2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖北卷) (2)

1、1 / 8 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖北湖北卷卷) 数学(文史类) 本试题卷共 5 页,22 题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用 2b 铅笔将答题卡上试卷类型 b 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答

2、题区域均无效. 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 湖北,文 1)i 为虚数单位,i607=( ) a.-i b.i c.-1 d.1 答案:a 解析:i607=i4151+3=i3=-i. 2.(2015 湖北,文 2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( ) a.134 石 b.169 石 c.338 石 d.1 365

3、石 答案:b 解析:米内含谷的概率约为28254=14127,故这批米内夹谷约为141271 534169(石). 3.(2015 湖北,文 3)命题“x0(0,+),ln x0=x0-1”的否定是( ) a.x0(0,+),ln x0 x0-1 b.x0(0,+),ln x0=x0-1 c.x(0,+),ln xx-1 d.x(0,+),ln x=x-1 答案:c 解析:“x0m,p”的否定是“xm,p”.故选 c. 4.(2015 湖北,文 4)已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,变量 y 与 z 正相关.下列结论中正确的是( ) a.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关

4、 b.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 c.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 d.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 答案:a 解析:由 y=-0.1x+1 知 y 与 x 负相关,又因为 y 与 z 正相关,故 z 与 x 负相关. 5.(2015 湖北,文 5)l1,l2表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( ) a.p 是 q 的充分条件,但不是 q的必要条件 b.p 是 q 的必要条件,但不是 q的充分条件 c.p 是 q 的充分必要条件 d.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 答案:a 解析:l1,l2是异面直线

5、l1,l2不相交,即 pq; 而 l1,l2不相交l1,l2是异面直线,即 qp. 故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件. 6.(2015 湖北,文 6)函数 f(x)=4-|+lg2-5+6-3的定义域为( ) a.(2,3) b.(2,4 c.(2,3)(3,4 d.(-1,3)(3,6 答案:c 2 / 8 解析:要使函数有意义,需4-| 0,2-5+6-3 0, 即-4 4, 2 且 3,即 2x3 或 3 0,0, = 0,-1, 0,0, = 0,-, 0,0, = 0, 0,0, = 0, 0,0, = 0,-|, 0,0, = 0, 0,0, = 0,-, 0,

6、|x|=xsgn x.故选 d. 8.(2015 湖北,文 8)在区间0,1上随机取两个数 x,y,记 p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“xy12”的概率,则( ) a.p1p212 b.p112p2 c.p212p1 d.12p2p1 答案:b 解析:设点 p的坐标为(x,y), 由题意 x,y0,1, 所以点 p在正方形 oabc 内,s正方形oabc=11=1. 画出直线 x+y=12与正方形交于 d,e两点, 画出曲线 xy=12与正方形交于 m,n 两点. 而 rtoac 的面积 s=12. 由图可知:soedsoacs曲边形ocmna, 所以 p1120)个单位长度,得到

7、离心率为 e2的双曲线 c2,则( ) a.对任意的 a,b,e1e2 b.当 ab 时,e1e2;当 ab 时,e1e2 3 / 8 c.对任意的 a,b,e1b 时,e1e2;当 ae2 答案:d 解析:e1=1 + ()2,e2=1 + (+)2, 而+=(-)(+), 当 ab 时,(-)(+)0,+,e1e2; 当 ab 时,(-)(+)0,+e2.故选 d. 10.(2015 湖北,文 10)已知集合 a=(x,y)|x2+y21,x,yz,b=(x,y)|x|2,|y|2,x,yz,定义集合ab=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)a,(x2,y2)b,则 ab中元素的个数

8、为( ) a.77 b.49 c.45 d.30 答案:c 解析:a=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0). 如图,b中元素共 25 个. (1)当 x1=y1=0 时,ab=b,共有 25 个元素. (2)当 x1=0,y1=-1 时,ab 中的元素为(x2,y2-1),其中不在 b中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共 5 个. (3)当 x1=0,y1=1 时,ab 中的元素为(x2,y2+1),其中不在 b中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共 5 个. (4)当 x1=-1,y

9、1=0 时,ab 中的元素为(x2-1,y2),其中不在 b中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共 5 个. (5)当 x1=1,y1=0 时,ab 中的元素为(x2+1,y2),其中不在 b中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共 5 个. 综上,ab中的元素共有 25+54=45(个). 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35分. 11.(2015 湖北,文 11)已知向量 ,| |=3,则 = . 答案:9 解析: = ( + )=| |2+ =| |2=9. 12.(2015 湖北,文 1

10、2)设变量 x,y 满足约束条件 + 4,- 2,3- 0,则 3x+y 的最大值是 . 答案:10 解析:作出可行域如图所示,设 z=3x+y,则 y=-3x+z, 故当直线 y=-3x+z 过点 c 时,z 最大. 由 + = 4,- = 2,得 c(3,1). 故 zmax=33+1=10,即 3x+y 的最大值是 10. 13.(2015 湖北,文 13)函数 f(x)=2sin xsin( +2)-x2的零点个数为 . 答案:2 解析:f(x)=2sin xsin( +2)-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2. 如图所示,在同一平面直角坐标系中作出 y=sin 2

11、x 与 y=x2的图象, 4 / 8 当 x0 时,两图象有 2 个交点, 当 x0 时,两图象无交点, 综上,两图象有 2 个交点,即函数的零点个数为 2. 14.(2015 湖北,文 14)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= ; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 . 答案:(1)3 (2)6 000 解析:(1)由频率分布直方图,得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)0.1=1,解得 a=3; (2

12、)消费金额在0.5,0.9的购物者的人数为:10 000(1-1.50.1-2.50.1)=10 0000.6=6 000. 15.(2015 湖北,文 15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 a处时测得公路北侧一山顶 d 在西偏北30 的方向上,行驶 600 m 后到达 b处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此山的高度 cd= m. 答案:1006 解析: 如图所示,由已知得bac=30 ,ab=600 m,ebc=75 ,cbd=30 . 在abc 中,acb=ebc-bac=45 , 由sin=sin,得 bc=sinsin=6001222=3002(

13、m). 在 rtbcd 中,cd=bc tancbd =3002 33=1006(m). 16.(2015 湖北,文 16)如图,已知圆 c 与 x 轴相切于点 t(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 a,b(b 在 a的上方),且|ab|=2. (1)圆 c 的标准方程为 ; (2)圆 c 在点 b处的切线在 x 轴上的截距为 . 答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2 (2)-1-2 5 / 8 解析: (1)由题意可设圆心 c 坐标为(1,b),再取 ab中点为 p,连接 cp,cb, 则bpc 为直角三角形, 得|bc|=r=2=b, 故圆 c 的标准方程为(x-1)2+(y-2)

14、2=2. (2)由(1)得,c(1,2),b(0,2+1),则 kbc=-1. 圆 c 在点 b处的切线方程为 y=x+2+1,令 y=0,得 x=-2-1,即切线在 x 轴上的截距为-1-2. 17.(2015 湖北,文 17)a 为实数,函数 f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为 g(a).当 a= 时,g(a)的值最小. 答案:22-2 解析:当 a0 时,f(x)=|x2-ax|=x2-ax 在区间0,1上为增函数,当 x=1 时,f(x)取得的最大值为 f(1)=1-a; 当 0a1 时,f(x)=-2+ ,0 ,2-, 1在区间(0,2)上递增,在2,上递减,在(a,

15、1上递增,且 f(2) =24,f(1)=1-a, 24-(1-a)=14(a2+4a-4), 当 0a22-2 时,241-a. 当 22-2a1 时,241-a; 当 1a2 时,f(x)=-x2+ax 在区间(0,2)上递增,在区间(2,1)上递减, 当 x=2时,f(x)取得最大值 f(2) =24; 当 a2 时,f(x)=-x2+ax 在区间0,1上递增, 当 x=1 时,f(x)取得最大值 f(1)=a-1. 则 g(a)=1-, 22-2,24,22-2 0,| 1 时,记 cn=,求数列cn的前 n 项和 tn. 解:(1)由题意有,101+ 45 = 100,1 = 2,即

16、21+ 9 = 20,1 = 2, 解得1= 1, = 2,或1= 9, =29. 故= 2-1,= 2-1,或=19(2 + 79),= 9(29)-1. (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1, 故 cn=2-12-1, 于是 tn=1+32+522+723+924+2-12-1, 12tn=12+322+523+724+925+2-12. -可得 12tn=2+12+122+12-22-12=3-2+32, 故 tn=6-2+32-1. 20.(本小题满分 13 分)(2015 湖北,文 20)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.将四个面都为直

17、角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 p-abcd 中,侧棱 pd底面 abcd,且 pd=cd,点 e是 pc 的中点,连接 de,bd,be. (1)证明:de平面 pbc,试判断四面体 ebcd 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由; (2)记阳马 p-abcd 的体积为 v1,四面体 ebcd 的体积为 v2,求12的值. 解:(1)因为 pd底面 abcd,所以 pdbc. 由底面 abcd 为长方形,有 bccd, 而 pdcd=d, 所以 bc平面 pcd. de平面 pcd,所以 bcde. 又因为 pd=cd,点 e是 pc 的中

18、点, 所以 depc. 而 pcbc=c,所以 de平面 pbc. 由 bc平面 pcd,de平面 pbc, 可知四面体 ebcd 的四个面都是直角三角形, 即四面体 ebcd 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是bcd,bce,dec,deb. (2)由已知,pd 是阳马 p-abcd 的高, 所以 v1=13sabcd pd=13bc cd pd; 由(1)知,de是鳖臑 d-bce 的高,bcce, 7 / 8 所以 v2=13sbce de=16bc ce de. 在 rtpdc 中,因为 pd=cd,点 e是 pc 的中点,所以 de=ce=22cd, 于是12=1316=2=4. 21.(本小题满分 14 分)(2015 湖北,文 21)设函数 f(x),g(x)的定义域均为 r,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x0 时,f(x)0,g(x)1; (2)设