2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅰ)理

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国)数学(理科)注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国,理1)已知集合a=x|x2-2x-30,b=x|-2x<2,

2、则ab=().a.-2,-1b.-1,2)c.-1,1d.1,2)答案:a解析:由已知,可得a=x|x3或x-1,则ab=x|-2x-1=-2,-1.故选a.2.(2014课标全国,理2)(1+i)3(1-i)2=().a.1+ib.1-ic.-1+id.-1-i答案:d解析:(1+i)3(1-i)2=(1+i)2(1+i)(1-i)2=2i(1+i)-2i=-1-i.故选d.3.(2014课标全国,理3)设函数f(x),g(x)的定义域都为r,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().a.f(x)g(x)是偶函数b.|f(x)|g(x)是奇函数c.f(x)|g(x)|是

3、奇函数d.|f(x)g(x)|是奇函数答案:c解析:由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于a选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故a错误;对于b选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故b错误;对于c选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故c正确;对于d选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故d错误.4.(2014课标全国,理4)已知f为双曲线c:x2-my2=3m(m>0)的一个

4、焦点,则点f到c的一条渐近线的距离为().a.3b.3c.3md.3m答案:a解析:由题意,可得双曲线c为x23m-y23=1,则双曲线的半焦距c=3m+3.不妨取右焦点(3m+3,0),其渐近线方程为y=±1mx,即x±my=0.所以由点到直线的距离公式得d=3m+31+m=3.故选a.5.(2014课标全国,理5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为().a.18b.38c.58d.78答案:d解析:(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有c42a22=3(种),对4名同学按1,3分组共有

5、c41种,所以周六、周日都有同学参加共有3×a22+c41a22=14(种).由古典概型得所求概率为1416=78.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为1416=78.故选d.6.(2014课标全国,理6)如图,圆o的半径为1,a是圆上的定点,p是圆上的动点,角x的始边为射线oa,终边为射线op,过点p作直线oa的垂线,垂足为m,将点m到直线op的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,的图像大致为().答案

6、:c解析:由题意|om|=|cos x|,f(x)=|om|sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知c正确.7.(2014课标全国,理7)执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的m=().a.203b.72c.165d.158答案:d解析:当a=1,b=2,k=3,n=1时,13,m=1+12=32,a=2,b=32,n=2;23,m=2+23=83,a=32,b=83,n=3;33,m=32+38=158,a=83,b=158,n=4;4>3,程序结束,输出m=158.8.(2014课标全国,理8)设0,2,0,2,且tan =1+

7、sincos,则().a.3-=2b.3+=2c.2-=2d.2+=2答案:c解析:由已知,得sincos=1+sincos,sin cos =cos +cos sin .sin cos -cos sin =cos .sin(-)=cos ,sin(-)=sin2-.0,2,0,2,-2<-<2,0<2-<2,-=2-,2-=2.故选c.9.(2014课标全国,理9)不等式组x+y1,x-2y4的解集记为d,有下面四个命题:p1:(x,y)d,x+2y-2,p2:(x,y)d,x+2y2,p3:(x,y)d,x+2y3,p4:(x,y)d,x+2y-1,其中的真命题是(

8、).a.p2,p3b.p1,p2c.p1,p4d.p1,p3答案:b解析:画出可行域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-12x,平移l0,当直线经过a(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:(x,y)d,x+2y-2为真.p2:(x,y)d,x+2y2为真.故选b.10.(2014课标全国,理10)已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线为l,p是l上一点,q是直线pf与c的一个交点.若fp=4fq,则|qf|=().a.72b.3c.52d.2答案:b解析:如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|fm|=4.过q作qhl于h,则|qh|=|qf|.由题意,得

9、phqpmf,则有|hq|mf|=|pq|pf|=34,|hq|=3.|qf|=3.11.(2014课标全国,理11)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是().a.(2,+)b.(1,+)c.(-,-2)d.(-,-1)答案:c解析:当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意;当a>0时,f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-,0)上单调递增.又f(0)=1,当x-时,f(x)=x2(ax-3)+1-,故不适合题意;当a<0时,f(x)在-,2a上单调递减,在2a,0上单调递

10、增,在(0,+)上单调递减,只需f2a>0就满足题意.由f2a>0,得8a2-12a2+1>0,解得a<-2或a>2(舍去).故a<-2.12.(2014课标全国,理12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为().a.62b.6c.42d.4答案:b解析:如图所示的正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为4.取b1b的中点g,即三棱锥g-cc1d1为满足要求的几何体,其中最长棱为d1g,d1g=(42)2+22=6.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必

11、须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国,理13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案) 答案:-20解析:(x+y)8的通项公式为tr+1=c8rx8-ryr(r=0,1,8,rz).当r=7时,t8=c87xy7=8xy7,当r=6时,t7=c86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.14.(2014课标全国,理14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a,b

12、,c三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过b城市;乙说:我没去过c城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为. 答案:a解析:根据甲、乙、丙说的可列表得abc甲×乙××丙15.(2014课标全国,理15)已知a,b,c为圆o上的三点,若ao=12(ab+ac),则ab与ac的夹角为. 答案:90°解析:由ao=12(ab+ac)可得o为bc的中点,则bc为圆o的直径,即bac=90°,故ab与ac的夹角为90°.16.(2014课标全国,理16)已知a,b,c分别为abc三个内角a,b,c的

13、对边,a=2,且(2+b)(sin a-sin b)=(c-b)sin c,则abc面积的最大值为. 答案:3解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.a=2,a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos a=b2+c2-a22bc=12.sin a=32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.sabc=12bc·sin a3,即(sabc)max=3.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国,理17)已知数列a

14、n的前n项和为sn,a1=1,an0,anan+1=sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.分析:(1)已知数列an的前n项和sn与相邻两项an,an+1间的递推关系式anan+1=sn-1,要证an+2-an=,故考虑利用an+1=sn+1-sn消去sn进行证明.(2)若an为等差数列,则有2a2=a1+a3,故可由此求出,进而由an+2-an=4验证an是否为等差数列即可.解:(1)由题设,anan+1=sn-1,an+1an+2=sn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=

15、.(2)由题设,a1=1,a1a2=s1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.18.(本小题满分12分)(2014课标全国,理18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表

16、).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值z服从正态分布n(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求p(187.8<z<212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记x表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求e(x).附:15012.2.若zn(,2),则p(-<z<+)=0.682 6,p(-2<z<+2)=0.954 4.分析:(1)利用x=x1p1+x2p2+xnpn求x,利用s2=(x1-x)2p1+(x2-x)2p2+(xn-x)2pn,求s2.(2)由

17、(1)可知,2,则n(,2)可知.将p(187.8<z<212.2)进行转化,利用3原则求解.由可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为p,则100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数x服从二项分布b(100,p),则由e(x)=100p可求e(x).解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-3

18、0)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)由(1)知,zn(200,150),从而p(187.8<z<212.2)=p(200-12.2<z<200+12.2)=0.682 6.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知xb(100,0.682 6),所以e(x)=100×0.682 6=68.26.19.(本小题满分12分)(2014课

19、标全国,理19)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,侧面bb1c1c为菱形,abb1c.(1)证明:ac=ab1;(2)若acab1,cbb1=60°,ab=bc,求二面角a-a1b1-c1的余弦值.分析:(1)因为侧面bb1c1c为菱形,故考虑利用菱形的性质:对角线互相垂直平分,故连接bc1,不妨设其交b1c于点o,则o为b1c的中点,要证ac=ab1,故只需证b1cao.又b1cab,故考虑通过证b1c平面abo来达到目的.(2)利用空间直角坐标系求解,由(1)知b1oao,b1obo.故考虑以o点为坐标原点,以ob的方向为x轴正方向,ob1的方向为y轴正方向,oa的方向为z轴正

20、方向建立空间直角坐标系,但需证明oboa,然后分别求出平面aa1b1和平面a1b1c1的法向量n,m,最后利用cos<n,m>=n·m|n|m|求出二面角a-a1b1-c1的余弦值.解:(1)连接bc1,交b1c于点o,连接ao,因为侧面bb1c1c为菱形,所以b1cbc1,且o为b1c及bc1的中点.又abb1c,所以b1c平面abo.由于ao平面abo,故b1cao.又b1o=co,故ac=ab1.(2)因为acab1,且o为b1c的中点,所以ao=co.又因为ab=bc,所以boaboc.故oaob,从而oa,ob,ob1两两互相垂直.以o为坐标原点,ob的方向为x

21、轴正方向,|ob|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.因为cbb1=60°,所以cbb1为等边三角形.又ab=bc,则a0,0,33,b(1,0,0),b10,33,0,c0,-33,0,ab1=0,33,-33,a1b1=ab=1,0,-33,b1c1=bc=-1,-33,0.设n=(x,y,z)是平面aa1b1的法向量,则n·ab1=0,n·a1b1=0,即33y-33z=0,x-33z=0.所以可取n=(1,3,3).设m是平面a1b1c1的法向量,则m·a1b1=0,m·b1c1=0.同理可取m=(1,-3,3).则cos

22、<n,m>=n·m|n|m|=17.所以二面角a-a1b1-c1的余弦值为17.20.(本小题满分12分)(2014课标全国,理20)已知点a(0,-2),椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,f是椭圆e的右焦点,直线af的斜率为233,o为坐标原点.(1)求e的方程;(2)设过点a的动直线l与e相交于p,q两点,当opq的面积最大时,求l的方程.分析:(1)由过a(0,-2),f(c,0)的直线af的斜率为233或过两点的直线斜率公式可求c,再由e=ca=32,可求a,由b2=a2-c2可求b2,则椭圆e的方程可求.(2)由题意知动直线

23、l的斜率存在,故可设其斜率为k,写出直线方程,并与椭圆方程联立,消去y,整理成关于x的一元二次方程,利用弦长公式求出弦pq的长|pq|,利用点到直线的公式求出点o到直线pq的距离d,则由sopq=12|pq|·d,可将sopq表示成关于k的函数,转化为求函数f(k)的最大值问题.注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解:(1)设f(c,0),由条件知,2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故e的方程为x24+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,p(x1,y1),q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k

24、2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)>0,即k2>34时,x1,2=8k±24k2-34k2+1.从而|pq|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又点o到直线pq的距离d=2k2+1,所以opq的面积sopq=12d·|pq|=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t>0,sopq=4tt2+4=4t+4t.因为t+4t4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足>0.所以,当opq的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.21.(本小题满分12分)(2014课标

25、全国,理21)设函数f(x)=aexln x+bex-1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.分析:(1)由已知可得f(1)=e(1-1)+2=2,切线斜率k=e=f'(1),由此可求出a,b.(2)由(1)可求f(x),结合不等式的特点将之转化为g(x)>h(x)的形式,通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=aexln x+axex-bx2ex-1+bxex-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1

26、,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exln x+2xex-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-2e.设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x0,1e时,g'(x)<0;当x1e,+时,g'(x)>0.故g(x)在0,1e单调递减,在1e,+单调递增,从而g(x)在(0,+)的最小值为g1e=-1e.设函数h(x)=xe-x-2e,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h'(x)>0;当x(1,+)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,

27、+)单调递减,从而h(x)在(0,+)的最大值为h(1)=-1e.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.请考生在第22,23,24题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2014课标全国,理22)选修41:几何证明选讲如图,四边形abcd是o的内接四边形,ab的延长线与dc的延长线交于点e,且cb=ce.(1)证明:d=e;(2)设ad不是o的直径,ad的中点为m,且mb=mc,证明:ade为等边三角形.分析:(1)由cb=ce可得cbe=e,要证d=e,故只需证cbe=d,利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可证.(2)由(1)知d=e,要证ade为等边三角形,只需证a=e,又因为cbe=e,故只需证a=cbe,只需证adbc,因为已知mb=mc,故考虑利用等腰三角形的三线合一的性质.故取bc的中点n,连接mn,则mnbc,通过证明mnad来达到证明adbc的目的.解:(1)由题设知a,b,c,d四点共圆,所以d=cbe.由已知得cbe=e,故d=e.(2)设bc的中点为n,连接mn,则由mb=mc知mnbc,故o在直线mn上.又ad不是o的直径,m为ad的中点,故omad,即mnad.所以adbc,故a=cbe.又cbe=e,故a=e.由(1)知,d