2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)理

1、1 / 12 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学(理工农医类) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 重庆,理 1)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( ). a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:a 解析:因为 i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选 a. 2.(2014 重庆,理 2)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是( ). a.a1,a3,a9成等比数列 b.a2,a3,a6成等比数列 c.a2

2、,a4,a8成等比数列 d.a3,a6,a9成等比数列 答案:d 解析:根据等比数列的性质,若 m+n=2k(m,n,kn+), 则 am,ak,an成等比数列,故选 d. 3.(2014 重庆,理 3)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ). a.=0.4x+2.3 b.=2x-2.4 c.=-2x+9.5 d.=-0.3x+4.4 答案:a 解析:由变量 x 与 y 正相关,可知 x 的系数为正,排除 c,d.而所有的回归直线必经过点(,),由此排除 b,故选 a. 4.(2014 重庆,理 4)已知向量 a=(

3、k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数 k=( ). a.-92 b.0 c.3 d.152 答案:c 解析:由已知(2a-3b)c,可得(2a-3b)c=0, 即(2k-3,-6)(2,1)=0,展开化简得 4k-12=0, 所以 k=3,故选 c. 5.(2014 重庆,理 5)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的条件是( ). 2 / 12 a.s12 b.s35 c.s710 d.s45 答案:c 解析:该程序框图为循环结构.k=9,s=1 时,经判断执行“是”,计算 199+1=910赋值给 s,然后 k 减少 1 变为8;

4、k=8,s=910时,经判断执行“是”,计算91088+1=810赋值给 s,然后 k 减少 1 变为 7;k=7,s=810时,经判断执行“是”,计算81077+1=710赋值给 s,然后 k 减少 1 变为 6;k=6,s=710,根据输出 k 为 6,此时应执行“否”.结合选项可知,判断框内应填 s710,故选 c. 6.(2014 重庆,理 6)已知命题 p:对任意 xr,总有 2x0; q:“x1”是“x2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是( ). a.pq b.pq c.pq d.pq 答案:d 解析:根据指数函数值域为(0,+),得 p 为真命题;而“x1”是“x2”的

5、必要不充分条件,故 q 为假命题.根据复合命题的真假规律,可得 pq 为真命题,故选 d. 7.(2014 重庆,理 7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ). a.54 b.60 c.66 d.72 答案:b 解析:根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的 abc-def,故其表面积为 s=sdef+sabc+s梯形abed+s梯形cbef+s矩形acfd=1235+1234+12(5+2)4+12(5+2)5+35=60.故选 b. 3 / 12 8.(2014 重庆,理 8)设 f1,f2分别为双曲线2222=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 p使

6、得|pf1|+|pf2|=3b,|pf1| |pf2|=94ab,则该双曲线的离心率为( ). a.43 b.53 c.94 d.3 答案:b 解析:根据双曲线的定义|pf1|-|pf2|=2a,可得|pf1|2-2|pf1|pf2|+|pf2|2=4a2.而由已知可得|pf1|2+2|pf1|pf2|+|pf2|2=9b2,两式作差可得-4|pf1|pf2|=4a2-9b2.又|pf1|pf2|=94ab,所以有 4a2+9ab-9b2=0,即(4a-3b)(a+3b)=0,得 4a=3b,平方得 16a2=9b2,即 16a2=9(c2-a2),即 25a2=9c2,22=259,所以 e

7、=53,故选 b. 9.(2014 重庆,理 9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ). a.72 b.120 c.144 d.168 答案:b 解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类a33,然后利用插空法将剩余 3 个节目排入左边或右边 3 个空,故不同排法有a332a33=72.第二类也分两步,先排歌舞类a33,然后将剩余 3 个节目放入中间两空排法有c21a22a22,故不同的排法有a33a22a22c21=48,故共有 120 种不同排法,故选 b. 10.(2014 重庆,理 10)已知ab

8、c 的内角 a,b,c 满足 sin 2a+sin(a-b+c)=sin(c-a-b)+12,面积 s 满足 1s2,记a,b,c 分别为 a,b,c 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ). a.bc(b+c)8 b.ab(a+b)162 c.6abc12 d.12abc24 答案:a 解析:由 sin 2a+sin(a-b+c)=sin(c-a-b)+12得,sin 2a+sina-(b-c)+sina+(b-c)=12, 所以 sin 2a+2sin acos(b-c)=12. 所以 2sin acos a+cos(b-c)=12, 所以 2sin acos(-(b+c)+cos(b-

9、c)=12, 所以 2sin a-cos(b+c)+cos(b-c)=12,即得 sin asin bsin c=18. 根据三角形面积公式 s=12absin c, s=12acsin b, s=12bcsin a, 4 / 12 因为 1s2,所以 1s38. 将式相乘得 1s3=18a2b2c2sin asin bsin c8,即 64a2b2c2512, 所以 8abc162,故排除 c,d选项, 而根据三角形两边之和大于第三边,故 b+ca,得 bc(b+c)8 一定成立,而 a+bc,ab(a+b)也大于 8,而不一定大于 162,故选 a. 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作

10、答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.(2014 重庆,理 11)设全集 u=nn|1n10,a=1,2,3,5,8,b=1,3,5,7,9,则(ua)b= . 答案:7,9 解析:由题意,得 u=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 故ua=4,6,7,9,10,所以(ua)b=7,9. 12.(2014 重庆,理 12)函数 f(x)=log2 log2(2x)的最小值为 . 答案:-14 解析:根据对数运算性质,f(x)=log2log2(2x)=12log2x2log2(2x)=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x

11、=(log2x +12)214,当 x=22时,函数取得最小值-14. 13.(2014 重庆,理 13)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 c 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 a,b两点,且abc 为等边三角形,则实数 a= . 答案:4 15 解析:由abc 为等边三角形可得,c 到 ab的距离为3,即(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离 d=|+-2|1+2= 3,即 a2-8a+1=0,可求得 a=4 15. 考生注意:14,15,16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.(2014 重庆,理 14)过圆外一点 p作圆的切线 pa(

12、a为切点),再作割线 pbc 依次交圆于 b,c.若pa=6,ac=8,bc=9,则 ab= . 答案:4 解析:如图所示: 根据切割线定理,得 pa2=pbpc, 又因为 pc=(pb+bc),且 pa=6,bc=9, 所以 36=pb(pb+9),解得 pb=3. 5 / 12 在pac 中,根据余弦定理 cosacp=2+p2-a22,即 cosacp=82+122-622812=4348,在acb 中,根据余弦定理ab2=ac2+bc2-2acbccosacb=82+92-2894348=16,所以 ab=4. 15.(2014 重庆,理 15)已知直线 l 的参数方程为 = 2 +

13、, = 3 + (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c 的极坐标方程为 sin2-4cos =0(0,02),则直线 l 与曲线 c 的公共点的极径= . 答案:5 解析:直线 l 的普通方程为 y=x+1,曲线 c 的直角坐标方程为 y2=4x,联立两方程,得 = + 1,2= 4x,解得 = 1, = 2.所以公共点为(1,2). 所以公共点的极径为 =22+ 1 = 5. 16.(2014 重庆,理 16)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+12a+2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 答案:-1,12 解析:令 f(x)=|2

14、x-1|+|x+2|= -3-1, -2,3-,-2 12,可求得 f(x)的最小值为52,故原不等式恒成立转化为 a2+12a+252恒成立,即 a2+2120,即(a+1)(-12)0,解得 a-1,12. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分,(1)小问 5 分,(2)小问 8 分)(2014 重庆,理 17)已知函数 f(x)=3sin(x+)( 0,-22)的图象关于直线 x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 . (1)求 和 的值; (2)若 f(2) =34(6 23),求 cos( +32)的

15、值. 分析:在第(1)问中主要考查了三角函数的周期和对称性,两最高点之间的距离是一个周期,从而根据公式 t=2,准确求出 ;而求 ,则根据对称轴处取最值并结合 的取值范围给 k 赋值才能准确求出 .第(2)问中已知 f(2) =34,结合 的范围判断并求出 cos(-6)的值,然后进一步将 cos( +32)转化成 sin ,而后将 写成 -6加上6的形式,从而求出最后的值,该题解答过程中,必须熟练运用诱导公式及两角和差的三角函数公式. 解:(1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 , 所以 f(x)的最小正周期 t=,从而 =2=2. 又因 f(x)的图象关于直线 x=3对称, 所以

16、 23+=k+2,k=0, 1, 2,. 因-22得 k=0, 所以 =223=-6. (2)由(1)得 f(2) = 3sin(22-6) =34, 6 / 12 所以 sin(-6) =14. 由623得 0-60,则 =(-3,0,a), = (34,-34,a). 因为 mpap,故 =0, 即-34+a2=0,所以 a=32,a=-32(舍去), 即 po=32. (2)由(1)知, = (-3,0,32), = (34,-34,32), = (3,0,32). 设平面 apm 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), 平面 pmc 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), 由 n1

17、 =0,n1 =0, 8 / 12 得-31+321= 0,341-341+321= 0, 故可取 n1=(1,533,2), 由 n2 =0,n2 =0, 得342-342+322= 0,32+322= 0, 故可取 n2=(1,-3,-2), 从而法向量 n1,n2的夹角的余弦值为 cos=12|1|2|=-155, 故所求二面角 a-pm-c 的正弦值为105. 20.(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 3 分,(3)小问 5 分)(2014 重庆,理 20)已知函数 f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cr)的导函数 f(x)为偶函数,且曲线 y=f(x)

18、在点(0,f(0)处的切线的斜率为 4-c. (1)确定 a,b 的值; (2)若 c=3,判断 f(x)的单调性; (3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围. 分析:在第(1)问中,主要考查复合函数求导公式、偶函数性质及导数的几何意义,要确定 a,b 的值,只需由偶函数概念、导数的几何意义及已知条件列出关于 a,b 的两个方程,解方程即得 a,b 的值.在求解过程中尤其要注意复合函数求导.第(2)问考查导数的应用之一,先求导,再利用基本不等式判断导数的符号,进而判断 f(x)的单调性.第(3)问,由已知,先利用导数分类讨论 f(x)的极值情况,再根据 f(x)有变号零点确定 c 的取值范

19、围. 解:(1)对 f(x)求导得 f(x)=2ae2x+2be-2x-c, 由 f(x)为偶函数,知 f(-x)=f(x), 即 2(a-b)(e2x+e-2x)=0, 因 e2x+e-2x0,所以 a=b. 又 f(0)=2a+2b-c=4-c,故 a=1,b=1. (2)当 c=3 时,f(x)=e2x-e-2x-3x, 那么 f(x)=2e2x+2e-2x-322e22e-2-3=10,故 f(x)在 r 上为增函数. (3)由(1)知 f(x)=2e2x+2e-2x-c, 而 2e2x+2e-2x22e22e-2=4,当 x=0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论. 当 c0,此时

20、 f(x)无极值; 当 c=4 时,对任意 x0,f(x)=2e2x+2e-2x-40,此时 f(x)无极值; 9 / 12 当 c4 时,令 e2x=t,注意到方程 2t+2-c=0 有两根 t1,2=2-1640, 即 f(x)=0 有两个根 x1=12ln t1或 x2=12ln t2. 当 x1xx2时,f(x)x2时,f(x)0,从而 f(x)在 x=x2处取得极小值. 综上,若 f(x)有极值,则 c 的取值范围是(4,+). 21.(本小题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小问 7 分)(2014 重庆,理 21)如图,设椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 f

21、1,f2,点 d 在椭圆上,df1f1f2,|12|1|=22,df1f2的面积为22. (1)求椭圆的标准方程; (2)设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径. 分析:(1)由已知可求出 c,进而求出|df1|,|df2|,则利用椭圆的定义可求 a,再根据 b2=a2-c2求 b2,从而求得椭圆的标准方程. (2)由题设知圆的两条切线与过切点的两条半径围成一个正方形,故圆的半径等于两切点的长度的22倍,故只需求两切点间的长度,而由圆及椭圆的对称性知,两切点间的长度应是一切点横坐标绝对值的 2 倍,故只需求切点

22、的横坐标,可将切线过椭圆的焦点是互相垂直转化为两向量的数量积为零求解. 解:(1)设 f1(-c,0),f2(c,0),其中 c2=a2-b2. 由|12|1|=22得|df1|=|12|22=22c. 从而12=12|df1|f1f2|=22c2=22,故 c=1. 从而|df1|=22,由 df1f1f2得|df2|2=|df1|2+|f1f2|2=92, 因此|df2|=322. 所以 2a=|df1|+|df2|=22,故 a=2,b2=a2-c2=1. 因此,所求椭圆的标准方程为22+y2=1. (2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 c 与椭圆22+y2=1 相交,p1(x1,y1),

23、p2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,f1p1,f2p2是圆c 的切线,且 f1p1f2p2. 10 / 12 由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|p1p2|=2|x1|. 由(1)知 f1(-1,0),f2(1,0), 所以11 =(x1+1,y1),22 =(-x1-1,y1). 再由 f1p1f2p2得-(x1+1)2+12=0. 由椭圆方程得 1-122=(x1+1)2, 即 312+4x1=0. 解得 x1=-43或 x1=0. 当 x1=0 时,p1,p2重合,此时题设要求的圆不存在. 当 x1=-43时,过 p1,p2分别与 f1p1,f2p2垂直的直线

24、的交点即为圆心 c. 由 f1p1,f2p2是圆 c 的切线,且 f1p1f2p2,知 cp1cp2. 又|cp1|=|cp2|,故圆 c 的半径|cp1|=22|p1p2|=2|x1|=423. 22.(本小题满分 12 分,(1)小问 4 分,(2)小问 8 分)(2014 重庆,理 22)设 a1=1,an+1=2-2+ 2+b(nn*). (1)若 b=1,求 a2,a3及数列an的通项公式; (2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2nca2n+1对所有 nn*成立?证明你的结论. 分析:(1)方法一:若 b=1,则 an+1=2-2+ 2+1,根据其特点,可研究数列(an

25、-1)2的性质,由(an-1)2的通项,进而求 an的通项. 方法二:先求出an的前几项,猜想 an并用数学归纳法证明. (2)方法一:令 an+1=an=c,求出 c 值,然后证明 a2nca2n+1,若成立,则存在,若不成立,则不存在. 方法二:根据能否求出同时满足 a2nc 的 c 值进行判断. (1)解法一:a2=2,a3=2+1. 再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1. 从而(an-1)2是首项为 0 公差为 1 的等差数列, 故(an-1)2=n-1,即 an=-1+1(nn*). 解法二:a2=2,a3=2+1.可写为 a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1. 11 / 12 因此猜想 an=-1+1. 下用数学归纳法证明上式: 当 n=1 时结论显然成立. 假设 n=k 时结论成立,即 ak=-1+1, 则 ak+1=(-1)2+ 1+1=(-1) + 1+1=( + 1)-1+1. 这就