、2、4、6 或 8。 （ ）3奇数的个位一定是1、3、5、7 或 9。 （ ）4所有的正偶数均为合数。（ × ）5奇数与奇数的和或差是偶数。（ ）6偶数与奇数的和或差是奇数。（ ）7奇数与奇数的积是奇数。（ ）8奇数与偶数的积是偶数。（ ）9任何偶数的平方都能被4 整除。（ ）10任何奇数的平方被8 除都余 1。 （ ）11相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。 （ ）12任何一个自然数

20、，不是质数就是合数。（ × ）13互质的两个数可以都不是质数。（ ）14如果两个数的积是它们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。（ ）三、计算题1能不能将（ 1）505；（2）1010 写成 10 个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。解题过程： S=n+ （n+1 ）+ （n+2 ）+ （n+3 ） + （n+4 ）+ （n+5 ）+ （n+6 ）+ （n+7 ）+ （n+8 ） + （n+9 ）=10n+45（一定是奇数）（1 ）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010 是偶数，不能写成10 个连续自然数之和2（1）从1

21、 到3998 这3998 个自然数中，有多少个能被4 整除？（2）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被解题过程：（ 1 ）3998 ÷4=999 （个） 24 整除？（ 2 ）考虑个位，选法有 10 种 ;十位，选法有 10 种;百位选法有 10 种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以 4 的余数有 3 种情况，余 0 、余 1、余 2 、余 3 ，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000 个；1000-1=999（个）3请将 1，2，3， ， 99， 100 这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使每两个相邻的数都不互

22、质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三行接着写）。解题过程： 9，15 ，21 ，27 ，33 ，39，45，51 ，57 ，63 ，69 ，75 ，81 ，87，93 ，9915 ，25，35 ，55 ，65，85 ，9521 ，35 ，49 ，77 ，9133 ，55 ，77 ，9925，35 ，55 ，65，85 ，95 ；15 ，9，21 ，27，33，39，45 ，51 ，57 ，63 ，69 ，75，81，87，93 ，99 ；77 ，91 ，494一个自然数除以 8 得到的商加上这个数除以 9 的余数，其和是 13。求所有满足条件的自然数。解题过程：设

23、这个数为n ，除以 9 的余数 r 8 ，所以除以 8 得到的商 q 13-8=5 ，且 q 13n=8q+k=9p+r=>k=9p+r-8p=9p+r-8×（13-r ） =9 ×（p+r ）-104=4q=5 ，n=8 ×5+4=44q=6 ，n=8 ×6+4=52q=7 ，n=8 ×7+4=60q=8 ，n=8 ×8+4=68q=9 ，n=8 ×9+4=76q=10 ，n=8 ×10+4=84q=11 ，n=8 ×11+4=92q=12 ，n=8 ×12+4=100q=13 ，n=8

24、 ×13+4=1085有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3 张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12 张卡片发给 6 名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为： 92、125、133、 147、158、191。老师看完 6 名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为 A 、B、C、D ，则六位同学所计算的分别为 A+B 、A+C 、A+D 、B+C 、B+D 、C+D 这 6

25、 个和数，且最小的两个依次为 A+B 、A+C ，最大的两个依次为 C+D 、B+D 。（A+B ）+ （C+D ）= （A+C ）+ （B+D ）= （A+D ）+ （B+C ）；而 92+191=283=125+158， 133+147=280283 ；所以， A+B=92 ，A+C=125 ， B+D=158，C+D=191 ； 133 、147 中有一个不正确。若 147 是正确的， 则 B+C=147 ， A+D=283-147=136。C-B= （A+C ） - （A+B ）=125-92=33 => C=90， B=57 ，A=92-57=35 ，D=191-90=101若

26、 133 是正确的， 则 A+D=133 ，B+C=283-133=150。C-B= （A+C ） - （A+B ）=125-92=33 => B=50， C=83 ，A=92-50=42 ，D=191-83=108所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35或 42。6有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数。（说明理由）解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、 B、C，显然，它们互不相等且都不等于0 。则 222 ×（A+B+C ）=2886 => A+B+C=2886÷222=13百位

27、数为 1 是最小的，另两个数分别为 3 和 9 ；所以最小的三位数为 139 7求小于 1001 且与 1001 互质的所有自然数的和。解题过程： 1001 7×11 ×131 2 1000= （11000 ）×1000 ÷25005007 14 21 994 （ 7994 ）×142 ÷2 7107111 22 990 （ 11 990 ）×90 ÷24504513 26 988 （ 13 988 ）×76 ÷23803877+154+231+924= （ 77+924 ）×12 ÷2=600691+182+273+910= （ 91+910 ）×10 ÷2=5005143+286+429+858= （143+858 ）×6÷2=3003500500 71071 45045 38038+6006+5005+30033603608三张卡片，在它们上面各写一个数字（如图）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过程： 2、3、13 、23 、319一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的