2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(重庆卷) (2)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试重庆文科数学数学试题卷(文史类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2b铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆,

2、文1)已知集合a=1,2,3,b=1,3,则ab=()a.2b.1,2c.1,3d.1,2,3答案:c解析:因为a=1,2,3,b=1,3,所以ab=1,3.2.(2015重庆,文2)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()a.充要条件b.充分而不必要条件c.必要而不充分条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:当x=1时,x2-2x+1=12-2×1+1=0;当x2-2x+1=0时,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.3.(2015重庆,文3)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()a.-3,1b.(-3,1)c.(-,-31

3、,+)d.(-,-3)(1,+)答案:d解析:要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-,-3)(1,+).4.(2015重庆,文4)重庆市2013年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是()a.19b.20c.21.5d.23答案:b解析:由茎叶图知,这组数据的中位数是20+202=20.5.(2015重庆,文5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()a.13+2b.136c.73d.52答案:b解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积v1=13

4、83;12·1·12=6;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积v2=·12·2=2,故该几何体的体积为v=v1+v2=6+2=136.6.(2015重庆,文6)若tan =13,tan(+)=12,则tan =()a.17b.16c.57d.56答案:a解析:tan =tan(+)-=tan(+)-tan1+tan(+)tan=12-131+12×13=17.7.(2015重庆,文7)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为()a.3b.2c.23d.56答案:c解析:因为a(2a+b),所以a&#

5、183;(2a+b)=0,即2|a|2+a·b=0.设a与b的夹角为,则有2|a|2+|a|b|cos =0.又|b|=4|a|,所以2|a|2+4|a|2cos =0,则cos =-12,从而=23.8.(2015重庆,文8)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为()a.34b.56c.1112d.2524答案:d解析:由程序框图可知,输出的s=12+14+16+18=2524,所以输出结果为2524.9.(2015重庆,文9)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是f,左、右顶点分别是a1,a2,过f作a1a2的垂线与双曲线交于b,c两点.若a1ba

6、2c,则该双曲线的渐近线的斜率为()a.±12b.±22c.±1d.±2答案:c解析:依题意知a1(-a,0),a2(a,0),f(c,0),不妨设点b在点f的上方,点c在点f的下方,则bc,b2a,cc,-b2a,因为a1ba2c,所以ka1b·ka2c=-1.而ka1b=b2a-0c-(-a)=b2a(c+a),ka2c=0-b2aa-c=b2a(a-c),所以b2a(c+a)·b2a(a-c)=-1,即b4a2(a2-c2)=-1,所以b4=a2b2,从而b2=a2,即b=a,所以ba=1,故双曲线的渐近线的斜率为±1

7、.10.(2015重庆,文10)若不等式组x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()a.-3b.1c.43d.3答案:b解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形abc.由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,则a(2,0).由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,则b(1-m,1+m).同理c2-4m3,2+2m3,m(-2m,0).因为sabc=sabm-sac

8、m=12·(2+2m)·(1+m)-2+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2015重庆,文11)复数(1+2i)i的实部为. 答案:-2解析:因为(1+2i)i=i+2i2=-2+i,所以其实部等于-2.12.(2015重庆,文12)若点p(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点p处的切线方程为. 答案:x+2y-5=0解析:设坐标原点为o,依题意,切线l与op垂直,而kop=2,所以kl=-12,于是

9、切线l的方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.13.(2015重庆,文13)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a=2,cos c=-14,3sin a=2sin b,则c=. 答案:4解析:由于3sin a=2sin b,根据正弦定理可得3a=2b,又a=2,所以b=3.于是由余弦定理可得c=a2+b2-2abcosc=22+32-2×2×3×-14=4.14.(2015重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为. 答案:32解析:因为a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b

10、+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是a+1+b+3=x+y,而(x+y)2=x+y+2xyx+y+(x+y)=18,所以x+y32.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,a+1+b+3的最大值为32.15.(2015重庆,文15)在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为. 答案:23解析:当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有=(2p)2-4(3p-2)0,x1+x2=-2p<0,x1x2=3p-2&

11、gt;0,0p5,解得p2或p1,p>0,p>23,0p5,所以23<p1或2p5,即p23,12,5,由几何概型的概率计算公式可知所求概率为1-23+(5-2)5=23.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,文16)已知等差数列an满足a3=2,前3项和s3=92.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和tn.解:(1)设an的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+3×22d=92,化简得a1

12、+2d=2,a1+d=32,解得a1=1,d=12,故通项公式an=1+n-12,即an=n+12.(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=8.设bn的公比为q,则q3=b4b1=8,从而q=2,故bn的前n项和tn=b1(1-qn)1-q=1×(1-2n)1-2=2n-1.17.(本小题满分13分,(1)小问10分,(2)小问3分)(2015重庆,文17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程y

13、=bt+a;(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程y=bt+a中,b=i=1ntiyi-nt yi=1nti2-nt2,a=y-bt.解:(1)列表计算如下:itiyiti2tiyi11515226412337921448163255102550153655120这里n=5,t=1ni=1nti=155=3,y=1ni=1nyi=365=7.2.又ltt=i=1nti2-nt2=55-5×32=10,lty=i=1ntiyi-nt y=120-5×3×7.2=12,从而b=ltyltt=1210=1.2,a=y-bt=7.

14、2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).18.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)(2015重庆,文18)已知函数f(x)=12sin 2x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x2,时,求g(x)的值域.解:(1)f(x)=12sin 2x-3cos2x=12sin 2x-32(1+cos 2x)=12sin 2x

15、-32cos 2x-32=sin2x-3-32,因此f(x)的最小正周期为,最小值为-2+32.(2)由条件可知:g(x)=sinx-3-32.当x2,时,有x-36,23,从而sinx-3的值域为12,1,那么sinx-3-32的值域为1-32,2-32.故g(x)在区间2,上的值域是1-32,2-32.19.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2015重庆,文19)已知函数f(x)=ax3+x2(ar)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解:(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在

16、x=-43处取得极值,所以f'-43=0,即3a·169+2·-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g'(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x&g

17、t;0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.20.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆,文20)如图,三棱锥p-abc中,平面pac平面abc,abc=2,点d,e在线段ac上,且ad=de=ec=2,pd=pc=4,点f在线段ab上,且efbc.(1)证明:ab平面pfe;(2)若四棱锥p-dfbc的体积为7,求线段bc的长.(1)证明:如图,由de=ec,pd=pc知,e为等腰pdc中dc边的中点,故peac.又平面pac平面abc,平面pac平面ab

18、c=ac,pe平面pac,peac,所以pe平面abc,从而peab.因abc=2,efbc,故abef.从而ab与平面pfe内两条相交直线pe,ef都垂直,所以ab平面pfe.(2)解:设bc=x,则在直角abc中,ab=ac2-bc2=36-x2,从而sabc=12ab·bc=12x36-x2.由efbc知,afab=aeac=23,得afeabc,故safesabc=232=49,即safe=49sabc.由ad=12ae,safd=12safe=12·49sabc=29sabc=19x36-x2,从而四边形dfbc的面积为sdfbc=sabc-safd=12x36-

19、x2-19x36-x2=718x36-x2.由(1)知,pe平面abc,所以pe为四棱锥p-dfbc的高.在直角pec中,pe=pc2-ec2=42-22=23.体积vp-dfbc=13·sdfbc·pe=13·718x36-x2·23=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=33.所以,bc=3或bc=33.21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2015重庆,文21)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,过f2的直线交椭圆于p,q