2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷)2

1、1 / 13 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2017 全国 2,文 1)设集合 a=1,2,3,b=2

2、,3,4,则 ab=( ) a.1,2,3,4 b.1,2,3 c.2,3,4 d.1,3,4 解析因为 a=1,2,3,b=2,3,4,所以 ab=1,2,3,4,故选 a. 答案 a 2.(2017 全国 2,文 2)(1+i)(2+i)=( ) a.1-i b.1+3i c.3+i d.3+3i 解析(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i,故选 b. 答案 b 3.(2017 全国 2,文 3)函数 f(x)=sin(2x+3)的最小正周期为( ) a.4 b.2 c. d.2 2 / 13 解析由题意可知最小正周期 t=22=,故选 c. 答案 c 4.(2017 全国 2,文

3、 4)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( ) a.ab b.|a|=|b| c.ab d.|a|b| 解析由|a+b|=|a-b|,平方得 a2+2a b+b2=a2-2a b+b2,即 a b=0. 又 a,b 为非零向量,故 ab,故选 a. 答案 a 5.(2017 全国 2,文 5)若 a1,则双曲线22-y2=1 的离心率的取值范围是( ) a.(2,+) b.(2,2) c.(1,2) d.(1,2) 解析由题意得 e2=22=2+12=1+12. 因为 a1,所以 11+122.所以 1e0,解得 x4.故定义域为(-,-2)(4,+),易知 t=x2-2x-8

4、 在(-,-2)内单调递减,在(4,+)内单调递增.因为 y=ln t在 t(0,+)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数 f(x)的单调递增区间为(4,+).故选 d. 答案 d 9.(2017 全国 2,文 9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有 2 位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) 4 / 13 a.乙可以知道四人的成绩 b.丁可以知道四人的成绩 c.乙、丁可以知道对方的成绩 d.乙、丁可以知道自己的成绩 解析因为甲不知道自己的

5、成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选 d. 答案 d 10.(2017 全国 2,文 10) 执行右面的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 s=( ) a.2 b.3 c.4 d.5 解析程序框图运行如下: a=-1,s=0,k=1,进入循环, s=0+(-1) 1=-1,a=1,k=2; s=-1+1 2=1,a=-1,k=3; s=1+(-1) 3=-2,a=1,k=4; 5 / 13 s=-2+1 4=2,a

6、=-1,k=5; s=2+(-1) 5=-3,a=1,k=6; s=-3+1 6=3,a=-1,k=7, 此时退出循环,输出 s=3.故选 b. 答案 b 11.(2017 全国 2,文 11)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) a.110 b.15 c.310 d.25 解析由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示(表中点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数): 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1

7、) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 总共有 25 种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有 10种,故所求的概率为1025=25. 答案 d 12.(2017 全国 2,文 12)过抛物线 c:y2=4x的焦点 f,且斜率为3的直线交 c 于点 m(m 在 x 轴的上方),l为 c 的准线,点 n在 l上且 mnl,则 m到直线 nf的距离为( ) a.5 b.22 c.2

8、3 d.33 6 / 13 解析由题意可知抛物线的焦点 f(1,0),准线 l的方程为 x=-1,可得直线 mf:y=3(x-1),与抛物线 y2=4x联立,消去 y 得 3x2-10 x+3=0,解得 x1=13,x2=3. 因为 m 在 x 轴的上方,所以 m(3,23). 因为 mnl,且 n 在 l 上,所以 n(-1,23). 因为 f(1,0),所以直线 nf:y=-3(x-1). 所以 m 到直线 nf 的距离为|3(3-1)+23|(-3)2+12=23. 答案 c 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.(2017 全国 2,文 13)函数 f(x

9、)=2cos x+sin x 的最大值为 . 解析因为 f(x)=2cos x+sin x =5(25cos +15sin) =5sin(x+)(其中 tan =2), 所以 f(x)的最大值为5. 答案5 14.(2017 全国 2,文 14)已知函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= . 解析因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x). 又因为当 x(-,0)时,f(x)=2x3+x2, 所以 f(2)=-f(-2)=-2 (-8)+4=12. 答案 12 15.(2017 全国 2,文 15)长方体的长、宽、高分别为 3

10、,2,1,其顶点都在球 o 的球面上,则球 o 的表面积为. 7 / 13 解析由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球 o 的直径 2r,即 2r=32+ 22+ 12= 14,所以球 o 的表面积 s=4r2=14. 答案 14 16.(2017 全国 2,文 16)abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c,若 2bcos b=acos c+ccos a,则b=. 解析由题意和正弦定理,可得 2sin bcos b=sin acos c+sin ccos a=sin(a+c)=sin b,即 cos b=12.又因为b(0,),所以 b=3. 答案3 三、解答题:共 70 分。解答

11、应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(2017 全国 2,文 17)(12分)已知等差数列an的前 n 项和为 sn,等比数列bn的前 n 项和为 tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若 t3=21,求 s3. 解设an的公差为 d,bn的公比为 q,则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由 a2+b2=2得 d+q=3. (1)由 a3+b3=5,得 2d+q2=6. 联立和解得 = 3,

12、 = 0(舍去), = 1, = 2. 因此bn的通项公式为 bn=2n-1. (2)由 b1=1,t3=21得 q2+q-20=0, 解得 q=-5 或 q=4. 当 q=-5时,由得 d=8,则 s3=21. 8 / 13 当 q=4 时,由得 d=-1,则 s3=-6. 18.(2017 全国 2,文 18)(12分) 如图,四棱锥 p-abcd中,侧面 pad 为等边三角形且垂直于底面 abcd,ab=bc=12ad,bad=abc=90. (1)证明:直线 bc平面 pad; (2)若pcd 的面积为 27,求四棱锥 p-abcd 的体积. 解(1)在平面 abcd内,因为bad=a

13、bc=90,所以 bcad. 又 bc平面 pad,ad平面 pad,故 bc平面 pad. (2)取 ad的中点 m,连结 pm,cm. 由 ab=bc=12ad 及 bcad,abc=90得四边形 abcm为正方形,则 cmad. 因为侧面 pad为等边三角形且垂直于底面 abcd,平面 pad平面 abcd=ad, 所以 pmad,pm底面 abcd. 因为 cm底面 abcd,所以 pmcm. 设 bc=x,则 cm=x,cd=2x,pm=3x,pc=pd=2x. 取 cd的中点 n,连结 pn,则 pncd, 9 / 13 所以 pn=142x. 因为pcd的面积为 27, 所以12

14、 2x142x=27, 解得 x=-2(舍去),x=2. 于是 ab=bc=2,ad=4,pm=23. 所以四棱锥 p-abcd 的体积 v=132(2+4)2 23=43. 19.(2017 全国 2,文 19)(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下: 旧养殖法 新养殖法 (1)记 a 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”,估计 a 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; 10 / 13 箱产量50 kg 箱产量

15、50 kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附:, k2=(-)2(+)(+)(+)(+). 解(1)旧养殖法的箱产量低于 50 kg的频率为 (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) 5=0.62. 因此,事件 a的概率估计值为 0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 50 kg到 55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 45 kg 到 50 kg之间,

16、且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20.(2017 全国 2,文 20)(12分)设 o为坐标原点,动点 m 在椭圆 c:22+y2=1上,过 m作 x轴的垂线,垂足为 n,点 p 满足 = 2 . 11 / 13 (1)求点 p的轨迹方程; (2)设点 q在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 p 且垂直于 oq的直线 l过 c的左焦点 f. 解(1)设 p(x,y),m(x0,y0),则 n(x0,0), =(x-x0,y), =(0,y0). 由 = 2 得 x0=x,y0=22y.

17、因为 m(x0,y0)在 c 上,所以22+22=1. 因此点 p 的轨迹方程为 x2+y2=2. (2)由题意知 f(-1,0).设 q(-3,t),p(m,n), 则 =(-3,t), =(-1-m,-n), =3+3m-tn, =(m,n), =(-3-m,t-n). 由 =1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0. 所以 =0,即 . 又过点 p 存在唯一直线垂直于 oq, 所以过点 p且垂直于 oq的直线 l过 c的左焦点 f. 21.(2017 全国 2,文 21)(12分)设函数 f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论 f(x)的

18、单调性; (2)当 x0 时,f(x)ax+1,求 a的取值范围. 解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex. 令 f(x)=0得 x=-1-2,x=-1+2. 当 x(-,-1-2)时,f(x)0; 当 x(-1+2,+)时,f(x)0. 所以 f(x)在(-,-1-2),(-1+2,+)内单调递减,在(-1-2,-1+2)内单调递增. 12 / 13 (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex. 当 a1时,设函数 h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0), 因此 h(x)在0,+)内单调递减, 而 h(0)=1,故 h(x)1, 所以 f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.

19、当 0a0(x0), 所以 g(x)在0,+)内单调递增,而 g(0)=0, 故 exx+1. 当 0 x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取 x0=5-4-12,则 x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)ax0+1. 当 a0时,取 x0=5-12,则 x0(0,1),f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1. 综上,a 的取值范围是1,+). (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(2017 全国 2,文 22)选修 44:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲