2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖南卷) (2)

1、1 / 9 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 湖南理科数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 6 页.时量 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 湖南,理 1)已知(1i)2=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=( ) a.1+i b.1-i c.-1+i d.-1-i 答案:d 解析:由已知得 z=(1i)21+i=2i1+i=2i(1i)(1+i)(1i)=22i2=-1-i. 2.(2015 湖南,理 2)设

2、 a,b是两个集合,则“ab=a”是“ab”的( ) a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案:c 解析:若 ab=a,则有 ab;若 ab,则必有 ab=a.所以“ab=a”是“ab”的充要条件. 3.(2015 湖南,理 3)执行如图所示的程序框图.如果输入 n=3,则输出的 s=( ) a.67 b.37 c.89 d.49 答案:b 解析:由题意得,输出的 s 为数列1(21)(2+1)的前 3 项和,而1(21)(2+1)=12(12112+1),即 sn=12(1 12+1) =2+1.故当输入 n=3 时,s3=37,故选 b. 4.(

3、2015 湖南,理 4)若变量 x,y满足约束条件 + 1,2 0,1 0,解得-1x0,即 f(x)0,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.故选 a. 6.(2015 湖南,理 6)已知( )5的展开式中含32的项的系数为 30,则 a=( ) a.3 b.-3 c.6 d.-6 答案:d 解析:展开式的通项为 tr+1=c5 ()5-r ()=(-1)rc5ar 52(r=0,1,2,5).令52-r=32,得 r=1,所以展开式中含32项的系数为(-1)c51 a,于是-5a=30,解得 a=-6. 7.(2015 湖南,理 7)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入

4、阴影部分(曲线 c 为正态分布 n(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) a.2 386 b.2 718 c.3 413 d.4 772 附:若 xn(,2),则 p(-x+)=0.682 6,p(-2x+2)=0.954 4. 答案:c 解析:由于曲线 c 为正态分布 n(0,1)的密度曲线,所以 p(-1x1)=0.682 6,由正态分布密度曲线的对称性知p(0x1)=0.341 3,即图中阴影部分的面积为 0.341 3.由几何概型知点落入阴影部分的概率 p=0.341 31=0.341 3.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为 10 0000.341 3=3 413.故选

5、c. 8.(2015 湖南,理 8)已知点 a,b,c 在圆 x2+y2=1 上运动,且 abbc.若点 p的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( ) a.6 b.7 c.8 d.9 答案:b 解析:设坐标原点为 o,则 + + = + + + + + =3 + +( + ),由于 abbc,所以 ac 是圆的直径,因此 + =0,于是| + + |=|3 + |=(3 + )2 =9|po |2+ 6po ob + |ob |2 =9 22+ 12 6 =37 6| | |cos = 37 12cos,故当pob= 时,cospob 取最小值-1,此时| + + |取最大值 7.

6、9.(2015 湖南,理 9)将函数 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 (0 2)个单位后得到函数 g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2 的 x1,x2,有|x1-x2|min=3,则 = ( ) a.512 b.3 c.4 d.6 答案:d 解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2). 因为|f(x1)-g(x2)|=2,可知 f(x1)和 g(x2)分别为 f(x)和 g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值). 不妨令 2x1=2+2k(kz),2x2-2=-2+2m(mz), 则 x1-x2=2-+(k-m),又|x1-x2|min=3,所以当 k-m=0

7、 时,即 k=m,又 02,则有2-=3,解得 =6.故选 d. 10.(2015 湖南,理 10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率 =新工件的体积原工件的体积)( ) 3 / 9 a.89 b.169 c.4(21)3 d.12(21)3 答案:a 解析:由三视图知该工件是一个圆锥,其底面半径为 1,高为 2,故体积 v1=13 12 2=23.由圆及矩形的对称性可知当长方体体积最大时,其底面一定为正方形,设其边长为 x(0 x2),长方体的高为 h,则有221=22,

8、所以 h=2-2x,则长方体体积 v=x2h=x2(2-2x)=2x2-2x3,所以 v(x)=4x-32x2,令 v(x)=0 得 x=223或 x=0(舍去),因当 0 x223时,v(x)递增,而当223x1,所以 e=5. 14.(2015 湖南,理 14)设 sn为等比数列an的前 n 项和,若 a1=1,且 3s1,2s2,s3成等差数列,则 an= . 答案:3n-1 解析:设等比数列an的公比为 q,则 an=a1qn-1=qn-1. 因为 3s1,2s2,s3成等差数列,所以 2(2s2)=3s1+s3,即 4s2=3+s3,即 4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),

9、也就是 4(1+q)=3+(1+q+q2), 整理得 q2-3q=0,解得 q=3 或 q=0(舍去). 所以等比数列an的首项为 a1=1,公比为 q=3, 故 an=3n-1. 15.(2015 湖南,理 15)已知函数 f(x)=3, ,2, .若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的取值范围是 . 答案:(-,0)(1,+) 解析:要使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,应使 f(x)图象与直线 y=b 有两个不同的交点. 当 0a1 时,由 f(x)的图象知 f(x)在定义域 r 上单调递增,它与直线 y=b 不可能有两个交点. 当 a0 时,由

10、f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,0)上递减,在0,+)上递增,且 a30,所以,当0b1 时,由 f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,+)上递增,但 a3a2,所以当 a2ba3时,f(x)图象与 y=b 有两个不同的交点. 综上,实数 a 的取值范围是 a1. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(2015 湖南,理 16)(本小题满分 12 分) 本小题设有,三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.如果全做,则按所做的前两题计分. .(本题满分

11、 6 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在o 中,相交于点 e的两弦 ab,cd 的中点分别是 m,n.直线 mo 与直线 cd 相交于点 f.证明: (1)men+nom=180 ; (2)fe fn=fm fo. 证明: (1)如图所示,因为 m,n 分别是弦 ab,cd 的中点,所以 omab,oncd,即ome=90 ,eno=90 ,因此ome+eno=180 . 又四边形的内角和等于 360 ,故men+nom=180 . (2)由(1)知,o,m,e,n 四点共圆,故由割线定理即得 fe fn=fm fo. .(本题满分 6 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l:

12、 = 5 +32, = 3 +12(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c 的极坐标方程为 =2cos . (1)将曲线 c 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 m 的直角坐标为(5,3),直线 l 与曲线 c 的交点为 a,b,求|ma| |mb|的值. 解:(1)=2cos 等价于 2=2cos . 将 2=x2+y2,cos =x 代入即得曲线 c 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. (2)将 = 5 +32, = 3 +12代入,得 t2+53t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|ma|

13、|mb|=|t1t2|=18. .(本题满分 6 分)选修 4-5:不等式选讲 5 / 9 设 a0,b0,且 a+b=1+1,证明: (1)a+b2; (2)a2+a2 与 b2+b0,b0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2=2,即 a+b2. (2)假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立,则由 a2+a0 得 0a1;同理,0b1,从而 ab1,这与 ab=1矛盾.故 a2+a2 与 b2+b0,所以 a(0,4),于是 sin a+sin c=sin a+sin(2 2)=sin a+cos 2a=-2sin2a+sin a+1=-2(sin 14)2+9

14、8. 因为 0a4,所以 0sin a22, 因此22-2(sin 14)2+9898. 由此可知 sin a+sin c 的取值范围是(22,98. 18.(2015 湖南,理 18)(本小题满分 12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 x,求

15、 x的分布列和数学期望. 解:(1)记事件 a1=从甲箱中摸出的 1 个球是红球,a2=从乙箱中摸出的 1 个球是红球,b1=顾客抽奖 1 次获一等奖,b2=顾客抽奖 1 次获二等奖,c=顾客抽奖 1 次能获奖. 由题意,a1与 a2相互独立,a12与1a2互斥,b1与 b2互斥,且 b1=a1a2,b2=a12+ 1a2,c=b1+b2, 因为 p(a1)=410=25,p(a2)=510=12, 所以 p(b1)=p(a1a2)=p(a1)p(a2)=2512=15, p(b2)=p(a12+ 1a2)=p(a12)+p(1a2) =p(a1)p(2)+p(1)p(a2) =p(a1)(1

16、-p(a2)+(1-p(a1)p(a2) =25 (1 12) + (1 25) 12=12. 故所求概率为 p(c)=p(b1+b2)=p(b1)+p(b2)=15+12=710. (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为15,所以 xb(3,15). 于是 p(x=0)=c30(15)0(45)3=64125, p(x=1)=c31(15)1(45)2=48125, p(x=2)=c32(15)2(45)1=12125, p(x=3)=c33(15)3(45)0=1125. 故 x的分布列为 x 0 1 2 3 p 64125 4812

17、5 12125 1125 x的数学期望为 e(x)=315=35. 19. 6 / 9 (2015 湖南,理 19)(本小题满分 13 分)如图,已知四棱台 abcd-a1b1c1d1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形.a1a=6,且 a1a底面 abcd.点 p,q 分别在棱 dd1,bc 上. (1)若 p是 dd1的中点,证明:ab1pq. (2)若 pq平面 abb1a1,二面角 p-qd-a的余弦值为37,求四面体 adpq 的体积. 解法 1: 由题设知,aa1,ab,ad 两两垂直,以 a为坐标原点,ab,ad,aa1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所

18、示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 a(0,0,0),b1(3,0,6),d(0,6,0),d1(0,3,6),q(6,m,0),其中 m=bq,0m6. (1)若 p是 dd1的中点,则 p(0,92,3), = (6, 92,3). 又1 =(3,0,6),于是1 =18-18=0, 所以1 ,即 ab1pq. (2)由题设知, =(6,m-6,0),1 =(0,-3,6)是平面 pqd 内的两个不共线向量. 设 n1=(x,y,z)是平面 pqd 的一个法向量,则1 = 0,1 1 = 0,即6 + ( 6) = 0,3 + 6 = 0. 取 y=6,得 n1=(6-m,6,3).

19、又平面 aqd 的一个法向量是 n2=(0,0,1),所以 cos=12|1|2|=31(6)2+62+32=3(6)2+45. 而二面角 p-qd-a的余弦值为37,因此3(6)2+45=37,解得 m=4,或 m=8(舍去),此时 q(6,4,0). 设 =1 (0b0)的一个焦点,c1与 c2的公共弦的长为 26. (1)求 c2的方程; (2)过点 f的直线 l 与 c1相交于 a,b两点,与 c2相交于 c,d 两点,且 与 同向. 若|ac|=|bd|,求直线 l 的斜率; 设 c1在点 a处的切线与 x 轴的交点为 m.证明:直线 l 绕点 f旋转时,mfd 总是钝角三角形. 解

20、:(1)由 c1:x2=4y 知其焦点 f 的坐标为(0,1). 因为 f也是椭圆 c2的一个焦点, 所以 a2-b2=1. 又 c1与 c2的公共弦的长为 26,c1与 c2都关于 y 轴对称,且 c1的方程为 x2=4y,由此易知 c1与 c2的公共点的坐标为(6,32),所以942+62=1. 联立,得 a2=9,b2=8.故 c2的方程为29+28=1. (2)如图,设 a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4). 因 与 同向,且|ac|=|bd|, 所以 = ,从而 x3-x1=x4-x2, 即 x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=

21、(x3+x4)2-4x3x4. 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由 = + 1,2= 4得 x2-4kx-4=0. 8 / 9 而 x1,x2是这个方程的两根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 由 = + 1,28+29= 1得(9+8k2)x2+16kx-64=0. 而 x3,x4是这个方程的两根, 所以 x3+x4=-169+82,x3x4=-649+82. 将,代入,得 16(k2+1)=1622(9+82)2+4649+82, 即 16(k2+1)=1629(2+1)(9+82)2, 所以(9+8k2)2=169,解得 k=64,即直线 l 的斜率

22、为64. 由 x2=4y 得 y=2,所以 c1在点 a处的切线方程为 y-y1=12(x-x1),即 y=12124. 令 y=0 得 x=12,即 m(12,0), 所以 = (12,1). 而 =(x1,y1-1),于是 =122-y1+1=124+10, 因此afm 是锐角,从而mfd=180 -afm 是钝角. 故直线 l 绕点 f旋转时,mfd 总是钝角三角形. 21.(2015 湖南,理 21)(本小题满分 13 分)已知 a0,函数 f(x)=eaxsin x(x0,+).记 xn为 f(x)的从小到大的第 n(nn*)个极值点.证明: (1)数列f(xn)是等比数列; (2)若 a1e21,则对一切 nn*,xn|f(xn)|恒成立. 证明:(1