2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)

1、1 / 17 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(北京卷,理) 本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共 40分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 a=x|x|4,x-ay2,则 a.对任意实数 a,(2,1)a b.对任意实数 a,(2,1)a c.当且仅当 a0)与圆 =2cos 相切,则 a= . 11.设函数 f(x)=cos(

2、-6)(0).若 f(x)f(4)对任意的实数 x都成立,则 的最小值为 . 12.若 x,y满足 x+1y2x,则 2y-x的最小值是 . 13.能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0,2都成立,则 f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是 . 14.已知椭圆 m:22+22=1(ab0),双曲线 n:2222=1.若双曲线 n的两条渐近线与椭圆 m的四个交点及椭圆 m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 m 的离心率为 ;双曲线 n 的离心率为 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13分) 在abc中,a=

3、7,b=8,cos b=-17. (1)求a; 4 / 17 (2)求 ac边上的高. 16.(本小题 14分) 如图,在三棱柱 abc-a1b1c1中,cc1平面 abc,d,e,f,g 分别为 aa1,ac,a1c1,bb1的中点,ab=bc=5,ac=aa1=2. (1)求证:ac平面 bef; (2)求二面角 b-cd-c1的余弦值; (3)证明:直线 fg与平面 bcd 相交. 5 / 17 17.(本小题 12分) 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510

4、 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第 k类电影得到人们喜欢,“k=0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差d1,d2,d3,d4,d5,d6的大小关系. 6 / 17 18.(本小题

5、13分) 设函数 f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x轴平行,求 a; (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a的取值范围. 19.(本小题 14分) 已知抛物线 c:y2=2px 经过点 p(1,2).过点 q(0,1)的直线 l与抛物线 c 有两个不同的交点 a,b,且直线pa 交 y 轴于 m,直线 pb 交 y 轴于 n. (1)求直线 l的斜率的取值范围; (2)设 o 为原点, = , = ,求证:1+1为定值. 7 / 17 20.(本小题 14分) 设 n 为正整数,集合 a=|=(t1,t2,t

6、n),tk0,1,k=1,2,n.对于集合 a中的任意元素 =(x1,x2,xn)和 =(y1,y2,yn),记 m(,)=12(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+(xn+yn-|xn-yn|). (1)当 n=3时,若 =(1,1,0),=(0,1,1),求 m(,)和 m(,)的值; (2)当 n=4时,设 b 是 a的子集,且满足:对于 b 中的任意元素 ,当 ,相同时,m(,)是奇数;当 ,不同时,m(,)是偶数.求集合 b 中元素个数的最大值; (3)给定不小于 2的 n,设 b是 a 的子集,且满足:对于 b中的任意两个不同的元素 ,m(,)=0.写出一

7、个集合 b,使其元素个数最多,并说明理由. 8 / 17 (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 数学(北京卷,理) 1.a a=x|x|2=x|-2x 4,2- 2,化简得 32, 0.即 a32. 所以当且仅当 a32时,(2,1)a,故选 d. 9.an=6n-3 an为等差数列,设公差为 d, a2+a5=2a1+5d=36.a1=3,d=6.an=3+(n-1)6=6n-3. 10.2+1 由题意,可得直线的直角坐标方程为 x+y=a(a0),圆的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 10 / 17 由直线与圆相切,可知|1+0-|1+1=1,即

8、|1-a|=2,解得 a=1 2.a0,a=2+1. 11.23 对任意 xr 都有 f(x)f(4), f(4)=1,即 cos(4-6)=1. 46=2k,kz.0,当 k=0 时, 取得最小值,即4=6,=23.故 的最小值为23. 12.3 由 x,y 满足 x+1y2x,得 + 1 , 2, + 1 2,即 + 1 , 2, 1. 作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示. 由 + 1 = , = 2,得 a(1,2). 令 z=2y-x,即 y=12x+12z. 平移直线 y=12x,当直线过 a(1,2)时,12z 最小, zmin=22-1=3. 13.f(x)=,0 1,

9、-12 +32,1 2(答案不唯一) 画出 f(x)=,0 1,-12 +32,1 f(0),x(0,2. 11 / 17 但 f(x)在0,2上不是增函数. 14.3-1 2 根据题意可画出下图,其中 bd和 ac为双曲线的渐近线, abf2cdf1是正六边形. 由题意可知bof2=3,故双曲线的渐近线 bd 的方程为 y=x=3x,故双曲线的离心率e1=2+2=2+(3)2=2. 设 ab=x,由椭圆定义得|bf1|+|bf2|=3x+x=2a,2c=2x,故 e2=22=2(3+1)= 3-1. 15.解 (1)在abc中,cos b=-17,b(2,),sin b=1-cos2 =43

10、7. 由正弦定理,得sin=sin7sin=8437, sin a=32. b(2,),a(0,2),a=3. (2)在abc中,sin c=sin(a+b)=sin acos b+sin bcos a=32 (-17) +12437=3314. 如图所示,在abc 中,过点 b作 bdac于点 d.sin c=,h=bc sin c=73314=332, ac边上的高为332. 12 / 17 16.(1)证明 在三棱柱 abc-a1b1c1中, cc1平面 abc, 四边形 a1acc1为矩形. 又 e,f分别为 ac,a1c1的中点, acef. ab=bc, acbe, ac平面 be

11、f. (2)解 由(1)知 acef,acbe,efcc1. cc1平面 abc,ef平面 abc. be平面 abc,efbe. 建立如图所示的空间直角坐称系 e-xyz. 由题意得 b(0,2,0),c(-1,0,0),d(1,0,1),f(0,0,2),g(0,2,1). =(2,0,1), =(1,2,0). 设平面 bcd的法向量为 n=(a,b,c), 则 = 0, = 0, 2 + = 0, + 2 = 0, 13 / 17 令 a=2,则 b=-1,c=-4, 平面 bcd的法向量 n=(2,-1,-4), 又平面 cdc1的法向量为 =(0,2,0), cos= | |=-2

12、121. 由图可得二面角 b-cd-c1为钝角,二面角 b-cd-c1的余弦值为-2121. (3)证明 平面 bcd的法向量为 n=(2,-1,-4), g(0,2,1),f(0,0,2), =(0,-2,1),n =-2,n 与 不垂直, fg与平面 bcd不平行且不在平面 bcd 内, fg与平面 bcd相交. 17.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取 1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件a, 第四类电影中获得好评的电影为 2000.25=50(部). p(a)=50140+50+300+200+800+510=502 000=0.025. (2)设“从第四类电影和第五

13、类电影中各随机选取 1部,恰有 1 部获得好评”为事件 b, p(b)=0.250.8+0.750.2=0.35. (3)由题意可知,定义随机变量如下: k=0,第类电影没有得到人们喜欢,1,第类电影得到人们喜欢, 则 k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影: 1 1 0 14 / 17 p 0.4 0.6 d1=0.40.6=0.24; 第二类电影: 2 1 0 p 0.2 0.8 d2=0.20.8=0.16; 第三类电影: 3 1 0 p 0.15 0.85 d3=0.150.85=0.127 5; 第四类电影: 4 1 0 p 0.25 0.75 d4=0.

14、250.75=0.187 5; 第五类电影: 5 1 0 p 0.2 0.8 d5=0.20.8=0.16; 第六类电影: 15 / 17 6 1 0 p 0.1 0.9 d6=0.10.9=0.09; 综上所述,d1d4d2=d5d3d6. 18.解 (1)因为 f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex, 所以 f(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex(xr)=ax2-(2a+1)x+2ex. f(1)=(1-a)e. 由题设知 f(1)=0,即(1-a)e=0,解得 a=1. 此时 f(1)=3e0, 所以 a 的值为 1. (2)由(1)得 f(x)

15、=ax2-(2a+1)x+2ex=(ax-1)(x-2)ex. 若 a12,则当 x(1,2)时,f(x)0. 所以 f(x)在 x=2处取得极小值. 若 a12,则当 x(0,2)时,x-20,ax-112x-10. 所以 2 不是 f(x)的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是(12, + ). 19.(1)解 因为抛物线 y2=2px 经过点 p(1,2), 所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x. 由题意可知直线 l的斜率存在且不为 0, 16 / 17 设直线 l的方程为 y=kx+1(k0). 由2= 4, = + 1,得 k2x2+(2k-4)x+1=0.

16、 依题意,=(2k-4)2-4k210,解得 k0或 0k1. 又 pa,pb与 y 轴相交,故直线 l不过点(1,-2),从而 k-3. 所以直线 l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1). (2)证明 设 a(x1,y1),b(x2,y2). 由(1)知 x1+x2=-2-42,x1x2=12. 直线 pa 的方程为 y-2=1-21-1(x-1). 令 x=0,得点 m 的纵坐标为 ym=-1+21-1+2=-1+11-1+2. 同理得点 n的纵坐标为 yn=-2+12-1+2. 由 = , = ,得 =1-ym,=1-yn. 所以1+1=11-+11-=1-1(-1)1+2

17、-1(-1)2=1-1212-(1+2)12=1-122+2-4212=2. 所以1+1为定值. 20.解 (1)m(,)=12(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)=2; m(,)=12(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)=1. (2)当 xm,ym同为 1 时,12(xm+ym-|xm-ym|)=1; 当 xm,ym中只有一个 1或者两个都是 0 时,12(xm+ym-|xm-ym|)=0; 17 / 17 当 , 相同时,=(x1,x2,x3,x4)b,m(,)=x1+x2+x3+x4为奇数, 则 xk(k=1,2,3,4

18、)中有一个 1或者三个 1,即为以下 8种: 形式 1:(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1); 形式 2:(1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1); 当 , 不同时,m(,)是偶数,则 ,同为 1的位置有 4 个或 2 个或 0个; 形式 1 中的元素不能和形式 2的三个元素同时共存; 形式 2 中的元素不能和形式 1的三个元素同时共存; 如果 b中元素全是形式 1,当 , 不同时,m(,)=0满足条件; 如果 b中元素全是形式 2,当 , 不同时,m(,)=2满足条件. 所以 b中元素至多为 4 个. (3)b 中元素个数最多为 n+1,构造如下: 对于 k=(zk1,zk2,zkn)b(k=1,2,3,n),zkk=1,其他位置全为 0; n+1=(0,0,0,0),可以验证 m(