2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(四川卷)

1、1 / 14 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(四川四川卷卷) 数学(理工类) 本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 4 页,共 4页.满分 150 分.考试时间120 分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 必须使用 2b 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第卷共 10 小题. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.

2、 1.(2015 四川,理 1)设集合 a=x|(x+1)(x-2)0,集合 b=x|1x3,则 ab=( ) a.x|-1x3 b.x|-1x1 c.x|1x2 d.x|2x3 答案:a 解析:由题意,得 a=x|-1x2,b=x|1x3,所以 ab=x|-1x3b3”是“loga33b3,ab1. log3alog3b0. 1log31log3,即 loga33b3 是 loga3logb3 的充分条件. 当 0a1 时,满足 loga33b3,得 ab1,所以由 loga33b3,所以 3a3b3 不是 loga33b3 是 loga3logb3的充分不必要条件,故选 b. 9.(201

3、5 四川,理 9)如果函数 f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间12,2上单调递减,那么 mn 的最大值为( ) a.16 b.18 c.25 d.812 答案:b 解析:f(x)=(m-2)x+(n-8),由于 f(x)在12,2上单调递减, 所以 f(x)0 在12,2上恒成立,即(m-2)x+(n-8)0 在12,2上恒成立, 4 / 14 于是(-2)12+ -8 0,(-2)2 + -8 0,即 + 2 18,2 + 12. 又 m0,n0,所以 + 2 18,2 + 12, 0, 0. 画出满足上述不等式组的点(m,n)所对应的平面区域(如图). 得

4、b(0,9),c(6,0),由 + 2 = 18,2 + = 12,可得 a(2,8). 当 0m2 时,mnm(18-2)=-12m2+9m=-12(m-9)2+812,当 m=2 时,mn 取最大值 16; 当 20)相切于点 m,且 m 为线段ab的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( ) a.(1,3) b.(1,4) c.(2,3) d.(2,4) 答案:d 解析:如图所示,设 a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0), 则12= 41,22= 42, 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). 当 l 的斜率不存在,即 x1=x

5、2时,符合条件的直线 l 必有两条. 当 l 的斜率 k 存在,即 x1x2时,有 2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即 k=20. 由 cmab,得 kcm=00-5=-02,即 x0=3. 因为点 m 在抛物线内部,所以024x0=12, 又 x1x2,所以 y1+y20, 即 00212. 5 / 14 因为点 m 在圆上,所以(x0-5)2+02=r2,即 r2=02+4. 所以 4r216,即 2r0; 对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n0; 对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; 对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得

6、m=-n. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 答案: 解析:对于,因为函数 f(x)=2x单调递增, 所以 m=(1)-(2)1-20,故该命题正确; 对于,函数 g(x)=x2+ax 的对称轴为 x=-2, 故函数在(-,-2)上单调递减,在(-2, + )上单调递增. 所以当 x1,x2(-,-2)时,n=(1)-(2)1-20. 所以该命题错误. 对于,若存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n,即(1)-(2)1-2=(1)-(2)1-2, 整理得 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 设函数 h(x)=f(x)-g(x), 则 h(x)=f(x)-g(x)=2

7、x-x2-ax 的图象与平行于 x 轴的直线可能有两个交点. h(x)=2xln 2-2x-a, 记 p(x)=h(x),则 p(x)=2x(ln 2)2-2, 令 p(x)=0,解得 2x=2(ln2)2, 故 x=log22(ln2)2=1-2log2(ln 2),记为 x0. 当 x(-,x0)时,p(x)0,函数单调递增,所以 p(x)p(x0). 显然当 p(x0)0 时,h(x)p(x0)0,此时函数 h(x)在 r 上单调,函数 h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax 的图象与平行于 x轴的直线只有一个交点,即此时 h(x)的图象与平行于 x 轴的直线不可能有两个交点.

8、所以该命题错误. 对于,若存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n,即(1)-(2)1-2=-(1)-(2)1-2, 整理得 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2), 设函数 h(x)=f(x)+g(x), 则 q(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax 的图象与平行于 x 轴的直线可能有两个交点. 8 / 14 q(x)=2xln 2+2x+a,显然 q(x)在 r 上单调,设 q(x)=0 的解为 t,则当 x(-,t)时,q(x)0,函数 q(x)单调递增. 所以函数 q(x)=2x+x2+ax 的图象与平行于 x 轴的直线可能有两个交点.所以该命题正确. 综上,正确的命

9、题为. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2015 四川,理 16)设数列an(n=1,2,3,)的前 n 项和 sn满足 sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)记数列1的前 n 项和为 tn,求使得|tn-1|11 000成立的 n 的最小值. 解:(1)由已知 sn=2an-a1,有 an=sn-sn-1=2an-2an-1(n2), 即 an=2an-1(n2). 从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为 a1,a2+1,a3成等差数列,

10、 即 a1+a3=2(a2+1). 所以 a1+4a1=2(2a1+1),解得 a1=2. 所以,数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an=2n. (2)由(1)得1=12. 所以 tn=12+122+12=121-(12)1-12=1-12. 由|tn-1|11 000,得|1-12-1| 1 000. 因为 29=5121 0001 024=210, 所以 n10. 于是,使|tn-1|11 000成立的 n 的最小值为 10. 17.(本小题满分 12 分)(2015 四川,理 17)某市 a,b两所中学的学生组队参加辩论赛,a中学推荐了 3 名男生、2 名女生,b中学推

11、荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 a中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛.设 x表示参赛的男生人数,求 x的分布列和数学期望. 解:(1)由题意知,参加集训的男、女生各有 6 名. 9 / 14 参赛学生全从 b中学抽取(等价于 a中学没有学生入选代表队)的概率为c33c43c63c63=1100. 因此,a中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1-1100=99100. (2)根据题意,x的

12、可能取值为 1,2,3. p(x=1)=c31c33c64=15, p(x=2)=c32c32c64=35, p(x=3)=c33c31c64=15. 所以 x的分布列为 x 1 2 3 p 15 35 15 因此,x的数学期望为 e(x)=1p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)=115+235+315=2. 18.(本小题满分 12 分)(2015 四川,理 18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设 bc 的中点为 m,gh 的中点为 n. (1)请将字母 f,g,h 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)证明:直线 mn平面 bdh

13、; (3)求二面角 a-eg-m 的余弦值. (1)解:点 f,g,h 的位置如图所示. (2)证明:连接 bd,设 o 为 bd 的中点. 因为 m,n 分别是 bc,gh 的中点, 所以 omcd,且 om=12cd, 10 / 14 hncd,且 hn=12cd. 所以 omhn,om=hn. 所以 mnho 是平行四边形,从而 mnoh. 又 mn平面 bdh,oh平面 bdh, 所以 mn平面 bdh. (3)解法一: 连接 ac,过 m 作 mpac 于 p. 在正方体 abcd-efgh 中,aceg, 所以 mpeg. 过 p作 pkeg 于 k,连接 km, 所以 eg平面

14、pkm,从而 kmeg. 所以pkm 是二面角 a-eg-m 的平面角. 设 ad=2,则 cm=1,pk=2. 在 rtcmp 中,pm=cmsin 45 =22. 在 rtpkm 中,km=2+ 2=322. 所以 cos pkm=223. 即二面角 a-eg-m 的余弦值为223. 解法二: 如图,以 d 为坐标原点,分别以 , , 方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 dxyz. 设 ad=2,则 m(1,2,0),g(0,2,2),e(2,0,2),o(1,1,0), 所以, =(2,-2,0), =(-1,0,2). 设平面 egm 的一个法向量为 n1=(x,y,z

15、), 由1 = 0,1 = 0,得2-2 = 0,- + 2 = 0, 取 x=2,得 n1=(2,2,1). 在正方体 abcd-efgh 中,do平面 aegc, 11 / 14 则可取平面 aeg 的一个法向量为 n2= =(1,1,0), 所以 cos =12|1|2| =2+2+04+4+11+1+0=223, 故二面角 a-eg-m 的余弦值为223. 19.(本小题满分 12 分)(2015 四川,理 19)如图,a,b,c,d 为平面四边形 abcd 的四个内角. (1)证明:tan 2=1-cossin; (2)若 a+c=180 ,ab=6,bc=3,cd=4,ad=5,求

16、 tan 2+tan 2+tan 2+tan 2的值. (1)证明:tan 2=sin 2cos 2=2sin222sin 2cos 2=1-cossin. (2)解:由 a+c=180 ,得 c=180 -a,d=180 -b. 由(1),有 tan 2+tan 2+tan 2+tan 2 =1-cossin+1-cossin+1-cos(180-)sin(180-)+1-cos(180-)sin(180-)=2sin+2sin. 连接 bd. 在abd 中,有 bd2=ab2+ad2-2ab adcos a, 在bcd 中,有 bd2=bc2+cd2-2bc cdcos c, 所以 ab2

17、+ad2-2ab adcos a=bc2+cd2+2bc cdcos a, 则 cos a=2+2-2-22(+) =62+52-32-422(65+34)=37. 于是 sin a=1-cos2 =1-(37)2=2107. 连接 ac.同理可得 cos b=2+2-2-22(+) =62+32-52-422(63+54)=119, 于是 sin b=1-cos2 =1-(119)2=61019. 所以,tan 2+tan 2+tan 2+tan 2 12 / 14 =2sin+2sin =27210+219610 =4103. 20.(本小题满分 13 分)(2015 四川,理 20)如图

18、,椭圆 e:22+22=1(ab0)的离心率是22,过点 p(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 a,b两点.当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 e 截得的线段长为 22. (1)求椭圆 e的方程; (2)在平面直角坐标系 xoy 中,是否存在与点 p不同的定点 q,使得|=|恒成立?若存在,求出点 q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)由已知,点(2,1)在椭圆 e 上. 因此, 22+12= 1,2-2= 2,=22. 解得 a=2,b=2. 所以椭圆 e方程为24+22=1. (2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 c,d 两点. 如果存在定点

19、q 满足条件,则有|=|=1,即|qc|=|qd|. 所以 q 点在 y 轴上,可设 q 点的坐标为(0,y0). 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 m,n 两点, 则 m,n 的坐标分别为(0,2),(0,-2). 由|=|,有|0-2|0+2|=2-12+1,解得 y0=1,或 y0=2. 所以,若存在不同于点 p 的定点 q 满足条件,则 q 点坐标只可能为(0,2). 下面证明:对任意直线 l,均有|=|. 当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y=kx+1,a,b 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 联立24+22= 1, = + 1,得(2k2+1)x2+4kx-2=0. 13 / 14 其判别式 =(4k)2+8(2k2+1)0, 所以,x1+x2=-422+1,x1x2=-222+1. 因此11+12=1+212=2k. 易知,点 b关于 y 轴对称的点 b的坐标为(-x2,y2). 又 kqa=1-21=1-11=k-11, kqb=2-2-2=2-1-2 =-k+12=k-11, 所以 kqa=kqb, 即 q,a,b三点共线. 所以|=|=|1|2|=|. 故存在与 p不同的定点 q(0