2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅰ)理

1、1 / 13 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国) 数学(理科) 注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 课标全国,理 1)已知集合 a=x

2、|x2-2x-30,b=x|-2x0)的一个焦点,则点 f到 c 的一条渐近线的距离为( ). a.3 b.3 c.3m d.3m 答案:a 解析:由题意,可得双曲线 c 为2323=1,则双曲线的半焦距 c=3 + 3.不妨取右焦点(3 + 3,0),其渐近线方程为 y=1x,即 x y=0.所以由点到直线的距离公式得 d=3+31+= 3.故选 a. 5.(2014 课标全国,理 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ). a.18 b.38 c.58 d.78 答案:d 解析:(方法一)由题意知基本事件总数为 24=16,

3、对 4 名同学平均分组共有c42a22=3(种), 对 4 名同学按 1,3 分组共有c41种, 所以周六、周日都有同学参加共有 3a22+ c41a22=14(种). 由古典概型得所求概率为1416=78. (方法二)周六没有同学参加公益活动即 4 位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有 16-2=14(种).故所求概率为1416=78.故选 d. 6.(2014 课标全国,理 6) 如图,圆 o 的半径为 1,a是圆上的定点,p是圆上的动点,角 x 的始边为射线 oa,终边为射线 op,过点 p

4、作直线oa的垂线,垂足为 m,将点 m 到直线 op的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在0,的图像大致为( ). 3 / 13 答案:c 解析:由题意|om|=|cos x|,f(x)=|om|sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知 c 正确. 7.(2014 课标全国,理 7) 执行右面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 m=( ). a.203 b.72 c.165 d.158 答案:d 解析:当 a=1,b=2,k=3,n=1 时,13,m=1+12=32,a=2,b=32,n=2;23,m=2+23=83,a

5、=32,b=83,n=3;33,m=32+38=158,a=83,b=158,n=4;43,程序结束,输出 m=158. 8.(2014 课标全国,理 8)设 (0,2),(0,2),且 tan =1+sincos,则( ). a.3-=2 b.3+=2 c.2-=2 d.2+=2 答案:c 解析:由已知,得sincos=1+sincos, sin cos =cos +cos sin . sin cos -cos sin =cos . 4 / 13 sin(-)=cos , sin(-)=sin(2-). (0,2),(0,2), -2-2,02-0,则 a 的取值范围是( ). a.(2,+

6、) b.(1,+) c.(-,-2) d.(-,-1) 答案:c 解析:当 a=0 时,显然 f(x)有 2 个零点,不符合题意; 当 a0 时,f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数 f(x)在(-,0)上单调递增. 又 f(0)=1,当 x-时,f(x)=x2(ax-3)+1-,故不适合题意;当 a0 就满足题意. 由 f(2)0,得82122+10,解得 a2(舍去).故 a-2. 12.(2014 课标全国,理 12) 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ). a.62 b.6 c.42 d.4 答

7、案:b 解析:如图所示的正方体 abcd-a1b1c1d1的棱长为 4.取 b1b 的中点 g,即三棱锥 g-cc1d1为满足要求的几何体,其中最长棱为 d1g,d1g=(42)2+ 22=6. 第卷 6 / 13 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2014 课标全国,理 13)(x-y)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 答案:-20 解析:(x+y)8的通项公式为 tr+1=c8x8-ryr(r=0

8、,1,8,rz). 当 r=7 时,t8=c87xy7=8xy7,当 r=6 时,t7=c86x2y6=28x2y6, 所以(x-y)(x+y)8的展开式中含 x2y7的项为 x8xy7-y28x2y6=-20 x2y7,故系数为-20. 14.(2014 课标全国,理 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 a,b,c 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 b 城市; 乙说:我没去过 c 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 答案:a 解析:根据甲、乙、丙说的可列表得 a b c 甲 乙 丙 15.(2014 课标全国,理 15)已知 a,b,c 为

9、圆 o 上的三点,若 =12( + ),则 与 的夹角为 . 答案:90 解析:由 =12( + )可得 o 为 bc 的中点,则 bc 为圆 o 的直径,即bac=90 ,故 与 的夹角为 90 . 16.(2014 课标全国,理 16)已知 a,b,c 分别为abc 三个内角 a,b,c 的对边,a=2,且(2+b)(sin a-sin b)=(c-b)sin c,则abc 面积的最大值为 . 答案:3 解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)c. a=2,a2-b2=c2-bc,即 b2+c2-a2=bc. 7 / 13 由余弦定理,得 cos a=2+2-22=12. s

10、in a=32. 由 b2+c2-bc=4,得 b2+c2=4+bc. b2+c22bc,即 4+bc2bc,bc4. sabc=12bcsin a3,即(sabc)max=3. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,理 17)已知数列an的前 n 项和为 sn,a1=1,an0,anan+1=sn-1,其中 为常数. (1)证明:an+2-an=; (2)是否存在 ,使得an为等差数列?并说明理由. 分析:(1)已知数列an的前 n 项和 sn与相邻两项 an,an+1间的递推关系式 anan+1=sn-1,要证 an+2-

11、an=,故考虑利用an+1=sn+1-sn消去 sn进行证明. (2)若an为等差数列,则有 2a2=a1+a3,故可由此求出 ,进而由 an+2-an=4 验证an是否为等差数列即可. 解:(1)由题设,anan+1=sn-1,an+1an+2=sn+1-1, 两式相减,得 an+1(an+2-an)=an+1. 由于 an+10,所以 an+2-an=. (2)由题设,a1=1,a1a2=s1-1,可得 a2=-1. 由(1)知,a3=+1. 令 2a2=a1+a3,解得 =4. 故 an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n

12、是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 =4,使得数列an为等差数列. 18.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,理 18)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: 8 / 13 (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 z 服从正态分布 n(,2),其中 近似为样本平均数,2近似为样本方差 s2. 利用该正态分布,求 p(187.8z2

13、12.2); 某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 x表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求 e(x). 附:15012.2.若 zn(,2),则 p(-z+)=0.682 6,p(-2z+2)=0.954 4. 分析:(1)利用=x1p1+x2p2+xnpn求,利用 s2=(x1-)2p1+(x2-)2p2+(xn-)2pn,求 s2. (2)由(1)可知 ,2,则 n(,2)可知.将 p(187.8z212.2)进行转化,利用 3 原则求解. 由可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 p,则 100

14、 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数 x服从二项分布 b(100,p),则由 e(x)=100p 可求 e(x). 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 s2分别为 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200, s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150. (2)由(1)知,zn(200,150),从而 p(187.8z212.2)=p(200-12.2z200+12.2)=0.

15、682 6. 由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6,依题意知 xb(100,0.682 6),所以e(x)=1000.682 6=68.26. 19.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,理 19) 如图,三棱柱 abc-a1b1c1中,侧面 bb1c1c 为菱形,abb1c. (1)证明:ac=ab1; (2)若 acab1,cbb1=60 ,ab=bc,求二面角 a-a1b1-c1的余弦值. 分析:(1)因为侧面 bb1c1c 为菱形,故考虑利用菱形的性质:对角线互相垂直平分,故连接 bc1,不妨设其交 b1c 于点 o,则 o 为

16、b1c 的中点,要证 ac=ab1,故只需证 b1cao.又 b1cab,故考虑通过证 b1c平面 abo 来达到目的. (2)利用空间直角坐标系求解,由(1)知 b1oao,b1obo.故考虑以 o 点为坐标原点,以 的方向为 x 轴正方向,1 的方向为 y 轴正方向, 的方向为 z 轴正方向建立空间直角坐标系,但需证明 oboa,然后分别求出平面 aa1b1和平面 a1b1c1的法向量 n,m,最后利用 cos=|求出二面角 a-a1b1-c1的余弦值. 解:(1)连接 bc1,交 b1c 于点 o,连接 ao,因为侧面 bb1c1c 为菱形,所以 b1cbc1,且 o 为 b1c 及 b

17、c1的中点. 又 abb1c,所以 b1c平面 abo. 由于 ao平面 abo,故 b1cao. 9 / 13 又 b1o=co,故 ac=ab1. (2) 因为 acab1,且 o 为 b1c 的中点,所以 ao=co. 又因为 ab=bc,所以boaboc. 故 oaob,从而 oa,ob,ob1两两互相垂直. 以 o 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz. 因为cbb1=60 ,所以cbb1为等边三角形. 又 ab=bc,则 a(0,0,33),b(1,0,0),b1(0,33,0),c(0,-33,0),1 = (0,33,-

18、33),11 = = (1,0,-33),11 = = (-1,-33,0). 设 n=(x,y,z)是平面 aa1b1的法向量,则 ab1 = 0,a1b1 = 0,即 33y-33z = 0,-33z = 0. 所以可取 n=(1,3,3). 设 m 是平面 a1b1c1的法向量,则a1b1 = 0,b1c1 = 0. 同理可取 m=(1,-3,3).则 cos=|=17.所以二面角 a-a1b1-c1的余弦值为17. 20.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,理 20)已知点 a(0,-2),椭圆 e:22+22=1(ab0)的离心率为32,f是椭圆e的右焦点,直线 af的斜率

19、为233,o 为坐标原点. (1)求 e的方程; (2)设过点 a的动直线 l 与 e 相交于 p,q 两点,当opq 的面积最大时,求 l 的方程. 分析:(1)由过 a(0,-2),f(c,0)的直线 af的斜率为233或过两点的直线斜率公式可求 c,再由 e=32,可求 a,由b2=a2-c2可求 b2,则椭圆 e的方程可求. (2)由题意知动直线 l 的斜率存在,故可设其斜率为 k,写出直线方程,并与椭圆方程联立,消去 y,整理成关于 x的一元二次方程,利用弦长公式求出弦 pq 的长|pq|,利用点到直线的公式求出点 o 到直线 pq 的距离 d,则由sopq=12|pq|d,可将 s

20、opq表示成关于 k 的函数,转化为求函数 f(k)的最大值问题.注意 k 应使得一元二次方程的判别式大于 0. 解:(1)设 f(c,0),由条件知,2=233,得 c=3. 10 / 13 又=32,所以 a=2,b2=a2-c2=1. 故 e的方程为24+y2=1. (2)当 lx 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,p(x1,y1),q(x2,y2). 将 y=kx-2 代入24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当 =16(4k2-3)0,即 k234时,x1,2=8242-342+1. 从而|pq|=2+ 1|x1-x2|=42+142-342+1. 又点 o

21、 到直线 pq 的距离 d=22+1, 所以opq 的面积 sopq=12d|pq|=442-342+1. 设42-3=t,则 t0,sopq=42+4=4+4. 因为 t+44,当且仅当 t=2,即 k=72时等号成立,且满足 0. 所以,当opq 的面积最大时,l 的方程为 y=72x-2 或 y=-72x-2. 21.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国,理 21)设函数 f(x)=aexln x+e-1,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)1. 分析:(1)由已知可得 f(1)=e(1-1)+2=2,

22、切线斜率 k=e=f(1),由此可求出 a,b. (2)由(1)可求 f(x),结合不等式的特点将之转化为 g(x)h(x)的形式,通过比较 g(x)的最小值与 h(x)的最大值进行证明. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aexln x+ex-2ex-1+ex-1. 由题意可得 f(1)=2,f(1)=e. 故 a=1,b=2. (2)由(1)知,f(x)=exln x+2ex-1,从而 f(x)1 等价于 xln xxe-x-2e. 设函数 g(x)=xln x,则 g(x)=1+ln x. 所以当 x(0,1e)时,g(x)0. 11 / 13 故 g(x)在(0,

23、1e)单调递减,在(1e, + )单调递增,从而 g(x)在(0,+)的最小值为 g(1e)=-1e. 设函数 h(x)=xe-x-2e,则 h(x)=e-x(1-x). 所以当 x(0,1)时,h(x)0;当 x(1,+)时,h(x)0 时,g(x)h(x),即 f(x)1. 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国,理 22)选修 41:几何证明选讲 如图,四边形 abcd 是o 的内接四边形,ab的延长线与 dc 的延长线交于点 e,且 cb=ce. (1)证明:d=e; (2)

24、设 ad 不是o 的直径,ad 的中点为 m,且 mb=mc,证明:ade为等边三角形. 分析:(1)由 cb=ce 可得cbe=e,要证d=e,故只需证cbe=d,利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可证. (2)由(1)知d=e,要证ade为等边三角形,只需证a=e,又因为cbe=e,故只需证a=cbe,只需证 adbc,因为已知 mb=mc,故考虑利用等腰三角形的三线合一的性质.故取 bc 的中点 n,连接 mn,则mnbc,通过证明 mnad 来达到证明 adbc 的目的. 解: (1)由题设知 a,b,c,d 四点共圆,所以d=cbe. 由已知得cbe=e, 故d=e. (2)设 bc 的中点为 n,连接 mn,则由 mb=mc 知 mnbc,故 o 在直线 mn 上. 又 ad 不是o 的直径,m 为 ad 的中点,故 omad,即 mnad. 所以 adbc,故a=cbe. 又cbe=e,故a=e. 由(1)知,d=e, 12 / 13 所以ade为等边三角形. 23.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国,理 23)选修 44:坐标系与参数方程 已知曲线 c:24+29=1,直线 l: = 2 + , = 2-2(t 为参数). (1)写出曲线 c 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 c