2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)理

1、1 / 15 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工类) 本试题卷共 6 页,22 题,其中第 15、16 题为选考题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 湖北,理 1)i 为虚数单位,(1-i1+i)2=( ). a.-1 b.1 c.-i d.i 答案:a 解析:(1-i1+i)2=(1-i)2(1+i)2=-2i2i=-1,故选 a. 2.(2014 湖北,理 2)若二项式(2 +)7的展开式中13的系数是 84,则实数

2、 a=( ). a.2 b.45 c.1 d.24 答案:c 解析:二项式通项 tr+1=c7(2x)7-r(ax-1)r=27-rarc7x7-2r. 由题意知 7-2r=-3,则 r=5. 令 22a5c75=84,解得 a=1. 3.(2014 湖北,理 3)设 u 为全集,a,b是集合,则“存在集合 c 使得 ac,buc”是“ab=”的( ). a.充分而不必要的条件 b.必要而不充分的条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要的条件 答案:c 解析:如图可知,存在集合 c,使 ac,buc,则有 ab=.若 ab=,显然存在集合 c.满足 ac,buc.故选 c. 4.(2014 湖

3、北,理 4)根据如下样本数据: x 3 4 5 6 7 8 2 / 15 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 得到的回归方程为=bx+a,则( ). a.a0,b0 b.a0,b0 c.a0 d.a0,b0 答案:b 解析:由样本数据可知 y 值总体上是随 x 值的增大而减少的.故 b0.故选b. 5.(2014 湖北,理 5)在如图所示的空间直角坐标系 o-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ). a.和 b.和 c.和 d.和 答案:d 解析:如

4、图所示 a(0,0,2),b(2,2,0),c(1,2,1),d(2,2,2),b,c,d 点在面 yoz 上的射影分别为 b1,c1,d1,它们在一条线上,且 c1为 b1d1的中点.从前往后看时,看不到棱 ac,正视图中 ac1应为虚线.故正视图应为图.点 a,d,c 在面 xoy内的射影分别为 o,b,c2,俯视图为oc2b,故选图.综上选 d. 6.(2014 湖北,理 6)若函数 f(x),g(x)满足 1-1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数: f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x;f(x)=x+1,g(x)

5、=x-1;f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间-1,1上的正交函数的组数是( ). 3 / 15 a.0 b.1 c.2 d.3 答案:c 解析:对于, 1-1sin 12xcos 12xdx= 1-112sin xdx=12 1-1sin xdx =12(-cos x)|-11=12-cos 1-cos(-1) =12(-cos 1+cos 1) =0. 故为一组正交函数; 对于, 1-1(x+1)(x-1)dx= 1-1(x2-1)dx =(133-x)|-11=13-1-(-13+ 1) =23-2=-430, 故不是一组正交函数; 对于, 1-1xx2dx= 1-1x3dx=(1

6、44)|-11=0. 故为一组正交函数,故选 c. 7.(2014 湖北,理 7)由不等式组 0, 0,-2 0确定的平面区域记为 1,不等式组 + 1, + -2确定的平面区域记为 2,在 1中随机取一点,则该点恰好在 2内的概率为( ). a.18 b.14 c.34 d.78 答案:d 解析:如图,由题意知平面区域 1的面积1=saom=1222=2. 1与 2的公共区域为阴影部分,面积 s阴=1-sabc=2-12112=74. 由几何概型得该点恰好落在 2内的概率 p=阴1=742=78.故选 d. 8.(2014 湖北,理 8)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这

7、是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥4 / 15 的底面周长 l 与高 h,计算其体积 v的近似公式 v136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式 v275l2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( ). a.227 b.258 c.15750 d.355113 答案:b 解析:由题意可知:l=2r,即 r=2,圆锥体积 v=13sh=13r2h=13(2)2h=112l2h275l2h,故112275,258,故选 b. 9.(2014 湖北,理 9)已知 f1,f

8、2是椭圆和双曲线的公共焦点,p 是它们的一个公共点,且f1pf2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ). a.433 b.233 c.3 d.2 答案:a 解析:设椭圆长半轴为 a1,双曲线实半轴长为 a2,|f1f2|=2c. 由余弦定理 4c2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 3. 而|pf1|+|pf2|=2a1, |pf1|-|pf2|=2a2可得12+322=4c2. 令 a1=2ccos ,a2=23sin , 即1+2=2cos +23sin =2(cos +13sin) =433(32cos +12sin) =433sin( +3). 故

9、最大值为433,故选 a. 10.(2014 湖北,理 10)已知函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数,当 x0 时,f(x)=12(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若xr,f(x-1)f(x),则实数 a 的取值范围为( ). a.-16,16 b.-66,66 c.-13,13 d.-33,33 答案:b 解析:由题意得,若 a=0,f(x)=x,显然成立; 若 a0,当 x0 时,f(x)=-32,x 22,-2,20.对任意 a0,b0,若经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 mf(a

10、,b).例如,当 f(x)=1(x0)时,可得mf(a,b)=c=+2,即 mf(a,b)为 a,b 的算术平均数. (1)当 f(x)= (x0)时,mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; (2)当 f(x)= (x0)时,mf(a,b)为 a,b 的调和平均数2+. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案:(1) (2)x(或填(1)k1,(2)k2x,其中 k1,k2为正常数均可) 解析:经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线方程为 y+f(b)=()+()-(x-b). 令 x=c,y=0 得 c=()+()()+(); (1)令 c=,则得f(b)=f(a), 可

11、令 f(x)=. 前面等式成立. (2)令 c=2+,则得 af(b)=bf(a),可令 f(x)=x,前面等式成立. (二)选考题(请考生在第 15,16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2b铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(2014 湖北,理 15)(选修 41:几何证明选讲) 如图,p为o 外一点,过 p 点作o 的两条切线,切点分别为 a,b.过 pa的中点 q 作割线交o 于 c,d 两点.若qc=1,cd=3,则 pb= . 答案:4 解析:由题意知 pa=pb. pa切o 于点 a,由切割线定理可得 qa2=qcqd

12、=1(1+3)=4. qa=2,pa=22=4=pb. 16.(2014 湖北,理 16)(选修 44:坐标系与参数方程) 7 / 15 已知曲线 c1的参数方程是 = , =33(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c2的极坐标方程是 =2,则 c1与 c2交点的直角坐标为 . 答案:(3,1) 解析:由曲线 c1的参数方程 = , =33, 得 y=33x(x0), 曲线 c2的极坐标方程为 =2, 可得方程 x2+y2=4, 由联立解得 = 3, = 1,故 c1与 c2交点的直角坐标为(3,1). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应

13、写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 11 分)(2014 湖北,理 17)某实验室一天的温度(单位:)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos 12t-sin 12t,t0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ,则在哪段时间实验室需要降温? 分析:由函数 f(t)为 acos t+bsin t 型,故可利用辅助角公式对 f(t)化简为 f(t)=10-2sin(12t +3),再根据 t0,24),把12t+3的范围求出,再利用单位圆或者正弦函数的图象求出 sin(12t +3)的范围,从而求得 f(

14、t)的最大与最小值.对于第(2)问,要求实验室温度不高于 11 ,即满足不等式 f(t)11 的 t 的范围就是实验室需要降温的时间段,可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式. 解:(1)因为 f(t)=10-2(32cos12t +12sin12t)=10-2sin(12t +3),又 0t24,所以312t+311 时实验室需要降温. 由(1)得 f(t)=10-2sin(12t +3), 故有 10-2sin(12t +3)11, 即 sin(12t +3)-12. 又 0t24,因此7612t+3116,即 10t60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 分析:(1

15、)根据an是等差数列,首项 a1已知,可设公差为 d,由 a1,a2,a5成等比数列,即22=a1a5建立关于 d 的方程求出 d 来,可得通项公式 an.第(2)问可由(1)问求出的 an,求出数列an的前 n 项和 sn,解不等式 sn60n+800.若有解则存在正整数 n,若无解则不存在. 解:(1)设数列an的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为 an=2 或 an=4n-2.

16、 (2)当 an=2 时,sn=2n.显然 2n60n+800 成立. 当 an=4n-2 时,sn=2+(4-2)2=2n2. 令 2n260n+800,即 n2-30n-4000, 解得 n40 或 n60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41. 19.(本小题满分 12 分)(2014 湖北,理 19)如图,在棱长为 2 的正方体 abcd-a1b1c1d1中,e,f,m,n 分别是棱ab,ad,a1b1,a1d1的中点,点 p,q 分别在棱 dd1,bb1上移动,且 dp=b

17、q=(02). (1)当 =1 时,证明:直线 bc1平面 efpq; (2)是否存在 ,使面 efpq 与面 pqmn 所成的二面角为直二面角?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 分析:解决立体几何问题往往用两种方法来解决.一是几何法,二是向量法.对于第(1)问,欲证直线 bc1平面efpq,首先想到的是利用线面平行的判定定理,即能否在平面 efpq 内找到一条直线与 bc1平行,当 =1 时,由p,f分别是 dd1与 ad 的中点,利用中位线定理可得 fpad1,从而得 bc1fp,于是得证.对于第(2)问,研究是否9 / 15 存在 的值使面 efpq 与面 pqmn 成直二面角,

18、可根据条件利用几何法作出二面角的平面角,再令此平面角为90 ,看 是否有解.若有解就存在,若无解则不存在.若用向量法,由于是立方体,可建立空间直角坐标系,要把各点各向量的坐标写准确.第(1)问还可利用向量共线,在平面 efpq 内找到一直线与 bc1平行来解决,或求出平面efpq 的法向量 n1,利用 n11 =0 来证明 bc1平面 efpq.对于第(2)问分别求面 efpq 与平面 mnpq 的法向量 n,m,若存在 使两平面成直二面角,则 mn=0 有解,若不存在则无解. 方法一(几何方法) (1)证明:如图,连接 ad1,由 abcd-a1b1c1d1是正方体,知 bc1ad1.当 =

19、1 时,p是 dd1的中点,又 f是 ad 的中点,所以 fpad1. 图 所以 bc1fp. 而 fp平面 efpq,且 bc1平面 efpq,故直线 bc1平面 efpq. (2)解:如图,连接 bd. 图 因为 e,f分别是 ab,ad 的中点, 所以 efbd,且 ef=12bd. 又 dp=bq,dpbq, 所以四边形 pqbd 是平行四边形, 故 pqbd,且 pq=bd, 从而 efpq,且 ef=12pq. 在 rtebq 和 rtfdp 中,因为 bq=dp=,be=df=1, 于是 eq=fp=1 + 2, 所以四边形 efpq 是等腰梯形. 同理可证四边形 pqmn 是等

20、腰梯形. 10 / 15 分别取 ef,pq,mn 的中点为 h,o,g,连接 oh,og, 则 gopq,hopq,而 goho=o, 故goh 是面 efpq 与面 pqmn 所成的二面角的平面角. 若存在 ,使面 efpq 与面 pqmn 所成的二面角为直二面角,则goh=90 . 连接 em,fn,则由 efmn,且 ef=mn, 知四边形 efnm 是平行四边形. 连接 gh,因为 h,g 是 ef,mn 的中点, 所以 gh=me=2. 在goh 中,gh2=4,oh2=1+2-(22)2=2+12, og2=1+(2-)2-(22)2=(2-)2+12, 由 og2+oh2=gh

21、2,得(2-)2+12+2+12=4,解得 =122, 故存在 =122,使面 efpq 与面 pqmn 所成的二面角为直二面角. 方法二(向量方法) 以 d 为原点,射线 da,dc,dd1分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 d-xyz. 图 由已知得 b(2,2,0),c1(0,2,2),e(2,1,0),f(1,0,0),p(0,0,). 1 =(-2,0,2), =(-1,0,), =(1,1,0). (1)证明:当 =1 时, =(-1,0,1), 因为1 =(-2,0,2), 所以1 =2 ,即 bc1fp. 而 fp平面 efpq,且 bc1平面 efpq

22、, 故直线 bc1平面 efpq. (2)解:设平面 efpq 的一个法向量为 n=(x,y,z), 11 / 15 则由fe = 0,fp = 0,可得 + = 0,- + = 0,于是可取 n=(,-,1). 同理可得平面 mnpq 的一个法向量为 m=(-2,2-,1). 若存在 ,使面 efpq 与面 pqmn 所成的二面角为直二面角, 则 mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即 (-2)-(2-)+1=0, 解得 =122. 故存在 =122,使面 efpq 与面 pqmn 所成的二面角为直二面角. 20.(本小题满分 12 分)(2014 湖北,理 20)计划在某水库建一座至

23、多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 x(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 x 限制,并有如下关系: 年入流量 x 40x120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机

24、运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 分析:(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率.用样本估计总体的方法估计未来的年入流量.因各年的年入流量相互独立,可利用二项分布求出至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率. (2)分别求出安装 1 台,2 台,3台发电机时,水电站年总利润的数学期望,比较它们的期望值,选择最佳方案. 解:(1)依题意,p1=p(40x120)=550=0.1. 由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120的概率为 p=c40(1

25、-p3)4+c41(1-p3)3p3=(910)4+4(910)3 (110)=0.947 7. (2)记水电站年总利润为 y(单位:万元). 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故 1 台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 y=5 000,e(y)=5 0001=5 000. 12 / 15 安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40x80 时,1 台发电机运行,此时 y=5 000-800=4 200,因此 p(y=4 200)=p(40x80)=p1=0.2; 当 x80 时,2 台发电机运行,此时 y=5 0002=10 000,因此 p(y=10 000)=

26、p(x80)=p2+p3=0.8;由此得 y 的分布列如下: y 4 200 10 000 p 0.2 0.8 所以,e(y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840. 安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40x80 时,1 台发电机运行,此时 y=5 000-1 600=3 400,因此 p(y=3 400)=p(40x120 时,3 台发电机运行,此时 y=5 0003=15 000,因此 p(y=15 000)=p(x120)=p3=0.1,由此得 y 的分布列如下 y 3 400 9 200 15 000 p 0.2 0.7 0.1 所以,e(y)=3 4000.2+9

27、2000.7+15 0000.1=8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 21.(本小题满分 14 分)(2014 湖北,理 21)在平面直角坐标系 xoy 中,点 m 到点 f(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多1.记点 m 的轨迹为 c. (1)求轨迹 c 的方程. (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 p(-2,1).求直线 l 与轨迹 c 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 分析:第(1)问求动点 m 的轨迹 c 的方程,就是找出动点 m(x,y)中 x 与 y 的关系,依据点 m 到点 f(1,0)的距离比它到

28、y 轴距离多 1 建立等式|mf|=|x|+1,而|mf|可用两点间距离公式表示,化简整理可得轨迹 c 的方程. 而对于第(2)问,由于直线过定点(-2,1),可用点斜式得直线方程 y-1=k(x+2),讨论直线 l 与曲线 c 公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题.由第(1)问知曲线 c 的方程分为两段:一段是抛物线,一段为射线,而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程,需对二次项系数以及根的判别式作出讨论,还要注意与抛物线联立后有解时 x 的取值为非负这一条件. 解:(1)设点 m(x,y),依题意得|mf|=|x|+1,即(-1)2+ 2=|x|+1, 化简整理得 y2=2(|x|+x). 故点 m 的轨迹 c 的方程为 y2=4, 0,0, 0. (2)在点 m 的轨迹 c 中,记 c1:y2=4x,c2:y=0(x0). 13 / 15 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). 由方程组-1 = ( + 2),2= 4x,可得 ky2-4y+4(2k+1)=0. )当 k=0 时,此时 y=1. 把 y=1 代入轨迹 c 的方程,得 x=14. 故此时直线 l:y=1 与轨迹 c 恰好有一个公共点(14,1). )当 k0