2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(天津卷)

1、1 / 15 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 天津文科数学 1.(2016 天津,文 1)已知集合 a=1,2,3,b=y|y=2x-1,xa,则 ab=( ) a.1,3 b.1,2 c.2,3 d.1,2,3 答案 a 由题意知,当 x=1时,y=21-1=1;当 x=2 时,y=3;当 x=3时,y=5.因此,集合 b=1,3,5 .故ab=1,3. 2.(2016 天津,文 2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为( ) a.56 b.25 c.16 d.13 答案 a 令 a=“甲、乙下成和棋”,b=“

2、甲获胜”,c=“甲输”,则=“甲不输”. p(a)=12,p(b)=13,p(c)=1-1213=16 . p()=1-16=56. 故甲不输的概率为56. 3.(2016 天津,文 3) 2 / 15 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为 ( ) 答案 b 由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示: 易知其左视图为 b 项中图.故选 b. 4.(2016 天津,文 4)已知双曲线2222=1(a0,b0)的焦距为 25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( ) a.24-y

3、2=1 b.x2-24=1 c.3220325=1 d.3253220=1 答案 a 双曲线2222=1(a0,b0)的焦距为 25, c=5 . 又该双曲线的渐近线与直线 2x+y=0垂直,渐近线方程为 y=12x . =12 ,即 a=2b. a2=4b2.c2-b2=4b2.c2=5b2. 5=5b2.b2=1. 3 / 15 a2=c2-b2=5-1=4. 故所求双曲线的方程为24-y2=1. 5.(2016 天津,文 5)设 x0,yr,则“xy”是“x|y|”的 ( ) a.充要条件 b.充要而不必要条件 c.必要而不充分条件 d.既不充分也不必要条件 答案 c 当 x=1,y=-

4、2,1-2,但 1y x|y| ,xy不是 x|y|的充分条件.对于 x|y|,若y0 ,则 x|y|xy;若 y0,则 xy,x|y|xy .xy是 x|y|的必要条件.“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件.故选 c. 6.(2016 天津,文 6)已知 f(x)是定义在 r 上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数 a满足 f(2|a-1|)f(-2),则 a的取值范围是( ) a.(-,12) b.(-,12) (32, + ) c.(12,32) d.(32, + ) 答案 c f(x)是定义在 r 上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减

5、. 由 f(2|a-1|)f(-2)=f(2) 可得 2|a-1|2 = 212. |a-1|12.-12a-112,即12a0),xr.若 f(x)在区间(,2)内没有零点,则 的取值范围是( ) a.(0,18 b.(0,14 58,1) c.(0,58 d.(0,18 14,58 答案 d f(x)=1-cos2+12sin x-12=12sin x-12cos x=22sin(-4). 5 / 15 由 f(x)=0 ,得 x-4=k,kz,x=+4,kz. f(x)在区间(,2)内没有零点, 有22-= ,且+4 ,(+1)+4 2, 由2,得 t2,00,018; 当 k=0时,1

6、458; 当 k-2 或 k1,kz 时,不满足 00),则|2|5=455a=2.又点 m(0,5)在圆 c上,则圆 c 的半径r=22+ 5=3.故圆 c的方程为(x-2)2+y2=9. 13.(2016 天津,文 13)如图,ab 是圆的直径,弦 cd与 ab相交于点 e,be=2ae=2,bd=ed,则线段 ce 的长为 . 答案233 解析 7 / 15 设 ce=x,如图,连接 ac,bc,ad,则由相交弦定理 得 de ce=ae be,de=2,又 bd=de=2,所以ac=ae=1.因为 ab是直径,所以 bc=32-12=22,ad=9-42.由题意可知,bcedae,则=

7、,即229-42=1,解得 x=233. 14.(2016 天津,文 14)已知函数 f(x)=2+ (4-3) + 3, 0,且 a1)在 r 上单调递减,且关于 x的方程|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是 . 答案13,23) 解析由函数 f(x)在 r 上单调递减可得0 1,3-42 0,3 (0) = 1,解得13a34. 当 x0 时,由 f(x)=0得 x0=1-1. 又a13,1-12,即 x0(0,2. 如图,作出 y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当 x0 时,方程|f(x)|=2-3只有一解. 当 x0 时,解得 a1712或

8、a23. 又a13,34,a13,23). 方程有一负根 x0和一零根,则有 x0 0=3a-2=0,解得 a=23. 显然与 a23矛盾. 方程有一正根 x1和一负根 x2, 则有 x1 x2=3a-20,解得 a3)的右焦点为 f,右顶点为 a.已知1|+1|=3|,其中 o为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 a 的直线 l与椭圆交于点 b(b不在 x轴上),垂直于 l的直线与 l交于点 m,与 y轴交于点 h.若 bfhf,且moa=mao,求直线 l的斜率. 解(1)设 f(c,0).由1|+1|=3|,即1+1=3(-),可得 a2-c2=3c2, 又

9、a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4. 所以,椭圆的方程 为24+23=1. (2)设直线 l的斜率为 k(k0),则直线 l的方程为 y=k(x-2).设 b(xb,yb),由方程组24+23= 1, = (-2)消去 y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得 x=2,或 x=82-642+3,由题意得 xb=82-642+3,从而 yb=-1242+3. 13 / 15 由(1)知,f(1,0),设 h(0,yh),有 =(-1,yh), = (9-4242+3,1242+3).由 bfhf,得 =0,所以42-942+3+1242+3=0,解得

10、 yh=9-4212.因此直线 mh的方程为 y=-1x+9-4212. 设 m(xm,ym),由方程组 = (-2), = -1 +9-4212消去 y,解得 xm=202+912(2+1).在mao中,moa=mao|ma|=|mo|,即(xm-2)2+2= 2+ 2,化简得 xm=1,即202+912(2+1)=1,解得 k=-64,或 k=64. 所以,直线 l的斜率 为-64或64. 20.(2016 天津,文 20)设函数 f(x)=x3-ax-b,xr,其中 a,br. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1x0

11、,求证:x1+2x0=0; (3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于14. (1)解由 f(x)=x3-ax-b,可得 f(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论: 当 a0 时,有 f(x)=3x2-a0恒成立. 所以 f(x)的单调递增区间 为(-,+). 当 a0时,令 f(x)=0,解得 x=33,或 x=-33. 当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x ( -, -3a3 ) -3a3 (-3a3, 3a3) 3a3 (3a3,+ ) f(x) + 0 - 0 + f(x) 单调 递增 极大值 单调递减 极小值 单调递

12、增 14 / 15 所以 f(x)的单调递减区间 为(-33,33),单调 递增区间 为(-,-33),(33, + ). (2)证明因为 f(x)存在极值点 ,所以由(1)知 a0,且 x00.由题意,得 f(x0)=302-a=0,即02=3,进而f(x0)=03-ax0-b=-23x0-b. 又 f(-2x0)=-803+2ax0-b=-83x0+2ax0-b=-23x0-b=f(x0),且-2x0 x0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x1满足 f(x1)=f(x0),且 x1x0,因此 x1=-2x0. 所以 x1+2x0=0. (3)证明设 g(x)在区间-1,1上的最大值 为 m

13、,maxx,y表示 x,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论: 当 a3 时,-33-1133,由(1)知,f(x)在区间-1,1上单调递减,所以 f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(1),f(-1),因此 m=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b|=max|a-1+b|,|a-1-b|=-1 + , 0,-1-, 0. 所以 m=a-1+|b|2. 当34a3时,-233-1-33331233,由(1)和(2)知 f(-1)f(-233)=f(33),f(1)f(233)=f(-33), 所以 f(x)在区间-1,1上的取值范围为(33),(-33), 因此 m=max|(33)|,|(-33)| =max|-293-|,|293-| =max|293 + |,|293-| 15 / 15 =