2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷

1、1 / 19 绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试题卷共 5页,24 题(含选考题)。全卷满分 150分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项: 1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2b铅笔将答题卡上试卷类型 a 后的方框涂黑。 2、选择题的作答:每小题选出答案后,用 2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题

2、卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2b铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1) 设集合 a=x|x2-4x+30,则 ab= (a)(-3,-32) (b)(-3,32) (c)(1,32) (d)(32,3) (2) 设(1+i)x=1+yi,其中 x,y是实数,则|x+yi|= 2 / 19 (a)1 (b)2 (c)3 (d

3、)2 (3) 已知等差数列an前 9项的和为 27,a10=8,则 a100= (a)100 (b)99 (c)98 (d)97 (4) 某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (a)13 (b)12 (c)23 (d)34 (5) 已知方程22+232-=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n的取值范围是 (a)(-1,3) (b)(-1,3) (c)(0,3) (d)(0,3) (6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互

4、相垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是 (a)17 (b)18 (c)20 (d)28 (7) 函数 y=2x2-e|x|在-2,2的图像大致为 3 / 19 (8) 若 ab1,0c1,则 (a)acbc (b)abcbac (c)alogbcblogac (d)logac0,|2),x=-4为 f(x)的零点,x=4为 y=f(x)图像的对称轴,且 f(x)在(18,536)单调,则 的最大值为 (a)11 (b)9 (c)7 (d)5 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)(24)题为选考题,考生根据要求作答。

5、 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分。 (13) 设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= . (14) (2x+)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) (15) 设等比数列an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . (16) 某高科技企业生产产品 a 和产品 b需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 a 需要甲材料1.5kg,乙材料 1kg,用 5个工时;生产一件产品 b需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3个工时.生产一件5 / 19 产品 a的利润为 2 100元,生产一件产品 b的利

6、润为 900元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600个工时的条件下,生产产品 a、产品 b的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,已知 2cosc(acosb+bcosa)=c. ()求 c; ()若 c=7,abc的面积为332,求abc的周长. (18) (本小题满分 12 分) 如图,在以 a,b,c,d,e,f 为顶点的五面体中,面 abef为正方形,af=2fd,afd=90,且二面角 d-af-e 与二面角 c-be-f都是

7、60. ()证明:平面 abef平面 efdc; ()求二面角 e-bc-a 的余弦值. (19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 6 / 19 以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率,记 x 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买

8、 2台机器的同时购买的易损零件数. ()求 x 的分布列; ()若要求 p(xn)0.5,确定 n 的最小值; ()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19与 n=20 之中选其一,应选用哪个? (20) (本小题满分 12 分) 设圆 x2+y2+2x-15=0的圆心为 a,直线 l过点 b(1,0)且与 x轴不重合,l交圆 a于 c,d 两点,过 b作 ac的平行线交 ad于点 e. ()证明|ea|+|eb|为定值,并写出点 e的轨迹方程; ()设点 e的轨迹为曲线 c1,直线 l交 c1于 m,n两点,过 b 且与 l垂直的直线与圆 a 交于 p,q两点,求四边形 mpn

9、q面积的取值范围. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. ()求 a的取值范围; ()设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明:x1+x20).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 c2:=4cos. ()说明 c1是哪一种曲线,并将 c1的方程化为极坐标方程; ()直线 c3的极坐标方程为 =0,其中 0满足 tan0=2,若曲线 c1与 c2的公共点都在 c3上,求 a. (24) (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲 8 / 19 已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. ()在答题卡第(2

10、4)题图中画出 y=f(x)的图像; ()求不等式|f(x)|1的解集. 试卷全解全析 全国乙卷理科 (1)d 由 x2-4x+30,解得 1x0,解得 x32, 所以 b=(32, + ) . 所以 ab=(32,3),故选 d. (2)b (定义、性质 )因为(1+i)x=1+yi,x,yr, 所以 x=1,y=x=1. 所以|x+yi|=|1+i|=2,故选 b. (3)c (方法一)设等差数列an的公差 为 d, 则由题意得,91+982 = 27,1+ 9 = 8, 解得 a1=-1,d=1, 故 a100=a1+99d=-1+99=98. (方法二)因为 s9=(1+9)92=27

11、,a1+a9=2a5 , 所以 a5=3. 9 / 19 又因为 a10=8,所以 d=10-510-5=1. 故 a100=a10+(100-10)1=98. (4)b 这是几何概型 问题,总的基本事件空间如图所示,共 40 分钟,等车时间不超过 10 分钟的时间段为:7:50 至 8:00和 8:20至 8:30,共 20 分钟,故他等车时间不超过 10 分钟的概率为 p=2040=12,故选 b. (5)a (定义、公式 )因为双曲线的焦距为 4, 所以 c=2, 即 m2+n+3m2-n=4,解得 m2=1. 又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)0,解得-1n3,故选 a. (6)

12、a 由三视图 可知该几何体是球截去18后所得几何体, 则7843r3=283,解得 r=2, 所以它的表面积为784r2+34r2=14+3=17. (7)d 特殊值验证 法,取 x=2,则 y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除 a,b; 当 0 x 2,所以 a 错; 因为 32 = 1823 = 12,所以 b 错; 10 / 19 因为 log312=-log32-1=log212,所以 d错; 因为 3log212=-30) ,圆的方程为 x2+y2=r2. 因为|ab|=42,所以可设 a(m,22). 又因为|de|=25, 所以2= 5 +24,2+ 8 = 2,

13、8 = 2,解得 p2=16. 故 p=4,即 c 的焦点到准线的距离是 4. (11)a (方法一)平面 cb1d1,平面 abcd平面 a1b1c1d1,平面 abcd=m,平面 cb1d1平面 a1b1c1d1=b1d1, mb1d1. 平面 cb1d1,平面 abb1a1平面 dcc1d1,平面 abb1a1=n,平面 cb1d1平面dcc1d1=cd1, ncd1 . b1d1,cd1所成的角等于 m,n 所成的角, 即b1d1c等于 m,n 所成的角 . b1d1c为正三角形,b1d1c=60, 11 / 19 m,n所成的角的正弦值为32. (方法二)由题意画出图形如图,将正方体

14、 abcd-a1b1c1d1平移 , 补形为两个全等的正方体如图,易证平面 aef平面 cb1d1, 所以平面 aef即为平面 , m即为 ae,n即为 af,所以 ae 与 af 所成的角即为 m与 n所成的角. 因为aef 是正三角形,所以eaf=60, 故 m,n所成角的正弦值为32. (12)b 由题意得-4 + = 1,1z,4 + = 2 +2,2z, 解得 =1+22+4,=2(k2-k1)+1,k1,k2z. |2,=4或 =-4 . f(x)在(18,536)上单调, 536182,t6,即26,12 . 0,012. 若 =4,则 k1+k2=0,=4k2+1,=1,5,9

15、. 若 =9,则 f(x)=sin(9 +4)在(18,536)上单调递减,符合题意. 若 =-4,则 k1+k2=-1,=4k2+3 ,=3,7,11. 12 / 19 若 =11,则 f(x)=sin(11-4)在(18,344)上递增, 在(344,536)上递减,不符合题意. 综上, 的最大值为 9. (13)-2 |a+b|2=|a|2+|b|2, (m+1)2+32=m2+1+5,解得 m=-2. (14)10 二项式的通项公式 tr+1=c5(2x)5-r2 =c525-r5-2, 令 5-2=3,解得 r=4, 故 x3的系数为c5425-4=10. (15)64 由已知 a1

16、+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除 得1+3(1+3)=105, 解得 q=12,a1=8, 所以 a1a2an=8n (12)1+2+(-1)= 2-122+72,抛物线 f(n)=-12n2+72n 的对称轴为 n=-722(-12)=3.5, 又 nn*,所以当 n=3 或 4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64. (16)216 000 设生产产品 a x 件,生产产品 b y 件, 由题意得 1.5 + 0.5 150, + 0.3 90,5 + 3 600,n, 即 3 + 300,10 + 3 900,5 + 3 600,n. 目标函数

17、 z=2 100 x+900y,画出约束条件对应的可行域 (如图阴影部分中的整数点所示), 13 / 19 作直线 y=-73x,当直线过 5x+3y=600 与 10 x+3y=900的交点时,z 取最大值, 由5 + 3 = 600,10 + 3 = 900,解得 = 60, = 100, 所以 zmax=2 10060+900100=216 000. (17)解 ()由已知及正弦定理 得, 2cos c(sin acos b+sin bcos a)=sin c, 即 2cos csin(a+b)=sin c. 故 2sin ccos c=sin c. 可得 cos c=12,所以 c=3

18、. ()由已知,12absin c=332. 又 c=3,所以 ab=6. 由已知及余弦定理 得,a2+b2-2abcos c=7. 故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25. 所以abc的周长为 5+7. (18)解 ()由已知可得 afdf,affe, 所以 af平面 efdc. 又 af平面 abef ,故平面 abef平面 efdc. 14 / 19 ()过 d作 dgef,垂足为 g,由()知 dg平面 abef. 以 g 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 g-xyz. 由()知dfe为二面角 d-af-e 的平面角 , 故dfe

19、=60,则|df|=2,|dg|=3, 可得 a(1,4,0),b(-3,4,0),e(-3,0,0),d(0,0,3). 由已知,abef,所以 ab平面 efdc. 又平面 abcd平面 efdc=cd, 故 abcd,cdef. 由 beaf,可得 be平面 efdc, 所以cef 为二面角 c-be-f 的平面角,cef=60. 从而可得 c(-2,0,3). 所以 =(1,0,3), =(0,4,0), =(-3,-4,3), =(-4,0,0), 设 n=(x,y,z)是平面 bce 的法向量 , 则 = 0, = 0,即 + 3 = 0,4 = 0. 所以可取 n=(3,0,-3

20、). 设 m 是平面 abcd的法向量 ,则 = 0, = 0, 同理可取 m=(0,3,4), 则 cos=|=-21919. 故二面角 e-bc-a 的余弦值为-21919. 15 / 19 (19)解 ()由柱状图 并以频率代替概率 可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2. 从而 p(x=16)=0.20.2=0.04; p(x=17)=20.20.4=0.16; p(x=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; p(x=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; p(x=20)=20.20.4+0.20.

21、2=0.2; p(x=21)=20.20.2=0.08; p(x=22)=0.20.2=0.04. 所以 x的分布列为 x 16 17 18 19 20 21 22 p 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 ()由()知 p(x18)=0.44,p(x19)=0.68,故 n的最小值为 19. ()记 y 表示 2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 n=19 时 , ey=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. 当 n=20 时 , ey=202000.88

22、+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19. (20)解 ()因为|ad|=|ac|,ebac,故ebd=acd=adc. 所以|eb|=|ed|,故|ea|+|eb|=|ea|+|ed|=|ad|. 又圆 a的标准方程 为(x+1)2+y2=16, 16 / 19 从而|ad|=4, 所以|ea|+|eb|=4. 由题设得 a(-1,0),b(1,0),|ab|=2, 由椭圆定义 可得点 e 的轨迹方程为:24+23=1(y0). ()当 l与 x轴不垂直时,设 l

23、的方程为 y=k(x-1)(k0),m(x1,y1),n(x2,y2), 由 = (-1),24+23= 1 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 则 x1+x2=8242+3,x1x2=42-1242+3, 所以|mn|=1 + 2|x1-x2|=12(2+1)42+3. 过点 b(1,0)且与 l垂直的直线 m:y=-1(x-1),a到 m 的距离为22+1, 所以|pq|=242-(22+1)2=442+32+1. 故四边形 mpnq的面积 s=12|mn|pq|=121 +142+3. 可得当 l与 x 轴不垂直 时,四边形 mpnq面积的取值范围为(12,83). 当

24、l与 x 轴垂直 时,其方程为 x=1,|mn|=3,|pq|=8,四边形 mpnq的面积为 12. 综上,四边形 mpnq面积的取值范围为12,83). (21)解 ()f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ()设 a=0 ,则 f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. 17 / 19 ()设 a0 ,则当 x(-,1)时,f(x)0, 所以 f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增. 又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b0且 b2(b-2)+a(b-1)2=a(2-32)0, 故 f(x)存在两个零点. ()设 a0, 因此 f(x)在(1,+)单调递增. 又当 x1时,f(x)0,所以 f(x)不存在两个零点. 若 a1, 故当 x(1,ln(-2a)时,f(x)0. 因此 f(x)在(1,ln(-2a)单调递减, 在(ln(-2a),+)单调递增. 又当 x1时 f(x)0,所以 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+). ()不妨设 x1x2 ,由()知,x1(-,1),x2(1,+