2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)文

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2b铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准

2、使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式v=13sh,其中s为锥体的底面积,h为锥体的高.一组数据x1,x2,xn的方差s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014广东,文1)已知集合m=2,3,4,n=0,2,3,5,则mn=().a.0,

3、2b.2,3c.3,4d.3,5答案:b解析:由题意知mn=2,3,故选b.2.(2014广东,文2)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z=().a.-3-4ib.-3+4ic.3-4id.3+4i答案:d解析:由题意知z=253-4i=25(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3+4i,故选d.3.(2014广东,文3)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=().a.(-2,1)b.(2,-1)c.(2,0)d.(4,3)答案:b解析:由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选b.4.(2014广东,文4)若变量x,y满足约束条件x+2y8,0x4,0y3,则

4、z=2x+y的最大值等于().a.7b.8c.10d.11答案:c解析:画出x,y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示,作直线l:y=-2x,平移直线l,经过可行域上的点a(4,2)时,z取最大值,即zmax=2×4+2=10,故选c.5.(2014广东,文5)下列函数为奇函数的是().a.2x-12xb.x3sin xc.2cos x+1d.x2+2x答案:a解析:对于a选项,函数的定义域为r.令f(x)=2x-12x,f(-x)=2-x-12-x=12x-2x=-f(x),故a正确;对于b选项,函数的定义域为r,令g(x)=x3sin x,g(-x)=(-x)3sin(-x)=x

5、3sin x=g(x),该函数为偶函数;对于c选项,函数定义域为r,令h(x)=2cos x+1,h(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=h(x),h(x)为偶函数;对于d选项,令m(x)=x2+2x,由m(1)=3,m(-1)=32,m(1)m(-1),m(1)-m(-1),知该函数为非奇非偶函数,故选a.6.(2014广东,文6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为().a.50b.40c.25d.20答案:c解析:由题意知分段间隔为1 00040=25,故选c.7.(2014广东,文7)在abc中,角a,b,c所对应的

6、边分别为a,b,c,则“ab”是“sin asin b”的().a.充分必要条件b.充分非必要条件c.必要非充分条件d.非充分非必要条件答案:a解析:由正弦定理asina=bsinb=2r(r为三角形外接圆半径)得,a=2rsin a,b=2rsin b,故ab2rsin a2rsin bsin asin b,故选a.8.(2014广东,文8)若实数k满足0<k<5,则曲线x216-y25-k=1与曲线x216-k-y25=1的().a.实半轴长相等b.虚半轴长相等c.离心率相等d.焦距相等答案:d解析:0<k<5,5-k>0,16-k>0,对于双曲线x21

7、6-y25-k=1,实轴长为8,虚轴长为25-k,焦距为216+5-k=221-k;对于双曲线x216-k-y25=1,实轴长为216-k,虚轴长为25,焦距为216-k+5=221-k,因此两双曲线的焦距相等,故选d.9.(2014广东,文9)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是().a.l1l4b.l1l4c.l1与l4既不垂直也不平行d.l1与l4的位置关系不确定答案:d解析:如图所示正方体abcd-a1b1c1d1,取l1为bb1,l2为bc,l3为ad,l4为cc1,则l1l4,可知选项a错误;取l1为bb1,l2

8、为bc,l3为ad,l4为c1d1,则l1l4,故b错误,则c也错误,故选d.10.(2014广东,文10)对任意复数1,2,定义1􀆽 2=12,其中2是2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题:(z1+z2)􀆽 z3=(z1􀆽 z3)+(z2􀆽 z3);z1􀆽 (z2+z3)=(z1􀆽 z2)+(z1􀆽 z3);(z1􀆽 z2)􀆽 z3=z1􀆽 (z2􀆽 z3);z1⣺

9、21; z2=z2􀆽 z1.则真命题的个数是().a.1b.2c.3d.4答案:b解析:由定义知(z1+z2)􀆽 z3=(z1+z2)·z3=z1z3+z2z3=(z1􀆽 z3)+(z2􀆽 z3), 故正确;对于,z1􀆽 (z2+z3)=z1·z2+z3=z1(z2+z3)=z1z2+z1z3=z1􀆽 z2+z1􀆽 z3,故正确;对于,左边=(z1·z2)􀆽 z3=z1z2z3,右边=z1􀆽 (z2z3)

10、=z1z2z3=z1z2z3,左边右边,故错误;对于,取z1=1+i,z2=2+i,左边=z1z2=(1+i)(2-i)=3+i;右边=z2z1=(2+i)(1-i)=3-i,左边右边,故错误,故选b.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(1113题)11.(2014广东,文11)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为. 答案:5x+y+2=0解析:y'=-5ex,所求曲线的切线斜率k=y'|x=0=-5e0=-5,切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.12.(2014广东,文12)从字母a

11、,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为. 答案:25解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率p=410=25.13.(2014广东,文13)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=. 答案:5解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4=a32=4.an>0,a3=2,

12、a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.(二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14.(2014广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线c1与c2的方程分别为2cos2=sin 与cos =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线c1与c2交点的直角坐标为. 答案:(1,2)解析:曲线c1的普通方程为y=2x2,曲线c2的普通方程为x=1,联立x

13、=1,y=2x2,解得x=1,y=2.因此交点的直角坐标为(1,2).15.(2014广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形abcd中,点e在ab上且eb=2ae,ac与de交于点f,则cdf的周长aef的周长=. 答案:3解析:eb=2ae,ab=3ae.又四边形abcd为平行四边形,abcd,ab=cd,cdfaef,cdf的周长aef的周长=cdae=abae=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014广东,文16)已知函数f(x)=asinx+3,xr,且f512=322.(1)求a

14、的值;(2)若f()-f(-)=3,0,2,求f6-.解:(1)f(x)=asinx+3,且f512=322,f512=asin512+3=asin34=a·22=322,a=3.(2)f(x)=3sinx+3,且f()-f(-)=3,f()-f(-)=3sin+3-3sin-+3=3sincos3+cossin 3-sin 3cos-cos 3sin=3·2sin cos 3=3sin =3,sin =33,且0,2,cos =1-sin2=63.f6-=3sin6-+3=3sin2-=3cos =6.17.(本小题满分13分)(2014广东,文17)某车间20名工人年龄

15、数据如下表:年龄(岁)工人数(人)191283293305314323401合计20(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;(3)求这20名工人年龄的方差.解:(1)由图可知,众数为30.极差为:40-19=21.(2)192888999300000111122240(3)根据表格可得:x=19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+4020=30,s2=120(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)

16、2+(41-30)2=13.65.18.(本小题满分13分)(2014广东,文18)如图1,四边形abcd为矩形,pd平面abcd,ab=1,bc=pc=2.作如图2折叠;折痕efdc,其中点e,f分别在线段pd,pc上,沿ef折叠后点p叠在线段ad上的点记为m,并且mfcf.图1图2(1)证明:cf平面mdf;(2)求三棱锥m-cde的体积.(1)证明:pd平面abcd,且pd平面pcd,平面pcd面abcd,交线为cd.又四边形abcd为矩形,adcd,ad平面abcd,md平面pcd.又由于cf平面pcd,mdcf.mfcf,且mdmf=m,cf平面mdf.(2)解:md平面pcd,vm

17、-cde=13·scde·md.cf平面mdf,df平面mdf,cfdf.在rtpcd中,cd=1,pc=2,pcd=60°,且cd=1,cf=12,故pf=2-12=32.mf=32.又cfmf,故利用勾股定理得:cm=102,在rtmdc中,cm=102,cd=1,得dm=62.又f点位于cp的四等分点,且pd=3,e为pd的四等分点,故de=34,scde=12cd·de=12×1×34=38,vm-cde=13scde·dm=216.19.(本小题满分14分)(2014广东,文19)设各项均为正数的数列an的前n项和

18、为sn,且sn满足sn2-(n2+n-3)·sn-3(n2+n)=0,nn*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)<13.(1)解:由sn2-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*,令n=1,得s12-(-1)s1-6=0,即a12+a1-6=0,解得a1=2或a1=-3.由于数列an为正数数列,所以a1=2.(2)解:由sn2-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*,因式分解得(sn+3)(sn-n2-n)=0.由数列an为正数数列可得sn-n2-n=0,即s

19、n=n2+n.当n2时,an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n,由a1=2可得,nn*,an=2n.(3)证明:由(2)可知1an(an+1)=12n(2n+1),nn*,1an(an+1)=12n(2n+1)<1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.当n=1时,显然有1a1(a1+1)=16<13;当n2时,1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)<12·(2+1)+1213-15+15-17+12n-1-12n+1=13-12·12n+1<13,所以,对一切正整数n,有1a1(a1+1)+

20、1a2(a2+1)+1an(an+1)<13.20.(本小题满分14分)(2014广东,文20)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆c的标准方程;(2)若动点p(x0,y0)为椭圆c外一点,且点p到椭圆c的两条切线相互垂直,求点p的轨迹方程.解:(1)由c=5,e=ca=53得:a=3,b=2.椭圆方程为:x29+y24=1.(2)设两个切点分别为a,b.当两条切线中有一条斜率不存在时,即a,b两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,p点坐标为(±3,±2).当两条切线斜率均存在时,设椭圆切线斜率为k,过点p的椭圆的切线方程为y-y0=k(x-x0),联立y-y0=k(x-x0),x29+y24=1,得(9k2+4)x2+(18ky0-18k2x0)x+9k2x02-18kx0y0+9y02-36=0,=09k2+4=(kx0-y0)2(x02-9)k2-2x0y0k+y02-4=0,设pa,pb斜率分别为k1,k2,则k1·k2=y02-4x02-9,又pa,pb互相垂直,k1·k2=y02-4x02-9=-1,化简得x02+y02=13(x0±3).又p(±3,±2)在x02+y02=13上,点p在圆x2+y2=13上.点p