2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)文 (2)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第卷和第卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修

2、正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b).第卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,文1)复数z=(2-i)2i(i为虚数单位),则|z|=(). a.25b.41c.5d.5答案:c解析:z=4-4i-1i=3-4ii=-4-3i,所以|z|=(-4)2+(-3)2=5.故选c.2.(2013山东,文2)已知集合a,b均为全集u=1,2,3,4的子集,且u(ab)=4,

3、b=1,2,则aub=().a.3b.4c.3,4d.答案:a解析:u(ab)=4,ab=1,2,3.又b=1,2,a一定含元素3,不含4.又ub=3,4,aub=3.3.(2013山东,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=().a.2b.1c.0d.-2答案:d解析:f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1)=-1+11=-2.4.(2013山东,文4)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是().a.45,8b.45,83c.4(5+1),83d.8,8答案:b解析:由正(主)视图数据可

4、知正四棱锥的底面是边长为2的正方形,高也是2,如图:由图可知po=2,oe=1,所以pe=22+12=5,所以v=13×4×2=83,s=4×2×5×12=45.5.(2013山东,文5)函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为().a.(-3,0b.(-3,1c.(-,-3)(-3,0d.(-,-3)(-3,1答案:a解析:由题可知1-2x0x+3>02x1x>-3x0,x>-3,定义域为(-3,0.6.(2013山东,文6)执行两次右图所示的程序框图,若第一次输入的a的值为-1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、

5、第二次输出的a的值分别为().a.0.2,0.2b.0.2,0.8c.0.8,0.2d.0.8,0.8答案:c解析:第一次:a=-1.2<0,a=-1.2+1=-0.2,-0.2<0,a=-0.2+1=0.8>0,a=0.81不成立,输出0.8.第二次:a=1.2<0不成立,a=1.21成立,a=1.2-1=0.21不成立,输出0.2.7.(2013山东,文7)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.若b=2a,a=1,b=3,则c=().a.23b.2c.2d.1答案:b解析:由正弦定理asina=bsinb得:1sina=3sinb,又b=2a,1sina=

6、3sin2a=32sinacosa,cos a=32,a=30°,b=60°,c=90°,c=12+(3)2=2.8.(2013山东,文8)给定两个命题p,q.若􀱑p是q的必要而不充分条件,则p是􀱑q的().a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:由题意:q􀱑p,􀱑pq,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以q􀱑p,􀱑pq等价于p􀱑q,􀱑qp,所以p是

7、􀱑q的充分而不必要条件.故选a.9.(2013山东,文9)函数y=xcos x+sin x的图象大致为().答案:d解析:因f(-x)=-x·cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除b,又x0,2,y>0,排除c,而x=时,y=-,排除a,故选d.10.(2013山东,文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示:则7个剩余分数的方差为().a.1169b.367c.36d.677答案:b解析:

8、模糊的数为x,则:90+x+87+94+91+90+90+91=91×7,x=4,所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87,方差为s2=2(90-91)2+2(91-91)2+2(94-91)2+(87-91)27=367.11.(2013山东,文11)抛物线c1:y=12px2(p>0)的焦点与双曲线c2:x23-y2=1的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线,则p=().a.316b.38c.233d.433答案:d解析:设mx0,12px02,y'=12px2'=xp,故m点切线的斜率为x0p=33

9、,故m33p,16p.由33p,16p,0,p2,(2,0)三点共线,可求得p=433,故选d.12.(2013山东,文12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当zxy取得最小值时,x+2y-z的最大值为().a.0b.98c.2d.94答案:c解析:由x2-3xy+4y2-z=0得x2+4y2-3xy=z,zxy=x2+4y2xy-32x2·4y2xy-3=4xyxy-3=1,当且仅当x2=4y2即x=2y时,zxy有最小值1,将x=2y代入原式得z=2y2,所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y,当y=1时有最大值2.故选c.第卷(共90分)二、

10、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,文13)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为. 答案:22解析:如图,当ab所在直线与ac垂直时弦bd最短,ac=(3-2)2+(1-2)2=2,cb=r=2,ba=22-(2)2=2,bd=22.14.(2013山东,文14)在平面直角坐标系xoy中,m为不等式组2x+3y-60,x+y-20,y0所表示的区域上一动点,则|om|的最小值是. 答案:2解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知om的最小值即为点o到直线x+y-2=0的距离,即dmin=|-2|

11、2=2.15.(2013山东,文15)在平面直角坐标系xoy中,已知oa=(-1,t),ob=(2,2).若abo=90°,则实数t的值为. 答案:5解析:oa=(-1,t),ob=(2,2),ba=oa-ob=(-3,t-2).又abo=90°,ba·ob=0,即(-3,t-2)·(2,2)=0,-6+2t-4=0,t=5.16.(2013山东,文16)定义“正对数”:ln+x=0,0<x<1,lnx,x1.现有四个命题:若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;若a>0,b>0,则ln+(ab)=l

12、n+a+ln+b;若a>0,b>0,则ln+abln+a-ln+b;若a>0,b>0,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号) 答案:三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,文17)(本小题满分12分)某小组共有a,b,c,d,e五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:abcde身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2

13、)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(a,b),(a,c),(b,c),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=36=12.(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d

14、),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有:(c,d),(c,e),(d,e),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为p=310.18.(2013山东,文18)(本小题满分12分)设函数f(x)=32-3sin2x-sin xcos x(>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值;(2)求f(x)在区间,32上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=3

15、2-3sin2x-sin xcos x=32-3·1-cos2x2-12sin 2x=32cos 2x-12sin 2x=-sin2x-3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,又>0,所以22=4×4.因此=1.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-3.当x32时,532x-383.所以-32sin2x-31,因此-1f(x)32.故f(x)在区间,32上的最大值和最小值分别为32,-1.19.(2013山东,文19)(本小题满分12分)如图,四棱锥p-abcd中,abac,abpa,abcd,ab=2cd,e,f,g,m,n分别为pb,ab,bc,pd

16、,pc的中点.(1)求证:ce平面pad;(2)求证:平面efg平面emn.(1)证法一:取pa的中点h,连接eh,dh.因为e为pb的中点,所以ehab,eh=12ab.又abcd,cd=12ab,所以ehcd,eh=cd.因此四边形dceh是平行四边形,所以cedh.又dh平面pad,ce平面pad,因此ce平面pad.证法二:连接cf.因为f为ab的中点,所以af=12ab.又cd=12ab,所以af=cd.又afcd,所以四边形afcd为平行四边形.因此cfad.又cf平面pad,所以cf平面pad.因为e,f分别为pb,ab的中点,所以efpa.又ef平面pad,所以ef平面pad.

17、因为cfef=f,故平面cef平面pad.又ce平面cef,所以ce平面pad.(2)证明:因为e,f分别为pb,ab的中点,所以efpa.又abpa,所以abef.同理可证abfg.又effg=f,ef平面efg,fg平面efg,因此ab平面efg.又m,n分别为pd,pc的中点,所以mncd.又abcd,所以mnab.因此mn平面efg.又mn平面emn,所以平面efg平面emn.20.(2013山东,文20)(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为sn,且s4=4s2,a2n=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1a1+b2a2+bnan=1-12n,nn

18、*,求bn的前n项和tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由s4=4s2,a2n=2an+1得:4a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1,解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,nn*.(2)由已知b1a1+b2a2+bnan=1-12n,nn*,当n=1时,b1a1=12;当n2时,bnan=1-12n-1-12n-1=12n.所以bnan=12n,nn*.由(1)知an=2n-1,nn*,所以bn=2n-12n,nn*.又tn=12+322+523+2n-12n,12tn=122+323+2n-32n+2n-12n+1,两式相减得12t

19、n=12+222+223+22n-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1,所以tn=3-2n+32n.21.(2013山东,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a,br).(1)设a0,求f(x)的单调区间;(2)设a>0,且对任意x>0,f(x)f(1).试比较ln a与-2b的大小.解:(1)由f(x)=ax2+bx-ln x,x(0,+),得f'(x)=2ax2+bx-1x.当a=0时,f'(x)=bx-1x.若b0,当x>0时,f'(x)<0恒成立,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,+)

20、.若b>0,当0<x<1b时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.当x>1b时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是0,1b,单调递增区间是1b,+.当a>0时,令f'(x)=0,得2ax2+bx-1=0.由=b2+8a>0得x1=-b-b2+8a4a,x2=-b+b2+8a4a.显然,x1<0,x2>0.当0<x<x2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>x2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的

21、单调递减区间是0,-b+b2+8a4a,单调递增区间是-b+b2+8a4a,+.综上所述,当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+);当a=0,b>0时,函数f(x)的单调递减区间是0,1b,单调递增区间是1b,+;当a>0时,函数f(x)的单调递减区间是0,-b+b2+8a4a,单调递增区间是-b+b2+8a4a,+.(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值,由(1)知-b+b2+8a4a是f(x)的唯一极小值点,故-b+b2+8a4a=1,整理得2a+b=1,即b=1-2a.令g(x)=2-4x+ln x,则g'(x)=1-4xx,令g'(x

22、)=0,得x=14.当0<x<14时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>14时,g'(x)<0,g(x)单调递减.因此g(x)g14=1+ln14=1-ln 4<0,故g(a)<0,即2-4a+ln a=2b+ln a<0,即ln a<-2b.22.(2013山东,文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆c的中心在原点o,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为22.(1)求椭圆c的方程;(2)a,b为椭圆c上满足aob的面积为64的任意两点,e为线段ab的中点,射线oe交椭圆c于点p.设op=top,求实数t的值.解:(1)设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意知a2=b2+c2,ca=22,2b=2,解得a=2,b=1.因此椭圆c的方程为x22+y2=1.(2)当a,b两点关于x轴对称时,设直线ab的方程为x=m,由题意-2<m<0或0