2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)文

1、1 / 14 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷四川卷) 数学数学(文史类文史类) 本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷 1至 2 页,第卷 3 至 4页,共 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第卷(选择题 共 50分) 注意事项: 必须使用 2b铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(2013 四川

2、,文 1)设集合 a=1,2,3,集合 b=-2,2.则 ab=( ). a. b.2 c.-2,2 d.-2,1,2,3 答案:b 解析:1,2,3-2,2=2. 2.(2013 四川,文 2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ). a.棱柱 b.棱台 c.圆柱 d.圆台 2 / 14 答案:d 解析:从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正视图与侧视图为等腰梯形,故此几何体为圆台. 3.(2013 四川,文 3)如图,在复平面内,点 a 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是( ). a.a b.b c.c d.d 答案:b 解析:设 z=a+bi,则共轭复数

3、为=a-bi, 表示 z 与的两点关于 x轴对称. 故选 b. 4.(2013 四川,文 4)设 xz,集合 a是奇数集,集合 b是偶数集.若命题 p:xa,2xb,则( ). a.p:xa,2xb b.p:xa,2xb c.p:xa,2xb d.p:xa,2xb 答案:c 解析:原命题的否定是xa,2xb. 5.(2013 四川,文 5)抛物线 y2=8x的焦点到直线 x-3y=0的距离是( ). a.23 b.2 c.3 d.1 答案:d 3 / 14 解析:y2=8x的焦点为 f(2,0),它到直线 x-3y=0 的距离 d=21+3=1.故选 d. 6.(2013 四川,文 6)函数

4、f(x)=2sin(x+) ( 0,-2 2)的部分图象如图所示,则 , 的值分别是( ). a.2,-3 b.2,-6 c.4,-6 d.4,3 答案:a 解析:由图象知函数周期 t=2(1112-512)=, =2=2,把(512,2)代入解析式,得 2=2sin(2 512+ ),即 sin(56+ )=1. 56+=2+2k(kz),=-3+2k(kz). 又-2b0)上一点 p向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 f1,a是椭圆与 x轴正半轴的交点,b 是椭圆与 y轴正半轴的交点,且 abop(o是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ). a.24 b.12 c.22 d.32 答案:c

5、解析:由题意知 a(a,0),b(0,b),p(-c,b2a), abop, -b2ac=-ba.b=c. a2=b2+c2,e2=c2a2=12. e=22.故选 c. 10.(2013 四川,文 10)设函数 f(x)=x+ x-a(ar,e为自然对数的底数),若存在 b0,1使 f(f(b)=b成立,则 a 的取值范围是( ). a.1,e b.1,1+e c.e,1+e d.0,1 答案:a 解析:当 a=0 时,f(x)=x+ x为增函数, b0,1时,f(b)1, + 1. f(f(b) + 11. 不存在 b0,1使 f(f(b)=b成立,故 d错; 当 a=e+1 时,f(x)

6、=x+ x-1,当 b0,1时,只有 b=1 时,f(x)才有意义,而 f(1)=0, f(f(1)=f(0),显然无意义,故 b,c错.故选 a. 第二部分(非选择题 共 100分) 6 / 14 注意事项: 必须使用 0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5分,共 25分. 11.(2013 四川,文 11)lg5+lg20的值是 . 答案:1 解析:lg5+lg20=lg(5 20)=lg100=1. 12.(2013 四川,文 12)如

7、图,在平行四边形 abcd中,对角线 ac与 bd交于点 o,ab + ad =ao .则= . 答案:2 解析:由平行四边形法则知ab + ad = ac =2ao , =2. 13.(2013 四川,文 13)已知函数 f(x)=4x+ax(x0,a0)在 x=3 时取得最小值,则 a= . 答案:36 解析:由基本不等式可得 4x+ax24xax=4a,当且仅当 4x=ax即 x=a2时等号成立, a2=3,a=36. 14.(2013 四川,文 14)设 sin 2=-sin ,(2,),则 tan 2 的值是 . 答案:3 解析:sin 2=-sin ,(2,), 2sin cos

8、=-sin ,cos =-12. 7 / 14 (2,), =23,2=43. tan 2=tan43= 3. 15.(2013 四川,文 15)在平面直角坐标系内,到点 a(1,2),b(1,5),c(3,6),d(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 . 答案:(2,4) 解析:由题意可知,若 p 为平面直角坐标系内任意一点,则 |pa|+|pc|ac|,等号成立的条件是点 p在线段 ac上; |pb|+|pd|bd|,等号成立的条件是点 p在线段 bd 上, 所以到 a,b,c,d四点的距离之和最小的点为 ac与 bd 的交点. 直线 ac方程为 2x-y=0,直线 bd方程为 x+y-

9、6=0, 2x-y = 0,x + y-6 = 0,解得x = 2,y = 4. 即所求点的坐标为(2,4). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(2013 四川,文 16)(本小题满分 12 分)在等比数列an中,a2-a1=2,且 2a2为 3a1和 a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前 n项和. 解:设该数列的公比为 q,由已知,可得 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 所以,a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比

10、q=3,首项 a1=1. 所以,数列的前 n 项和 sn=3n-12. 8 / 14 17.(2013 四川,文 17)(本小题满分 12 分)在abc中,角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,且 cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin(a+c)=-35. (1)求 sin a 的值; (2)若 a=42,b=5,求向量ba 在bc 方向上的投影. 解:(1)由 cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin(a+c)=-35,得 cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin b=-35. 则 cos(a-b+b)=-35,即 cos a=-35. 又 0ab,则 ab

11、,故 b=4. 根据余弦定理,有 (42)2=52+c2-2 5c (-35), 解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 故向量ba 在bc 方向上的投影为|ba |cos b=22. 9 / 14 18.(2013 四川,文 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x在 1,2,3,24这 24 个整数中等可能随机产生. (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i的概率 pi(i=1,2,3). (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频

12、数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1的频数 输出 y 的值 为 2的频数 输出 y 的值 为 3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1的频数 输出 y 的值 为 2的频数 输出 y 的值 为 3的频数 30 12 11 7 2 100 1 051 696 353 当 n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. 解:(1)

13、变量 x 是在 1,2,3,24 这 24个整数中随机产生的一个数,共有 24种可能. 10 / 14 当 x从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 p1=12; 当 x从 2,4,8,10,14,16,20,22这 8个数中产生时,输出 y的值为 2,故 p2=13; 当 x从 6,12,18,24这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 p3=16. 所以,输出 y 的值为 1的概率为12,输出 y 的值为 2的概率为13,输出 y 的值为 3的概率为16. (2)当 n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出

14、y的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 输出 y 的值 为 1的频率 输出 y 的值 为 2的频率 输出 y 的值 为 3的频率 甲 1 0272 100 3762 100 6972 100 乙 1 0512 100 6962 100 3532 100 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. 19.(2013 四川,文 19)(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 abc-a1b1c1中,侧棱 aa1底面abc,ab=ac=2aa1=2,bac=120 ,d,d1分别是线段 bc,b1c1的中点,p是线段 ad 上异于端点的点. (1)在平面 abc内,试作出过点

15、 p 与平面 a1bc 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l平面 add1a1; (2)设(1)中的直线 l交 ac于点 q,求三棱锥 a1-qc1d的体积.(锥体体积公式:v=13sh,其中 s 为底面面积,h为高) 11 / 14 解:(1)如图,在平面 abc内,过点 p 作直线 lbc, 因为 l在平面 a1bc外,bc在平面 a1bc 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l平面 a1bc. 由已知,ab=ac,d是 bc 的中点, 所以,bcad,则直线 lad. 因为 aa1平面 abc,所以 aa1直线 l. 又因为 ad,aa1在平面 add1a1内,且 ad与 aa1相

16、交, 所以直线 l平面 add1a1. (2)过 d 作 deac于 e, 因为 aa1平面 abc,所以 deaa1. 又因为 ac,aa1在平面 aa1c1c内,且 ac与 aa1相交, 所以 de平面 aa1c1c. 由 ab=ac=2,bac=120 ,有 ad=1,dac=60 , 所以在acd中,de=32ad=32. 又sa1qc1=12a1c1aa1=1, 所以va1-qc1d= vd-a1qc1=13desa1qc1=1332 1=36. 因此三棱锥 a1-qc1d 的体积是36. 20.(2013 四川,文 20)(本小题满分 13 分)已知圆 c 的方程为 x2+(y-4

17、)2=4,点 o是坐标原点,直线 l:y=kx与圆 c交于 m,n 两点. (1)求 k的取值范围; (2)设 q(m,n)是线段 mn上的点,且2|oq|2=1|om|2+1|on|2,请将 n 表示为 m的函数. 解:(1)将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4中,得 12 / 14 (1+k2)x2-8kx+12=0.(*) 由 =(-8k)2-4(1+k2) 120,得 k23. 所以,k 的取值范围是(-,-3)(3,+). (2)因为 m,n在直线 l上,可设点 m,n的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2), 则|om|2=(1+k2)x12,|on|2=(1+k2)x

18、22, 又|oq|2=m2+n2=(1+k2)m2. 由2|oq|2=1|om|2+1|on|2,得 2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22, 即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22. 由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2, 所以 m2=365k2-3. 因为点 q 在直线 y=kx上, 所以 k=nm,代入 m2=365k2-3中并化简,得 5n2-3m2=36. 由 m2=365k2-3及 k23,可知 0m20, 所以 n=36+3m25=15m2+1805. 于是,n 与 m的函数关系为 n=15m2+

19、1805(m(-3,0)(0,3). 21.(2013 四川,文 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2+ 2x + a,x 0,其中 a是实数,设a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且 x1x2. 13 / 14 (1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图象在点 a,b处的切线互相垂直,且 x20,证明:x2-x11; (3)若函数 f(x)的图象在点 a,b处的切线重合,求 a的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为-1,0),(0,+). (2)由导数的几何意义可知,点 a 处的切线斜率为 f(x1),点 b 处的切线斜率为 f(x2), 故当点 a 处的切线与点 b处的切线垂直时,有 f(x1)f(x2)=-