2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理 (2)

1、浙江理科选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013浙江,理1)已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=(). a.-3+ib.-1+3ic.-3+3id.-1+i答案:b解析:(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i2=-1+3i,故选b.2.(2013浙江,理2)设集合s=x|x>-2,t=x|x2+3x-40,则(rs)t=().a.(-2,1b.(-,-4c.(-,1d.1,+)答案:c解析:由题意得t=x|x2+3x-40=x|-4x1.又s=x|x>-2,(rs)t=x

2、|x-2x|-4x1=x|x1,故选c.3.(2013浙江,理3)已知x,y为正实数,则().a.2lg x+lg y=2lg x+2lg yb.2lg(x+y)=2lg x·2lg yc.2lg x·lg y=2lg x+2lg yd.2lg(xy)=2lg x·2lg y答案:d解析:根据指数与对数的运算法则可知,2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故a错,b错,c错;d中,2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故选d.4.(2013浙江,理4)已知函数f(x)=acos(x+)(a>0,>0,

3、r),则“f(x)是奇函数”是“=2”的().a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件答案:b解析:若f(x)是奇函数,则=k+2,kz;若=2,则f(x)=acos(x+)=-asin x,显然是奇函数.所以“f(x)是奇函数”是“=2”的必要不充分条件.5.(2013浙江,理5)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则().a.a=4b.a=5c.a=6d.a=7答案:a解析:该程序框图的功能为计算1+11×2+12×3+1a(a+1)=2-1a+1的值,由已知输出的值为95,可知当a=4时2-1a+1=95.故选a.6.

4、(2013浙江,理6)已知r,sin +2cos =102,则tan 2=().a.43b.34c.-34d.-43答案:c解析:由sin +2cos =102得,sin =102-2cos .把式代入sin2+cos2=1中可解出cos =1010或31010,当cos =1010时,sin =31010;当cos =31010时,sin =-1010.tan =3或tan =-13,tan 2=-34.7.(2013浙江,理7)设abc,p0是边ab上一定点,满足p0b=14ab,且对于边ab上任一点p,恒有pb·pcp0b·p0c,则().a.abc=90°

5、b.bac=90°c.ab=acd.ac=bc答案:d解析:设pb=tab(0t1),pc=pb+bc=tab+bc,pb·pc=(tab)·(tab+bc)=t2ab2+tab·bc.由题意pb·pcp0b·p0c,即t2ab2+tab·bc14ab14ab+bc=142ab2+14ab·bc,即当t=14时pb·pc取得最小值.由二次函数的性质可知:-ab·bc2ab2=14,即:-ab·bc=12ab2,ab·12ab+bc=0.取ab中点m,则12ab+bc=mb+b

6、c=mc,ab·mc=0,即abmc.ac=bc.故选d.8.(2013浙江,理8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则().a.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值b.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值c.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值d.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值答案:c解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),f'(x)=xex-1,f'(1)=e-10,f(x)在x=1处不能取到极值;当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f'(x)=(x-1)(xex+

7、ex-2),令h(x)=xex+ex-2,则h'(x)=xex+2ex>0,x(0,+).说明h(x)在(0,+)上为增函数,且h(1)=2e-2>0,h(0)=-1<0,因此当x0<x<1(x0为h(x)的零点)时,f'(x)<0,f(x)在(x0,1)上为减函数.当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+)上是增函数.x=1是f(x)的极小值点,故选c.9.(2013浙江,理9)如图,f1,f2是椭圆c1:x24+y2=1与双曲线c2的公共焦点,a,b分别是c1,c2在第二、四象限的公共点.若四边形af1bf2为矩

8、形,则c2的离心率是().a.2b.3c.32d.62答案:d解析:椭圆c1中,|af1|+|af2|=4,|f1f2|=23.又因为四边形af1bf2为矩形,所以f1af2=90°.所以|af1|2+|af2|2=|f1f2|2,所以|af1|=2-2,|af2|=2+2.所以在双曲线c2中,2c=23,2a=|af2|-|af1|=22,故e=ca=32=62,故选d.10.(2013浙江,理10)在空间中,过点a作平面的垂线,垂足为b,记b=f(a).设,是两个不同的平面,对空间任意一点p,q1=ff(p),q2=ff(p),恒有pq1=pq2,则().a.平面与平面垂直b.平

9、面与平面所成的(锐)二面角为45°c.平面与平面平行d.平面与平面所成的(锐)二面角为60°答案:a非选择题部分(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(2013浙江,理11)设二项式x-13x5的展开式中常数项为a,则a=. 答案:-10解析:tr+1=c5r(x)5-r·-13xr=c5rx5-r2·(-1)r·x-r3=(-1)rc5rx5-r2-r3=(-1)rc5rx15-5r6.令15-5r=0,得r=3,所以a=(-1)3c53=-c52=-10.12.(2013浙江,理12)若某几何体的三

10、视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于cm3. 答案:24解析:由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥.va1ec1-abc=va1b1c1-abc-ve-a1b1c1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=30-6=24.13.(2013浙江,理13)设z=kx+y,其中实数x,y满足x+y-20,x-2y+40,2x-y-40.若z的最大值为12,则实数k=. 答案:2解析:画出可行域如图所示.由可行域知,最优解可能在a(0,2)或c(4,4)处取得.若在a(0,2)处取

11、得不符合题意;若在c(4,4)处取得,则4k+4=12,解得k=2,此时符合题意.14.(2013浙江,理14)将a,b,c,d,e,f六个字母排成一排,且a,b均在c的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答). 答案:480解析:如图六个位置123456.若c放在第一个位置,则满足条件的排法共有a55种情况;若c放在第2个位置,则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排a,b,再在余下的3个位置排d,e,f,共a42·a33种排法;若c放在第3个位置,则可在1,2两个位置排a,b,其余位置排d,e,f,则共有a22·a33种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置

12、排a,b,再在其余3个位置排d,e,f,共有a32·a33种排法;若c在第4个位置,则有a22a33+a32a33种排法;若c在第5个位置,则有a42a33种排法;若c在第6个位置,则有a55种排法.综上,共有2(a55+a42a33+a32a33+a22a33)=480(种)排法.15.(2013浙江,理15)设f为抛物线c:y2=4x的焦点,过点p(-1,0)的直线l交抛物线c于a,b两点,点q为线段ab的中点,若|fq|=2,则直线l的斜率等于. 答案:±1解析:设直线l的方程为y=k(x+1),a(x1,y1),b(x2,y2).由y2=4x,y=k(x+

13、1)联立,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,x1+x2=-2(k2-2)k2,x1+x22=-k2-2k2=-1+2k2,y1+y22=2k,即q-1+2k2,2k.又|fq|=2,f(1,0),-1+2k2-12+2k2=4,解得k=±1.16.(2013浙江,理16)在abc中,c=90°,m是bc的中点.若sinbam=13,则sinbac=. 答案:63解析:如图以c为原点建立平面直角坐标系,设a(0,b),b(a,0),则ma2,0,ab=(a,-b),am=a2,-b,cosmab=ab·am|ab|am|=a22+b2a2+b2

14、83;a24+b2.又sinmab=13,cosmab=1-132=89.a22+b22(a2+b2)a24+b2=89,整理得a4-4a2b2+4b4=0,即a2-2b2=0,a2=2b2,sincab=aa2+b2=a3b2=2b3b=63.17.(2013浙江,理17)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yr.若e1,e2的夹角为6,则|x|b|的最大值等于. 答案:2解析:|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+2xye1·e2=x2+y2+3xy.|x|b|=|x|x2+y2+3xy,当x=0时,|x|b|=0;当x0时,|x|b|=1yx

15、2+3yx+1=1yx+322+142.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(2013浙江,理18)(本题满分14分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nn*或an=4n+6,nn*.(2)设数列an的前n项和为sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.则当n11时,|a1|+

16、|a2|+|a3|+|an|=sn=-12n2+212n.当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-sn+2s11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-12n2+212n,n11,12n2-212n+110,n12.19.(2013浙江,理19)(本题满分14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出此2球所得分数之和,求的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机

17、会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若e=53,d=59,求abc.解:(1)由题意得=2,3,4,5,6.故p(=2)=3×36×6=14,p(=3)=2×3×26×6=13,p(=4)=2×3×1+2×26×6=518,p(=5)=2×2×16×6=19,p(=6)=1×16×6=136,所以的分布列为23456p141351819136(2)由题意知的分布列为123paa+b+cba+b+cca+b+c所以e()=aa+b+c+2ba+b+

18、c+3ca+b+c=53,d()=1-532·aa+b+c+2-532·ba+b+c+3-532·ca+b+c=59,化简得2a-b-4c=0,a+4b-11c=0.解得a=3c,b=2c,故abc=321.20.(2013浙江,理20)(本题满分15分)如图,在四面体a-bcd中,ad平面bcd,bccd,ad=2,bd=22.m是ad的中点,p是bm的中点,点q在线段ac上,且aq=3qc.(1)证明:pq平面bcd;(2)若二面角c-bm-d的大小为60°,求bdc的大小.方法一:(1)证明:取bd的中点o,在线段cd上取点f,使得df=3fc,连

19、结op,of,fq,因为aq=3qc,所以qfad,且qf=14ad.因为o,p分别为bd,bm的中点,所以op是bdm的中位线,所以opdm,且op=12dm.又点m为ad的中点,所以opad,且op=14ad.从而opfq,且op=fq,所以四边形opqf为平行四边形,故pqof.又pq平面bcd,of平面bcd,所以pq平面bcd.(2)解:作cgbd于点g,作chbm于点h,连结ch.因为ad平面bcd,cg平面bcd,所以adcg,又cgbd,adbd=d,故cg平面abd,又bm平面abd,所以cgbm.又ghbm,cggh=g,故bm平面cgh,所以ghbm,chbm.所以chg

20、为二面角c-bm-d的平面角,即chg=60°.设bdc=.在rtbcd中,cd=bdcos =22cos ,cg=cdsin =22cos sin ,bg=bcsin =22sin2.在rtbdm中,hg=bg·dmbm=22sin23.在rtchg中,tanchg=cghg=3cossin=3.所以tan =3.从而=60°.即bdc=60°.方法二:(1)证明:如图,取bd的中点o,以o为原点,od,op所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系oxyz.由题意知a(0,2,2),b(0,-2,0),d(0,2,0).设点c的坐标为(x0,y0

21、,0).因为aq=3qc,所以q34x0,24+34y0,12.因为m为ad的中点,故m(0,2,1).又p为bm的中点,故p0,0,12,所以pq=34x0,24+34y0,0.又平面bcd的一个法向量为u=(0,0,1),故pq·u=0.又pq平面bcd,所以pq平面bcd.(2)解:设m=(x,y,z)为平面bmc的一个法向量.由cm=(-x0,2-y0,1),bm=(0,22,1),知-x0x+(2-y0)y+z=0,22y+z=0.取y=-1,得m=y0+2x0,-1,22.又平面bdm的一个法向量为n=(1,0,0),于是|cos<m,n>|=|m·

22、n|m|n|=y0+2x09+y0+2x02=12,即y0+2x02=3.又bccd,所以cb·cd=0,故(-x0,-2-y0,0)·(-x0,2-y0,0)=0,即x02+y02=2.联立,解得x0=0,y0=-2,(舍去)或x0=±62,y0=22.所以tanbdc=x02-y0=3.又bdc是锐角,所以bdc=60°.21.(2013浙江,理21)(本题满分15分)如图,点p(0,-1)是椭圆c1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点,c1的长轴是圆c2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点p且互相垂直的两条直线,其中l1

23、交圆c2于a,b两点,l2交椭圆c1于另一点d.(1)求椭圆c1的方程;(2)求abd面积取最大值时直线l1的方程.解:(1)由题意得b=1,a=2.所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),d(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆c2:x2+y2=4,故点o到直线l1的距离d=1k2+1,所以|ab|=24-d2=24k2+3k2+1.又l2l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由x+ky+k=0,x2+4y2=4,消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-8k4+k2.所以|pd|

24、=8k2+14+k2.设abd的面积为s,则s=12|ab|·|pd|=84k2+34+k2,所以s=324k2+3+134k2+33224k2+3·134k2+3=161313,当且仅当k=±102时取等号.所以所求直线l1的方程为y=±102x-1.22.(2013浙江,理22)(本题满分14分)已知ar,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当x0,2时,求|f(x)|的最大值.解:(1)由题意f'(x)=3x2-6x+3a,故f'(1)=3a-3.又f(1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.(2)由于f'(x)=3(x-1)2+3(a-1