2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(山东卷)

1、1 / 11 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 山东文科数学 本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第卷每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如

2、需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 山东,文 1)已知集合 a=x|2x4,b=x|(x-1)(x-3)0,则 ab=( ) a.(1,3) b.(1,4) c.(2,3) d.(2,4) 答案:c 解析: b=x|(x-1)(x-3)0=x|1x3,a=x|2x4,结合数轴可得,ab=x|2x3.

3、2.(2015 山东,文 2)若复数 z 满足1i=i,其中 i 为虚数单位,则 z=( ) a.1-i b.1+i c.-1-i d.-1+i 答案:a 解析:1i=i,=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i. 3.(2015 山东,文 3)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( ) a.abc b.acb c.bac d.bc0.60.60.61.5. 而函数 y=1.5x为单调递增函数, 1.50.61.501,ba0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题是( ) a.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m0 b.若方程

4、x2+x-m=0 有实根,则 m0 c.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m0 d.若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m0 答案:d 解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程 x2+x-m=0 没有实根,则 m0”. 6.(2015 山东,文 6)为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; 甲地该月

5、 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) a. b. c. d. 答案:b 解析:由茎叶图可知,甲=26+28+29+31+315=29, 3 / 11 乙=28+29+30+31+325=30,所以甲 乙2. 7.(2015 山东,文 7)在区间0,2上随机地取一个数 x,则事件“-1log12( +12)1”发生的概率为( ) a.34 b.23 c.13 d.14 答案:a 解析:由-1log12( +12)1,得 log122log12( +12)

6、log1212,所以12x+122,所以 0 x32.由几何概型可知,事件发生的概率为32020=34. 8.(2015 山东,文 8)若函数 f(x)=2+12是奇函数,则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为( ) a.(-,-1) b.(-1,0) c.(0,1) d.(1,+) 答案:c 解析:f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).即2+12=-2+12,也就是2+112=-2+12,1-a 2x=a-2x,即(1-a)2x=a-1,1-a=0,解得a=1.f(x)=2+121.则2+1213,即2+13(21)210,即2(22)210,即(2x-2)(2x-1)0,12x2,

7、即 0 x1. 9.(2015 山东,文 9)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) a.223 b.423 c.22 d.42 答案:b 解析: 由题意可知所得几何体为两个底面重合的圆锥,如图所示.圆锥的底面半径 r=2,高 h=2. 所以体积为 v=213(2)22 =423. 10.(2015 山东,文 10)设函数 f(x)=3 , 1,2, 1.若 f(56)=4,则 b=( ) a.1 b.78 c.34 d.12 答案:d 解析:f(56)=356-b=52-b, 4 / 11 f( (56)=f(52

8、). 当52-b32时,f(52 )=3(52 )-b=4,b=78(舍去). 当52-b1 时,即 b32时,f(52 ) = 252=4, 即52-b=2,b=12. 综上,b=12. 第卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2015 山东,文 11)执行下边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 y 的值是 . 答案:13 解析:输入 x=1,12,x=1+1=2.x=2 不满足“x0,y0 时,xy+(2y)x 的最小值为 . 答案:2 解析:xy=22,xy+(2y)x=22+(2)222=2+22222222=222=

9、 2. 其中 x0,y0,当且仅当 x2=2y2,即 x=2y 时等号成立. 15.(2015 山东,文 15)过双曲线 c:2222=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 c 于点 p.若点 p的横坐标为 2a,则 c 的离心率为 . 答案:2+3 解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为 y=(x-c),与 c 交于 p(x0,y0).x0=2a,y0=(2a-c). 又 p(x0,y0)在双曲线 c 上, (2)2222(2)22=1, 整理得 a2-4ac+c2=0,设双曲线 c 的离心率为 e, 故 1-4e+e2=0. e1=2-3(舍去),e2=2+3. 即双曲

10、线 c 的离心率为 2+3. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)(2015 山东,文 16)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社2 30 6 / 11 团 (1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 a1,a2,a3,a4,a5,3 名女同学 b1,b2,b3.现从这 5名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 a1被选中且 b1未

11、被选中的概率. 解:(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少参加上述一个社团的共有 45-30=15 人. 所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为 p=1545=13. (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1,a2,b2, a2,b3,a3,b1,a3,b2,a3,b3,a4,b1, a4,b2,a4,b3,a5,b1,a5,b2,a5,b3, 共 15 个. 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“a1被选中且 b1未被

12、选中”所包含的基本事件有:a1,b2,a1,b3,共 2 个. 因此 a1被选中且 b1未被选中的概率为 p=215. 17.(本小题满分 12 分)(2015 山东,文 17)abc 中,角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c.已知 cos b=33,sin(a+b)=69,ac=23,求 sin a和 c 的值. 解:在abc 中,由 cos b=33,得 sin b=63, 因为 a+b+c=, 所以 sin c=sin(a+b)=69. 因为 sin csin b,所以 cb,可知 c 为锐角, 所以 cos c=539. 因此 sin a=sin(b+c)=sin bcos c+

13、cos bsin c=63539+3369=223. 由sin=sin,可得 a=sinsin=22369=23c, 又 ac=23,所以 c=1. 18.(本小题满分 12 分)(2015 山东,文 18)如图,三棱台 def-abc 中,ab=2de,g,h 分别为 ac,bc 的中点. 7 / 11 (1)求证:bd平面 fgh; (2)若 cfbc,abbc,求证:平面 bcd平面 egh. (1) 证法一:连接 dg,cd,设 cdgf=m.连接 mh. 在三棱台 def-abc 中, ab=2de,g 为 ac 的中点, 可得 dfgc,df=gc, 所以四边形 dfcg 为平行四

14、边形. 则 m 为 cd 的中点.又 h 为 bc 的中点, 所以 hmbd, 又 hm平面 fgh,bd平面 fgh, 所以 bd平面 fgh. 证法二:在三棱台 def-abc 中, 由 bc=2ef,h 为 bc 的中点, 可得 bhef,bh=ef, 所以四边形 hbef为平行四边形,可得 behf. 在abc 中,g 为 ac 的中点,h 为 bc 的中点, 所以 ghab. 又 ghhf=h, 所以平面 fgh平面 abed. 因为 bd平面 abed, 所以 bd平面 fgh. 8 / 11 (2) 证明:连接 he. 因为 g,h 分别为 ac,bc 的中点, 所以 ghab.

15、 由 abbc,得 ghbc. 又 h 为 bc 的中点, 所以 efhc,ef=hc, 因此四边形 efch 是平行四边形. 所以 cfhe, 又 cfbc,所以 hebc. 又 he,gh平面 egh,hegh=h, 所以 bc平面 egh. 又 bc平面 bcd, 所以平面 bcd平面 egh. 19.(本小题满分 12 分)(2015 山东,文 19)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列1+1的前 n 项和为2+1. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn=(an+1) 2,求数列bn的前 n 项和 tn. 解:(1)设数列an的公差为 d. 令 n=1,得112=13,所以

16、 a1a2=3. 令 n=2,得112+123=25, 所以 a2a3=15. 解得 a1=1,d=2,所以 an=2n-1. (2)由(1)知 bn=(an+1) 2=2n 22n-1=n 4n, 所以 tn=1 41+2 42+n 4n, 所以 4tn=1 42+2 43+n 4n+1, 两式相减,得-3tn=41+42+4n-n 4n+1=4(14)14-n 4n+1=1334n+1-43. 9 / 11 所以 tn=3194n+1+49=4+(31)4+19. 20.(本小题满分 13 分)(2015 山东,文 20)设函数 f(x)=(x+a)ln x,g(x)=2e.已知曲线 y=

17、f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线 2x-y=0 平行. (1)求 a 的值. (2)是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出 k;如果不存在,请说明理由. (3)设函数 m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示 p,q 中的较小值),求 m(x)的最大值. 解:(1)由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 2,所以 f(1)=2. 又 f(x)=ln x+1,所以 a=1. (2)k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-2

18、e, 当 x(0,1时,h(x)1-1=0, 所以存在 x0(1,2),使得 h(x0)=0. 因为 h(x)=ln x+1+1+(2)e, 所以当 x(1,2)时,h(x)1-1e0, 当 x(2,+)时,h(x)0, 所以当 x(1,+)时,h(x)单调递增. 所以 k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0,且 x(0,x0)时,f(x)g(x), 所以 m(x)=( + 1)ln, (0,0,2e, (0,+). 当 x(0,x0)时,若 x(0,1,m(x)0; 若 x(1,x0),由 m(x)=ln x+1+10, 可知 00,m(x)单调递增; x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减; 可知 m(x)m(2)=4e2,且 m(x0)b0)的离心率为32,且点(3,12)在椭圆 c 上. (1)求椭圆 c 的方程; (2)设椭圆 e:242+242=1,p为椭圆 c 上任意一点,过点 p的直线 y=kx+m 交椭圆 e于 a,b 两点,射线 po 交椭圆 e于点 q. 求|的值;