2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)

1、1 / 16 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(北京卷,文) 本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共 40分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 a=x|x|2,b=-2,0,1,2,则 ab= a.0,1 b.-1,0,1 c.-2,0,1,2 d.-1,0,1,2 2.在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于 a.第一象限

2、b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 3. 2 / 16 执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 a.12 b.56 c.76 d.712 4.设 a,b,c,d 是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 5.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 212.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的

3、频率为 a. 23f b. 223f c. 2512f d. 2712f 6.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 a.1 b.2 c.3 d.4 7. 3 / 16 在平面直角坐标系中,是圆 x2+y2=1 上的四段弧(如图),点 p 在其中一段上,角 以 ox为始边,op为终边.若 tan cos 4,x-ay2,则 a.对任意实数 a,(2,1)a b.对任意实数 a,(2,1)a c.当且仅当 ab,则10)的离心率为52,则 a= . 13.若 x,y满足 x+1y2x,则 2y-x的最小值是 . 14.若abc的面积为34(a2+c2-b2),且c 为钝

4、角,则b= ;的取值范围是 . 4 / 16 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13分) 设an是等差数列,且 a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求e1+ e2+e. 16.(本小题 13分) 已知函数 f(x)=sin2x+3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间-3,上的最大值为32,求 m 的最小值. 5 / 16 17.(本小题 13分) 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类

5、 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化,假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加 0.1,哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结

6、论) 18.(本小题 14分) 6 / 16 如图,在四棱锥 p-abcd中,底面 abcd为矩形,平面 pad平面 abcd,papd,pa=pd,e,f分别为ad,pb 的中点. (1)求证:pebc; (2)求证:平面 pab平面 pcd; (3)求证:ef平面 pcd. 19.(本小题 13分) 设函数 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex. (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为 0,求 a; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极小值,求 a的取值范围. 7 / 16 20.(本小题 14分) 已知椭圆 m:22+22=1(ab0)的离心率为63,焦距

7、为 22.斜率为 k 的直线 l与椭圆 m有两个不同的交点 a,b. (1)求椭圆 m的方程; (2)若 k=1,求|ab|的最大值; (3)设 p(-2,0),直线 pa与椭圆 m的另一个交点为 c,直线 pb与椭圆 m的另一个交点为 d.若 c,d和点q(-74,14)共线,求 k. 8 / 16 (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 数学(北京卷,文) 1.a a=x|x|2=x|-2xsin ,排除 a;若 p在上,则 tan sin ,排除 b;若 p 在上,则 tan 0,cos 0,sin 4,2- 2,化简,得 32, 0.所以 a32. 所以当且仅当 a32时,(

8、2,1)a,故选 d. 9.-1 由题意,得 ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m). a(ma-b),a (ma-b)=0,即 m+1=0, m=-1. 10.(1,0) 由 = 1,2= 4,得 y= 2.由题意知 4=4,a=1.抛物线方程为 y2=4x,焦点坐标为(1,0). 11.2,-3(答案不唯一) 易知当 a0b 时,“若 ab,则12,0a6. 由正弦定理,得=sinsin=sin(23-)sin=sin23cos-cos23sinsin=32tan+12.0a3233+12,即(2,+). 15.解 (1)设等差数列an的公差为 d, a2+a3=5ln 2.

9、 2a1+3d=5ln 2, 又 a1=ln 2,d=ln 2. 11 / 16 an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)由(1)知 an=nln 2. e=enln 2=eln 2=2n, e是以 2为首项,2 为公比的等比数列. e1+ e2+e =2+22+2n =2n+1-2. e1+ e2+e=2n+1-2. 16.解 (1)因为 f(x)=1-cos22+32sin 2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin(2-6) +12,所以 f(x)的最小正周期为 t=22=. (2)由(1)知 f(x)=sin(2-6) +12. 因为 x-3, 所以 2x-6 -56

10、,2-6. 要使 f(x)在-3,上的最大值为32, 即 y=sin(2-6)在-3,上的最大值为 1. 所以 2m-62,即 m3. 所以 m的最小值为3. 17.解 (1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2 000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50, 12 / 16 故所求概率为502 000=0.025. (2)(方法一)由题意知,样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1 =56+10+45+50+160+51 =372. 故估计所求概率为 1-37

11、22 000=0.814. (方法二)设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 b. 没有获得好评的电影共有 1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1 628(部). 由古典概型概率公式,得 p(b)=1 6282 000=0.814. (3)第五类电影的好评率增加 0.1,第二类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大. 18.证明 (1)pa=pd,且 e为 ad的中点, pead. 底面 abcd为矩形,bcad, pebc. (2)底面 abcd为矩形,abad. 平面 pad平面

12、 abcd,ab平面 pad. abpd.又 papd,paab=a, pd平面 pab.pd平面 pcd,平面 pab平面 pcd. (3)如图,取 pc的中点 g,连接 fg,gd. 13 / 16 f,g分别为 pb 和 pc 的中点,fgbc,且 fg=12bc. 四边形 abcd为矩形,且 e为 ad的中点, edbc,ed=12bc, edfg,且 ed=fg,四边形 efgd 为平行四边形, efgd. 又 ef平面 pcd,gd平面 pcd, ef平面 pcd. 19.解 (1)因为 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex, 所以 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex

13、. 所以 f(2)=(2a-1)e2. 由题设知 f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得 a=12. (2)(方法一)由(1)得 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex. 若 a1,则当 x(1,1)时,f(x)0. 所以 f(x)在 x=1处取得极小值. 若 a1,则当 x(0,1)时,ax-1x-10. 所以 1 不是 f(x)的极小值点. 14 / 16 综上可知,a 的取值范围是(1,+). (方法二)由(1)得 f(x)=(ax-1)(x-1)ex. 当 a=0 时,令 f(x)=0,得 x=1. f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x (-

14、,1) 1 (1,+) f(x) + 0 - f(x) 极大值 f(x)在 x=1处取得极大值,不合题意. 当 a0 时,令 f(x)=0,得 x1=1,x2=1. 当 x1=x2,即 a=1 时,f(x)=(x-1)2ex0, f(x)在 r 上单调递增, f(x)无极值,不合题意. 当 x1x2,即 0a1 时,f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x (-,1) 1 (1,1a) 1a (1a,+ ) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 f(x)在 x=1处取得极大值,不合题意. 当 x11 时,f(x),f(x)随 x的变化情况如下表: 15 / 16 x

15、(-,1a) 1a (1a,1) 1 (1,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 f(x)在 x=1处取得极小值,即 a1 满足题意. 当 a0,即 m24. 16 / 16 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 x1+x2=-32,x1x2=32-34, 所以|ab|=1 + 2|x1-x2|=1 + 2(1+ 2)2-412=64-22, 易得当 m2=0 时,|ab|max=6,故|ab|的最大值为6. (3)设 a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),d(x4,y4), 则12+312=3,22+322=3. 又 p(-2,0),所以可设 k1=kpa=11+2,直线 pa 的方程为 y=k1(x+2). 由 = 1( + 2),23+ 2= 1消去 y可得(1+312)x2+1212x+1212-3=0