2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)文

1、1 / 13 2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷广东卷) 数学数学(文科文科) 本试卷共 4 页,21小题,满分 150 分。考试用时 120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用 2b 铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用 2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答

2、题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 v=13sh,其中 s 为锥体的底面积,h为锥体的高. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5 分,满分 50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 广东,文 1)设集合 s=x|x2+2x=0,xr,t=x|x2-2x=0,xr,

3、则 st=( ). a.0 b.0,2 c.-2,0 d.-2,0,2 答案:a 解析:s=-2,0,t=0,2,st=0. 2.(2013 广东,文 2)函数 y=(x+1)x-1的定义域是( ). 2 / 13 a.(-1,+) b.-1,+) c.(-1,1)(1,+) d.-1,1)(1,+) 答案:c 解析:要使函数有意义,则x + 1 0,x-1 0, 解得 x-1 且 x1, 故函数的定义域为(-1,1)(1,+). 3.(2013 广东,文 3)若 i(x+yi)=3+4i,x,yr,则复数 x+yi的模是( ). a.2 b.3 c.4 d.5 答案:d 解析:i(x+yi)

4、=-y+xi=3+4i, x = 4,y = -3. x+yi=4-3i. |x+yi|=42+ (-3)2=5. 4.(2013 广东,文 4)已知 sin(52+ ) =15,那么 cos =( ). a.-25 b.-15 c.15 d.25 答案:c 解析:sin(52+ )=sin(2 +2+ ) =sin(2+ )=cos =15, cos =15. 5.(2013 广东,文 5)执行如图所示的程序框图,若输入 n的值为 3,则输出 s 的值是( ). 3 / 13 a.1 b.2 c.4 d.7 答案:c 解析:i=1,s=1,i3,s=1+0=1,i=2; i3,s=1+1=2

5、,i=3; i3,s=2+2=4,i=4; i3,s=4. 6.(2013 广东,文 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ). a.16 b.13 c.23 d.1 答案:b 解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是 1,且三棱锥的高为2,故 v三棱锥=1312 1 1 2=13. 7.(2013 广东,文 7)垂直于直线 y=x+1且与圆 x2+y2=1相切于第象限的直线方程是( ). a.x+y-2=0 b.x+y+1=0 c.x+y-1=0 d.x+y+2=0 答案:a 4 / 13 解析:由于所求切线垂直于直线 y=x+1,可设所求切线方

6、程为 x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得|m|2=1,解得 m= 2. 又由于与圆相切于第象限,则 m=-2. 8.(2013 广东,文 8)设 l为直线, 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ). a.若 l,l,则 b.若 l,l,则 c.若 l,l,则 d.若 ,l,则 l 答案:b 解析:如图,在正方体 a1b1c1d1-abcd中, 对于 a,设 l为 aa1,平面 b1bcc1,平面 dcc1d1为 ,. a1a平面 b1bcc1,a1a平面 dcc1d1, 而平面 b1bcc1平面 dcc1d1=c1c; 对于 c,设 l为 a1a,平面 abcd为 ,平面 dcc

7、1d1为 .a1a平面 abcd,a1a平面 dcc1d1, 而平面 abcd平面 dcc1d1=dc; 对于 d,设平面 a1abb1为 ,平面 abcd为 ,直线 d1c1为 l,平面 a1abb1平面 abcd,d1c1平面 a1abb1,而 d1c1平面 abcd. 故 a,c,d都是错误的. 而对于 b,根据垂直于同一直线的两平面平行,知 b 正确. 9.(2013 广东,文 9)已知中心在原点的椭圆 c的右焦点为 f(1,0),离心率等于12,则 c的方程是( ). 5 / 13 a.x23+y24=1 b.x24+y23=1 c.x24+y22=1 d.x24+y23=1 答案:

8、d 解析:由中心在原点的椭圆 c的右焦点 f(1,0)知,c=1. 又离心率等于12,则ca=12,得 a=2. 由 b2=a2-c2=3, 故椭圆 c 的方程为x24+y23=1. 10.(2013 广东,文 10)设 a是已知的平面向量且 a0.关于向量 a 的分解,有如下四个命题: 给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; 给定向量 b 和 c,总存在实数 和 ,使 a=b+c; 给定单位向量 b 和正数 ,总存在单位向量 c 和实数 ,使 a=b+c; 给定正数 和 ,总存在单位向量 b和单位向量 c,使 a=b+c. 上述命题中的向量 b,c 和 a在同一平面内且两两不共线,则

9、真命题的个数是( ). a.1 b.2 c.3 d.4 答案:b 解析:对于,由向量加法的三角形法则知正确;对于,由平面向量基本定理知正确;对于,以 a 的终点作长度为 的圆,这个圆必须和向量 b有交点,这个不一定能满足,故不正确;对于,利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必须|b|+|c|=+|a|,故不正确. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5分,满分 20 分. (一)必做题(1113 题) 11.(2013 广东,文 11)设数列an是首项为 1,公比为-2的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= . 答案:15 解析:由数列a

10、n首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 6 / 13 12.(2013 广东,文 12)若曲线 y=ax2-ln x在(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= . 答案:12 解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于 x轴得切线的斜率为 0,由 y=2ax-1x及导数的几何意义得y|x=1=2a-1=0,解得 a=12. 13.(2013 广东,文 13)已知变量 x,y 满足约束条件x-y + 3 0,-1 x 1,y 1,则 z=x+y的最大值是 . 答案:5 解析:由

11、线性约束条件画出可行域如下图,平移直线 l0,当 l过点 a(1,4),即当 x=1,y=4时,zmax=5. (二)选做题(1415 题,考生只能从中选做一题) 14.(2013 广东,文 14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 c的极坐标方程为 =2cos .以极点为原点,极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 c的参数方程为 . 答案:x = 1 + ,y = ( 为参数) 解析:由曲线 c的极坐标方程 =2cos 知以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线c是以(1,0)为圆心,半径为 1 的圆,其方程为(x-1)2+y2=1,故参数方程为x = 1 + ,y =

12、 (为参数). 15.(2013 广东,文 15)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形 abcd 中,ab=3,bc=3,beac,垂足为 e,则 ed= . 答案:212 7 / 13 解析:在 rtabc中,ab=3,bc=3,tanbac=bcab= 3, 则bac=60 ,ae=12ab=32. 在aed 中,ead=30 ,ad=3, ed2=ae2+ad2-2aeadcosead =(32)2+32-232 3 cos 30 =34+9-232 332 =214. ed=212. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(2013

13、 广东,文 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cos(x-12),xr. (1)求 f(3)的值; (2)若 cos =35,(32,2),求 f(-6). 解:(1)f(3) = 2cos(3-12) = 2cos4=1. (2)cos =35,(32,2), sin =-1-2=-45, 8 / 13 f(-6) = 2cos(-4) =2(4+ 4)=-15. 17.(2013 广东,文 17)(本小题满分 12 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100) 频数(个)

14、 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取 4个,其中重量在80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的 4个苹果中,任取 2个,求重量在80,85)和95,100)中各有 1 个的概率. 解:(1)苹果的重量在90,95)的频率为2050=0.4; (2)重量在80,85)的有 455+15=1个; (3)设这 4 个苹果中80,85)分段的为 1,95,100)分段的为 2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4

15、),共 6 种.任取 2个,重量在80,85)和95,100)中各有 1个记为事件 a,则事件 a 包含有(1,2),(1,3),(1,4),共 3 种,所以 p(a)=36=12. 18.(2013 广东,文 18)(本小题满分 14 分)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 abc中,d,e 分别是 ab,ac上的点,ad=ae,f是 bc的中点,af 与 de交于点 g.将abf沿 af折起,得到如图(2)所示的三棱锥a-bcf,其中 bc=22. 图(1) 9 / 13 图(2) (1)证明:de平面 bcf; (2)证明:cf平面 abf; (3)当 ad=23时,求三棱锥 f-d

16、eg 的体积 vf-deg. (1)证明:在等边三角形 abc 中, ad=ae,addb=aeec. 又addb=aeec,在折叠后的三棱锥 a-bcf中也成立, debc. de平面 bcf,bc平面 bcf, de平面 bcf. (2)证明:在等边三角形 abc 中,f是 bc的中点,bc=1,afcf,bf=cf=12. 在三棱锥 a-bcf中,bc=22, bc2=bf2+cf2.cfbf. bfaf=f,cf平面 abf. (3)解:由(1)可知 gecf,结合(2)可得 ge平面 dfg. vf-deg=ve-dfg=1312dgfgge=131213 (1332) 13=332

17、4. 10 / 13 19.(2013 广东,文 19)(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列an的前 n项和为 sn,满足 4sn=an+12-4n-1,nn*,且 a2,a5,a14构成等比数列. (1)证明:a2=4a1+ 5; (2)求数列an的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有1a1a2+1a2a3+1anan+10,a2=4a1+ 5. (2)解:当 n2时,4sn-1=an2-4(n-1)-1, 4sn=an+12-4n-1, 由-,得 4an=4sn-4sn-1=an+12 an2-4, an+12= an2+4an+4=(an+2)2. an0,an+1=an

18、+2, 当 n2 时,an是公差 d=2的等差数列. a2,a5,a14构成等比数列, a52=a2a14,(a2+6)2=a2(a2+24),解得 a2=3. 由(1)可知,4a1=a22-5=4,a1=1. a2-a1=3-1=2, an是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. 数列an的通项公式为 an=2n-1. (3)证明:1a1a2+1a2a3+1anan+1=113+135+157+1(2n-1)(2n+1) =12 (1-13) + (13-15) + (15-17) + + (12n-1-12n + 1) 11 / 13 =12 (1-12n+1) 0)到直线 l:x-y

19、-2=0 的距离为322.设 p为直线 l上的点,过点 p 作抛物线 c的两条切线 pa,pb,其中 a,b为切点. (1)求抛物线 c的方程; (2)当点 p(x0,y0)为直线 l上的定点时,求直线 ab 的方程; (3)当点 p 在直线 l上移动时,求|af| |bf|的最小值. 解:(1)依题意 d=|0-c-2|2=322,解得 c=1(负根舍去). 抛物线 c的方程为 x2=4y. (2)设点 a(x1,y1),b(x2,y2). 由 x2=4y,即 y=14x2,得 y=12x. 抛物线 c在点 a处的切线 pa的方程为 y-y1=x12(x-x1), 即 y=x12x+y1-1

20、2x12. y1=14x12,y=x12x-y1. 点 p(x0,y0)在切线 pa 上, y0=x12x0-y1. 同理,y0=x22x0-y2. 综合,得,点 a(x1,y1),b(x2,y2)的坐标都满足方程 y0=x2x0-y. 经过 a(x1,y1),b(x2,y2)两点的直线是唯一的, 直线 ab的方程为 y0=x2x0-y,即 x0 x-2y-2y0=0. (3)由抛物线的定义可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1, |af|bf|=(y1+1)(y2+1) 12 / 13 =y1+y2+y1y2+1. 联立x2= 4y,x0 x-2y-2y0= 0, 消去 x 得 y2+(2y0-x02)y+y02=0, y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02. 点 p(x0,y0)在直线 l上,x0-y0-2=0. |af|bf|=x02-2y0+y02+1 =y02-2y0+(y0+2)2+1 =2y02+2y0+5=2(y0+12)2+92. 当 y0=-12时,|af|bf|取得最小值为92. 21.(2013 广东,文