2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷)

1、1 / 14 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(天津卷,文) 本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第卷 1 至2 页,第卷 2 至 4 页. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第卷 注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 8 小

2、题,每小题 5分,共 40分. 参考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 棱柱的体积公式 v=sh,其中 s表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 v=13sh,其中 s表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 a=1,2,3,4,b=-1,0,2,3,c=xr|-1x8”是“|x|2”的 a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 20,则输出 t的值为 a.1 b.2

3、 c.3 d.4 5.已知 a=log372,b=(14)13,c=log1315,则 a,b,c 的大小关系为 a.abc b.bac 3 / 14 c.cba d.cab 6.将函数 y=sin(2 +5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数 a.在区间-4,4上单调递增 b.在区间-4,0上单调递减 c.在区间4,2上单调递增 d.在区间2,上单调递减 7.已知双曲线2222=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 a,b两点.设 a,b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为 a.2329=1

4、 b.2923=1 c.24212=1 d.21224=1 8. 在如图的平面图形中,已知 om=1,on=2,mon=120 , =2 , =2 ,则 的值为 a.-15 b.-9 c.-6 d.0 第卷 4 / 14 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30分. 9.i是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 10.已知函数 f(x)=exln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 . 11. 如图,已知正方体 abcd-a1b1c1d1的棱长为 1,则四棱

5、锥 a1-bb1d1d 的体积为 . 12.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 13.已知 a,br,且 a-3b+6=0,则 2a+18的最小值为 . 14.已知 ar,函数 f(x)=2+ 2 + -2, 0,-2+ 2-2, 0.若对任意 x-3,+),f(x)|x|恒成立,则 a 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13分) 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱

6、心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的 7 名同学分别用 a,b,c,d,e,f,g表示,现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 5 / 14 设 m 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”,求事件 m发生的概率. 16.(本小题满分 13分) 在abc中,内角 a,b,c 所对的边分别为 a,b,c,已知 bsin a=acos(-6). (1)求角 b的大小; (2)设 a=2,c=3,求 b和 sin(2a-b)的值. 17.(本小题满分 13分) 6 / 14 如图,在四面体 abcd中,

7、abc是等边三角形,平面 abc平面 abd,点 m 为棱 ab 的中点,ab=2,ad=23,bad=90 . (1)求证:adbc; (2)求异面直线 bc与 md 所成角的余弦值; (3)求直线 cd与平面 abd 所成角的正弦值. 18.(本小题满分 13分) 设an是等差数列,其前 n项和为 sn(nn*);bn是等比数列,公比大于 0,其前 n项和为 tn(nn*).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求 sn和 tn; (2)若 sn+(t1+t2+tn)=an+4bn,求正整数 n 的值. 7 / 14 19.(本小题满分 14分) 设

8、椭圆22+22=1(ab0)的右顶点为 a,上顶点为 b.已知椭圆的离心率为53,|ab|=13. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆交于 p,q两点,l与直线 ab 交于点 m,且点 p,m均在第四象限.若bpm的面积是bpq面积的 2倍,求 k 的值. 20.(本小题满分 14分) 设函数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中 t1,t2,t3r,且 t1,t2,t3是公差为 d的等差数列. (1)若 t2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若 d=3,求 f(x)的极值; (3)若曲线 y=f(x)与直线

9、y=-(x-t2)-63有三个互异的公共点,求 d 的取值范围. 8 / 14 数学(天津卷,文) 1.c a=1,2,3,4,b=-1,0,2,3,ab=-1,0,1,2,3,4.又 c=xr|-1x8,得 x2.由|x|2,得 x2 或 x8 可以推出|x|2,而由|x|2不能推出 x38,所以 x38 是|x|2 的充分而不必要条件. 4.b 输入 n=20,i=2,t=0,此时202=10 是整数,t=1,i=3,不满足 i5;此时203不是整数,i=4,不满足i5;此时204=5 是整数,t=2,i=5,满足 i5,输出 t=2. 5.d a=log372log33=1,b=(14)

10、13b. 9 / 14 c=log1315=log35,a=log372,ca.cab. 6.a 将函数 y=sin(2 +5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2(-10) +5=sin 2x, 该函数在-4+ ,4+ (kz)上单调递增,在4+ ,34+ (kz)上单调递减,结合选项可知选 a. 7.a 由双曲线的对称性,不妨取渐近线 y=x.如图,|ad|=d1,|bc|=d2,过点 f作 fecd于点 e. 由题易知 ef 为梯形 abcd的中位线, 所以|ef|=12(d1+d2)=3. 又因为点 f(c,0)到直线 y=x 的距离为|-0|2+2=b

11、,所以 b=3,b2=9. 因为 e=2,a2+b2=c2,所以 a2=3,所以双曲线方程为2329=1,故选 a. 8.c 连接 mn, =2 , =2 , =3 , =3 . = =3( )=3 =3( ). om=1,on=2,mon=120 , =3( ) =3( -| |2) 10 / 14 =32 1 (-12)-1=-6. 9.4-i 6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=6-12i+7i+145=4-i. 10.e f(x)=exln x,f(x)=exln x+e. f(1)=eln 1+e1=e. 11.13 正方体 abcd-a1b1c1d1

12、的棱长为 1, 四棱锥1-11=v正方体-三棱锥1- 三棱柱-111 =1-1312111-12111=13. 12.x2+y2-2x=0 设点 o,a,b 的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则 ao=ab,所以点 a在线段 ob 的垂直平分线上.又因为 ob为该圆的一条弦,所以圆心在线段 ob的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得 y=0,所以该圆的半径为 1,其方程为(x-1)2+y2=1,即 x2+y2-2x=0. 13.14 a-3b+6=0,a-3b=-6.a,br,2a0,180. 2a+1822-3=22-6=14,当且仅当 2a

13、=18,即 a=-3,b=1 时取等号. 14.18,2 当 x0 时,f(x)|x|可化为-x2+2x-2ax,即(-12)2+2a-140,所以 a18; 当-3x0时,f(x)|x|可化为 x2+2x+a-2-x,即 x2+3x+a-20.对于函数 y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为 x=-32.因为当-3x0时,y0,所以当 x=0 时,y0,即 a-20,所以 a2. 综上所述,a 的取值范围为18,2. 15.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3人

14、,2 人,2人. (2)从抽出的 7名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 11 / 14 a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,a,g,b,c,b,d,b,e,b,f,b,g,c,d,c,e,c,f,c,g,d,e,d,f,d,g,e,f,e,g,f,g,共 21 种. 由(1),不妨设抽出的 7 名同学中,来自甲年级的是 a,b,c,来自乙年级的是 d,e,来自丙年级的是f,g,则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为a,b,a,c,b,c,d,e,f,g,共 5 种. 所以,事件 m 发生的概率 p(m)=521. 16.解 (1)在abc中,由

15、正弦定理sin=sin,可得 bsin a=asin b.又由 bsin a=acos(-6),得 asin b=acos(-6),即 sin b=cos(-6),可得 tan b=3.又因为 b(0,),所以 b=3. (2)在abc中,由余弦定理及 a=2,c=3,b=3,有 b2=a2+c2-2accos b=7,故 b=7. 由 bsin a=acos(-6),可得 sin a=37.因为 a0,可得 q=2,故bn=2n-1.所以,tn=1-21-2=2n-1. 设等差数列an的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16

16、,从而a1=1,d=1,故 an=n.所以,sn=(+1)2. (2)由(1),有 t1+t2+tn=(21+22+2n)-n=2(1-2)1-2-n=2n+1-n-2. 由 sn+(t1+t2+tn)=an+4bn可得,(+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4. 所以,n 的值为 4. 19.解 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有22=59.又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由|ab|=2+ 2= 13,从而 a=3,b=2. 所以,椭圆的方程为29+24=1. 13 / 14 (2)设点 p的坐标为(x1,y1),

17、点 m的坐标为(x2,y2),由题意,x2x10,点 q的坐标为(-x1,-y1).由bpm的面积是bpq面积的 2倍,可得|pm|=2|pq|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1. 易知直线 ab 的方程为 2x+3y=6,由方程组2 + 3 = 6, = ,消去 y,可得 x2=63+2.由方程组29+24= 1, = ,消去 y,可得 x1=692+4.由 x2=5x1,可得92+ 4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得 k=-89,或 k=-12.当 k=-89时,x2=-91时,令 g(x)=0,解得 x1=-2-13,x2=2-13. 易得,g(x)在(-,x1)上单调递增,在x1,x2上单调递减,在(x2,+)上单调递增. g(x)的极大值 g(x1)=g(-2-13) =23(2