2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷)3

1、1 / 16 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2017 全国 3,理 1)已知集合 a=(x,y)|x2+y2=1,b=(

2、x,y)|y=x,则 ab 中元素的个数为( ) a.3 b.2 c.1 d.0 解析 a表示圆 x2+y2=1上所有点的集合,b表示直线 y=x 上所有点的集合,易知圆 x2+y2=1与直线y=x 相交于两点(22,22),(-22,-22),故 ab中有 2个元素. 答案 b 2.(2017 全国 3,理 2)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) a.12 b.22 c.2 d.2 解析由题意,得 z=2i1+i=1+i,故|z|=12+ 12= 2. 答案 c 2 / 16 3.(2017 全国 3,理 3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了

3、2014 年 1月至 2016 年 12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( ) a.月接待游客量逐月增加 b.年接待游客量逐年增加 c.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 d.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7月至 12月,波动性更小,变化比较平稳 解析由题图可知 2014年 8月到 9 月的月接待游客量在减少,故 a错误. 答案 a 4.(2017 全国 3,理 4)(x+y)(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为( ) a.-80 b.-40 c.40 d.80 解析(2x-y)5的展开式的通项公式 tr+

4、1=c5(2x)5-r(-y)r. 当 r=3时,x(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为c53 22 (-1)3=-40; 当 r=2时,y(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为c52 23 (-1)2=80. 故展开式中 x3y3的系数为 80-40=40. 答案 c 5.(2017 全国 3,理 5)已知双曲线 c:2222=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=52x,且与椭圆212+23=1有公共焦点,则 c的方程为( ) a.28210=1 b.2425=1 c.2524=1 d.2423=1 3 / 16 解析由题意得=52,c=3. 又 a2+b2=c2,所以 a2=

5、4,b2=5, 故 c 的方程为2425=1. 答案 b 6.(2017 全国 3,理 6)设函数 f(x)=cos(x+3),则下列结论错误的是( ) a.f(x)的一个周期为-2 b.y=f(x)的图像关于直线 x=83对称 c.f(x+)的一个零点为 x=6 d.f(x)在(2,)单调递减 解析由 f(x)=cos( +3)的解析式知-2是它的一个周期,故 a正确; 将 x=83代入 f(x)=cos( +3),得 f(83)=-1,故 y=f(x)的图像关于直线 x=83对称,故 b 正确; f(x+)=cos( +43),当 x=6时,f(x+)=cos(6+43)=0,故 c正确;

6、 当 x(2,)时,x+3 (56,43),显然 f(x)先单调递减再单调递增,故 d 错误. 答案 d 7.(2017 全国 3,理 7) 执行右面的程序框图,为使输出 s 的值小于 91,则输入的正整数 n的最小值为( ) 4 / 16 a.5 b.4 c.3 d.2 解析程序运行过程如下表所示: s m t 初始状态 0 100 1 第 1 次循环结束 100 -10 2 第 2 次循环结束 90 1 3 此时 s=90b0)的左、右顶点分别为 a1,a2,且以线段 a1a2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 c的离心率为( ) a.63 b.33 c.23 d.13 解

7、析以线段 a1a2为直径的圆的方程是 x2+y2=a2. 因为直线 bx-ay+2ab=0与圆 x2+y2=a2相切, 所以圆心到该直线的距离 d=22+2=a, 整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2), 所以22=23,从而 e=63.故选 a. 答案 a 11.(2017 全国 3,理 11)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=( ) a.-12 b.13 c.12 d.1 解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1) =x2-4x+4-4+2x

8、+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=f(x),即 x=1为 f(x)图像的对称轴. 6 / 16 f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为 1, 即 f(1)=12-2 1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a=12. 答案 c 12.(2017 全国 3,理 12)在矩形 abcd中,ab=1,ad=2,动点 p在以点 c 为圆心且与 bd 相切的圆上.若 = + ,则 +的最大值为( ) a.3 b.22 c.5 d.2 解析建立如图所示的平面直角坐标系, 则 a(0,1),b(0,0),d(2,1). 设 p(x,y),由|bc| |

9、cd|=|bd| r,得 r=|=215=255, 即圆的方程是(x-2)2+y2=45. 易知 =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0). 由 = + , 得 = 2,-1 = -,所以 =2,=1-y, 所以 +=12x-y+1. 设 z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0. 因为点 p(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上, 7 / 16 所以圆心 c到直线12x-y+1-z=0 的距离 dr, 即|2-|14+1255,解得 1z3, 所以 z的最大值是 3,即 + 的最大值是 3,故选 a. 答案 a 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13.(

10、2017 全国 3,理 13)若 x,y 满足约束条件- 0, + -2 0, 0,则 z=3x-4y的最小值为 . 解析画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点 a(1,1)处取得最小值 z=3 1-4 1=-1. 答案-1 14.(2017 全国 3,理 14)设等比数列an满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4= . 解析设an的公比为 q,则由题意,得1(1 + ) = -1,1(1-2) = -3,解得1= 1, = -2,故 a4=a1q3=-8. 答案-8 15.(2017 全国 3,理 15)设函数 f(x)= + 1, 0,2, 0,

11、则满足 f(x)+f(x-12)1 的 x 的取值范围是 . 解析f(x)= + 1, 0,2, 0,f(x)+f(-12)1, 即 f(-12)1-f(x),利用图像变换,在同一平面直角坐标系中画出 y=f(-12)与 y=1-f(x)的图像,如图所示. 8 / 16 由数形结合可知,满足 f(-12)1-f(x)的解为(-14, + ). 答案(-14, + ) 16.(2017 全国 3,理 16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 abc的直角边 ac 所在直线与 a,b都垂直,斜边 ab以直线 ac 为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线 ab 与 a成 60角时,ab 与

12、 b成 30角; 当直线 ab 与 a成 60角时,ab 与 b成 60角; 直线 ab与 a所成角的最小值为 45; 直线 ab与 a所成角的最大值为 60. 其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 解析由题意,ab是以 ac 为轴,bc为底面半径的圆锥的母线,由 aca,acb,得 ac圆锥底面,在底面内可以过点 b,作 bda,交底面圆 c于点 d,如图所示,连接 de,则 debd,deb.连接 ad,在等腰三角形 abd中,设 ab=ad=2,当直线 ab与 a成 60角时,abd=60,故 bd=2.又在 rtbde中,be=2,de=2,过点 b作 bfde,交圆 c于点 f

13、,连接 af,由圆的对称性可知 bf=de=2,abf 为等边三角形,abf=60,即 ab 与 b成 60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线 a平面 abc,直线 ab 与 a 所成的最大角为 90,错误.故正确的说法为. 答案 9 / 16 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(2017 全国 3,理 17)(12分) abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c.已知 sin a+3cos a=0,

14、a=27,b=2. (1)求 c; (2)设 d 为 bc边上一点,且 adac,求abd 的面积. 解(1)由已知可得 tan a=-3,所以 a=23. 在abc中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos23, 即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得cad=2, 所以bad=bac-cad=6.故abd面积与acd面积的比值为12sin612=1. 又abc的面积为12 4 2sinbac=23,所以abd 的面积为3. 18.(12分)(2017 全国 3,理 18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4元,售价每瓶 6元,未

15、售出的酸奶降价处理,以每瓶 2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为 300瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 x(单位:瓶)的分布列; 10

16、 / 16 (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位:瓶)为多少时,y 的数学期望达到最大值? 解(1)由题意知,x 所有可能取值为 200,300,500,由表格数据知p(x=200)=2+1690=0.2,p(x=300)=3690=0.4,p(x=500)=25+7+490=0.4. 因此 x的分布列为 x 200 300 500 p 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为 500,至少为 200,因此只需考虑 200n500. 当 300n500 时, 若最高气温不低于 25,则 y=6n-4n=2n;

17、若最高气温位于区间20,25), 则 y=6 300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于 20, 则 y=6 200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此 ey=2n 0.4+(1 200-2n) 0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n. 当 200n300时, 若最高气温不低于 20,则 y=6n-4n=2n; 若最高气温低于 20, 则 y=6 200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此 ey=2n (0.4+0.4)+(800-2n) 0.2=160+1.2n. 所以 n=300 时,y 的数学期望达到最大值,最大值为 520 元.

18、19.(12分)(2017 全国 3,理 19) 11 / 16 如图,四面体 abcd中,abc是正三角形,acd 是直角三角形,abd=cbd,ab=bd. (1)证明:平面 acd平面 abc; (2)过 ac的平面交 bd于点 e,若平面 aec把四面体 abcd 分成体积相等的两部分,求二面角 d-ae-c的余弦值. 解(1)由题设可得,abdcbd,从而 ad=dc. 又acd 是直角三角形,所以adc=90. 取 ac的中点 o,连接 do,bo,则 doac,do=ao. 又由于abc是正三角形,故 boac. 所以dob为二面角 d-ac-b的平面角. 在 rtaob中,bo

19、2+ao2=ab2, 又 ab=bd, 所以 bo2+do2=bo2+ao2=ab2=bd2, 故dob=90.所以平面 acd平面 abc. (2)由题设及(1)知,oa,ob,od两两垂直,以 o为坐标原点, 的方向为 x轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz. 12 / 16 则 a(1,0,0),b(0,3,0),c(-1,0,0),d(0,0,1). 由题设知,四面体 abce的体积为四面体 abcd的体积的12,从而 e到平面 abc 的距离为 d 到平面 abc 的距离的12,即 e为 db 的中点,得 e(0,32,12). 故 =(-1,0,1),

20、 =(-2,0,0), = (-1,32,12). 设 n=(x,y,z)是平面 dae 的法向量, 则 = 0, = 0,即- + = 0,- +32 +12 = 0. 可取 n=(1,33,1). 设 m 是平面 aec 的法向量,则 = 0, = 0. 同理可取 m=(0,-1,3). 则 cos=|=77. 所以二面角 d-ae-c的余弦值为77. 20.(12分)(2017 全国 3,理 20)已知抛物线 c:y2=2x,过点(2,0)的直线 l交 c 于 a,b 两点,圆 m 是以线段ab 为直径的圆. (1)证明:坐标原点 o 在圆 m 上; (2)设圆 m 过点 p(4,-2)

21、,求直线 l与圆 m 的方程. 解(1)设 a(x1,y1),b(x2,y2),l:x=my+2. 由 = + 2,2= 2可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4. 又 x1=122,x2=222,故 x1x2=(12)24=4. 13 / 16 因此 oa 的斜率与 ob 的斜率之积为1122=-44=-1, 所以 oaob.故坐标原点 o在圆 m 上. (2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心 m的坐标为(m2+2,m),圆 m 的半径 r=(2+ 2)2+ 2. 由于圆 m过点 p(4,-2),因此 =0, 故(x1-4)(x2

22、-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4. 所以 2m2-m-1=0,解得 m=1或 m=-12. 当 m=1时,直线 l的方程为 x-y-2=0,圆心 m的坐标为(3,1),圆 m的半径为10,圆 m 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当 m=-12时,直线 l的方程为 2x+y-4=0,圆心 m 的坐标为(94,-12),圆 m的半径为854,圆 m 的方程为(-94)2+ ( +12)2=8516. 21.(12分)(2017 全国 3,理 21)已知函数 f(x)

23、=x-1-aln x. (1)若 f(x)0,求 a的值; (2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+12)(1+122)(1+12)m,求 m 的最小值. 解(1)f(x)的定义域为(0,+). 若 a0,因为 f(12)=-12+aln 20,由 f(x)=1-=-知,当 x(0,a)时,f(x)0. 14 / 16 所以 f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+)单调递增. 故 x=a是 f(x)在(0,+)的唯一最小值点. 由于 f(1)=0,所以当且仅当 a=1 时,f(x)0. 故 a=1. (2)由(1)知当 x(1,+)时,x-1-ln x0. 令 x=1+12得 ln(1 +12) 12. 从而 ln(1 +12)+ln(1 +122)+ln(1 +12) 12+122+12=1-121. 故(1 +12)(1 +122)(1 +12)2,所以 m的最小值为 3. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(10分)(2017 全国 3,理 22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,直线 l1的参数方程为