材料力学(15)第十四章静不定问题分析

1、第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 1作业分析：作业分析：13132828A,BA,B横截面上加何种外力横截面上加何种外力使二截面恰好密合？使二截面恰好密合？两个条件需同时满足方能密合：两个条件需同时满足方能密合：（1）AB相对位移为相对位移为（1）AB相对转角为相对转角为R一般地，设需要在一般地，设需要在AB截面上截面上加在集中力加在集中力F和集中力偶和集中力偶Me使使AB面密合面密合第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 2 1 coseMMFR1 cosFMR1M 201( )FMMRdEI 2011 cos1 coseMFRRRdEI2232eRMF

2、REI201( )( )MMRdEI20111 coseMFRRdEI2eRMFREIR0F 2eEIMR第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 3第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 4静不定问题的分类：静不定问题的分类：外力静不定外力静不定（仅在结构外部存在多余约束）（仅在结构外部存在多余约束）内力静不定内力静不定（仅在结构内部存在多余约束）（仅在结构内部存在多余约束）混合混合( (一般一般) )静不定静不定静定问题：静定问题：未知力数未知力数 = = 平衡方程数平衡方程数静不定问题：静不定问题：未知力数未知力数 平衡方程数平衡方程数静不定次数静不定次数(

3、 (静不定度静不定度) )：多余约束数多余约束数我们解决过的简单静不定问题：特点与解法我们解决过的简单静不定问题：特点与解法第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 5 外力静不定外力静不定外外1度度外外3度（平面）度（平面）外外6度（空间）度（空间）不同约束的支反力分量个数：不同约束的支反力分量个数：平面固定铰平面固定铰平面固定端平面固定端平面活动铰平面活动铰空间球形铰空间球形铰空间固定端空间固定端2 21 13 33 36 6qFqF第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 6 内力静不定内力静不定 ( (桁架桁架) )内内1度度内内2度度静不定度静不定度 =

4、m - ( 2n 3 ) m : 杆数；杆数；n ：节点数节点数FF第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 7内内6度度单闭口的平面刚架或曲杆单闭口的平面刚架或曲杆内内3 3度静不定度静不定FFq内内3度度 内力静不定内力静不定 ( (刚架刚架) )q断开：内力静定断开：内力静定SFNFM刚性连接：多了三个约束刚性连接：多了三个约束第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 8FF6 6度内力静不定度内力静不定FF5 5度内力静不定度内力静不定FF4 4度内力静不定度内力静不定, ,加一根二力加一根二力杆增加一度静不定杆增加一度静不定FF2 2度内力静不定度内力静不

5、定加一中间铰减加一中间铰减少一度静不定少一度静不定第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page 9 混合静不定混合静不定1（内）（内）1（外）（外） 2 度度3（内）（内）3（外）（外） 6 度度梁：外梁：外3 3环：内环：内3 3梁环接触：梁环接触：1 13+3+1=7 度度F圆环圆环FF第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page10(c)(a)(b)(b): 2度度(a): 1度度(c): 2度度 梁杆结构的静不定问题梁杆结构的静不定问题第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page11 几个概念：几个概念： 基本系统：基本系统：解除多余约束后的静定结构（静定

6、基）解除多余约束后的静定结构（静定基） 相当相当系统：系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。作用有载荷和多余反力的基本系统。基本系统和相当系统不唯一基本系统和相当系统不唯一 力法分析要点：力法分析要点：1 1、 去除多余（内外）约束，建立相当系统去除多余（内外）约束，建立相当系统2 2、 建立补充方程（找变形协调条件）建立补充方程（找变形协调条件）3 3、 确定多余未知力确定多余未知力( (多余内力和多余外力多余内力和多余外力) )第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page12一、一、 外力静不定结构分析外力静不定结构分析解除多余的外部约束，代之以支反力解除多余的外部约束，代之以支

7、反力相当系统相当系统在解除约束处，建立变形协调条件在解除约束处，建立变形协调条件建立补充方程建立补充方程ABCllABRCllHC00CCf ABCllRCM00AAf 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page13单位载荷系统单位载荷系统 1 1 1AB单位载荷系统单位载荷系统 2 2 1ABABCllABRCllHC0),(ccccRH0),(ccccRHffHCRC第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page14例：例：已知外力偶已知外力偶 M0，求水平位，求水平位移移 。BH O ORA AB B1 1(b)(b)解解：（1 1）先求支反力）先求支反力 B0MF

8、R 1cosMMR 1cos 弯矩弯矩配置单位载荷配置单位载荷 BVB0032B01F R 1cosMR 1cosRdEI13F RM R0EI2 0B2MF3R ORABM0FB(a)变形协调条件变形协调条件=0=0 BV 构造相当系统，确定构造相当系统，确定第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page15(2)求求BH 讨论：选取哪种单位载讨论：选取哪种单位载荷系统荷系统? ? ORABM0FB(a)1 ORABFB(d) ORAB1(c)第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page16B端的水平位移为端的水平位移为 BH002002012cos1MRsinRdEI3M

9、 Rsinsin2Rd3EI2M R3EI 方法方法1:1:单位载荷加在静定基上单位载荷加在静定基上 ORAB1(c) MRsin 0002MMR 1cosM3R12cosM3 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page17B4F3 方法方法2:2:单位载荷加在载非静定基上单位载荷加在载非静定基上解静不定问题，求单位载荷系统的解静不定问题，求单位载荷系统的BF1 ORABFB(d) 0001 2cos2MMR 1 cosMM3R3 B4MF R 1 cosRsinR 1 cosRsin3 BH00220002012cos14MR 1cosRsinRdEI332M R4M Rcosc

10、os2 d3EI9 EI2M R3EI 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page18例例：已知已知EIEI为常数，求为常数，求 AABCllM2 2、利用、利用变形协调条件变形协调条件 和单位载荷法求和单位载荷法求HcABCllMHC1 1、去除多余约束，去除多余约束，建立相当系统建立相当系统0C3. 将单位力偶载荷加在将单位力偶载荷加在静定基上，利用已求解静定基上，利用已求解的支反力和单位载荷法的支反力和单位载荷法求求 AABCll1ABCll1自行验证将单位力偶自行验证将单位力偶载荷加在非静定基上，载荷加在非静定基上，应用单位载荷法求应用单位载荷法求 A的结果的结果第十四章第

11、十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page19二、二、 内力静不定结构分析内力静不定结构分析相当系统相当系统建立补充方程建立补充方程切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力mm利用切开截面的相对广义位移为零，建立变形协调条件利用切开截面的相对广义位移为零，建立变形协调条件/000m mm mm mf 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page20例例：已知：已知I=Aa2/10,求杆求杆CH的轴力以及节点的轴力以及节点H的垂直位移的垂直位移解：解：判断静不定度：判断静不定度：梁杆结构：梁杆结构：1度内力静不定度内力静不定aaBD

12、CHAEIEIEIPEAa1 1、 去除多余约束，建立相当系统去除多余约束，建立相当系统BDCHANNP2 2、 建立补充方程建立补充方程( (找变形协调条件找变形协调条件) )/0m m 利用单位载荷法建立补充方程利用单位载荷法建立补充方程 求求CHCH杆的轴力：杆的轴力：第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page21BDCHANNPBDCHA11RDRBx1x2x3真实载荷状态真实载荷状态(相当系统相当系统)：单位载荷状态：单位载荷状态：2BDNRR 1122()()22NNM xxM xx33()()M xNP x112211()()22M xxM xx33()M xx 33

13、/1(2()433m mNaaaNPNEIEA /0m m 59NP 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page22 求节点求节点H的垂直位移：的垂直位移：aaBDCHAEIEIEIPEAaBDCHA1将单位载荷加在基本系统上将单位载荷加在基本系统上12()0()0M xM x33()M xx 3333014()()27aHPafNP xx dxEIEI 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page23例：例：图示图示桁架，各杆桁架，各杆EA相同，求各杆轴力相同，求各杆轴力。a12345678aaP解：解：判断静不定度：判断静不定度：内力静不定度：内力静不定度：8 - 2

14、 5 + 3 = 11 1、去除多余约束，建立相当系统去除多余约束，建立相当系统2 2、建立补充方程建立补充方程( (找变形协调条件找变形协调条件) )/0m m 1234568PN7N7mm第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page241234568111234568PN7N7 利用单位载荷法建立补充方程利用单位载荷法建立补充方程 N7PNi1817a6a5a4a30a201Nili2a2a2a72NP 2P 722NP 722N 722N 722NP 22 22 22 22 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page258/17(22)(22) 0ii im miN

15、 N lEAaNPEA 722NP a12345678aaP12345681思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态12345681第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page26思考思考2 2：求求BD杆的转角，正确的单位载荷系统是杆的转角，正确的单位载荷系统是_答：答：C、D1a1aADBC A B1a1aADBC C22aADBC22a D22aADBC22aADBCF 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page27分析（分析（1 1）静定基（）静定基（C C或或D D）在不同单位载荷下的）在不同单位载荷下的B

16、DBD转角的确不同，各杆的内转角的确不同，各杆的内力也不同，力也不同，但按单位载荷法计算出原结构在原载荷作用下的但按单位载荷法计算出原结构在原载荷作用下的BD转角却转角却是相同的是相同的 C22aADBC22a123456 D22aADBC22a12345665a4a3a2a12ailiFN iF Ni2a000022aa1F423F4232F423F422F423F42165a4a3a2a12ailiF Ni2aa210a21a21FN iF423F4232F423F422F423F421a21a22EAlFFEAiNiiNiBD4221161第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析P

17、age28第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page29 高度静不定问题的求解较为繁琐高度静不定问题的求解较为繁琐 如果研究对象是对称结构，加在对称结构上的载荷又是如果研究对象是对称结构，加在对称结构上的载荷又是对称或反对称的，那么静不定问题的求解将会简化对称或反对称的，那么静不定问题的求解将会简化 基本概念基本概念 对称结构：对称结构：形状、截面尺寸、材料性质、形状、截面尺寸、材料性质、支持方式等沿对称面对称。支持方式等沿对称面对称。对称面对称面第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page30PM沿对称面对折后，沿对称面对折后，载荷完全重合载荷完全重合FFPPMMPPF

18、FMM 对称载荷：作用位置、方位与指向对称，数值相等的载荷对称载荷：作用位置、方位与指向对称，数值相等的载荷 反反对称载荷：作用位置与方位对称，数值相等，指向反对对称载荷：作用位置与方位对称，数值相等，指向反对称的载荷称的载荷沿对称面对折后，载荷沿对称面对折后，载荷大小相同，方向相反大小相同，方向相反作用在对称面上的集中载荷是对称载荷作用在对称面上的集中载荷是对称载荷作用在对称面上的集力偶荷是反对称载荷作用在对称面上的集力偶荷是反对称载荷第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page31 对称定律对称定律对称结构对称结构承受对称载荷承受对称载荷承受反对称载荷承受反对称载荷内力、变形对称

19、内力、变形对称内力、变形反对称内力、变形反对称FFF第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page32l利用对称变形条件利用对称变形条件可以唯一确定对称内力可以唯一确定对称内力 ，（例如取左半结构为研究对象，（例如取左半结构为研究对象) ) 0,0,CC N,.CCFMABaFCFaABaFCFaC 对称面变形特征：对称面变形特征： C 0 , 0 , C 0 0对称面内力特征：对称面内力特征：CMCMNCFNCFF SC 0 0l利用对称性，可直接确定某（些）多余未知力，简化计算利用对称性，可直接确定某（些）多余未知力，简化计算. . 对称载荷作用时对称载荷作用时对称面上的变形与受力

20、特点：对称面上的变形与受力特点：第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page33l利用反对称变形条件利用反对称变形条件 f C = 0 ，可以唯一确定反对称内力，可以唯一确定反对称内力FSCl在结构对称点在结构对称点C，对称加载情形，可直接确定一个内力，对称加载情形，可直接确定一个内力， 反对称加载情形，可直接确定两个内力。反对称加载情形，可直接确定两个内力。变形特征：变形特征：ABMCM内力特征：内力特征：ABMCMSCFSCFF NC 0 , 0 , MC = 0 f C 0 0C 反对称反对称作用时作用时对称面上的变形与受力特点：对称面上的变形与受力特点：第十四章第十四章 静不

21、定问题分析静不定问题分析Page34例：例：已知圆环已知圆环EI，求，求B、D相对位移相对位移d dABCDRFFoABAM2F0A RFCABAM2F0A 解解：（：（1 1）建立）建立相当系统相当系统oAB2F 0A B结构和载荷关于结构和载荷关于AC对称，故对称，故A、C截面上剪截面上剪力为零；又力为零；又A、C关于载荷对称，故关于载荷对称，故A、C截截面上的内力相等（其中轴力面上的内力相等（其中轴力F/2)第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page35 sin2BFMMR 1M 201sin02BBFMRRdEI 1022BRMFREI 1sin,2BFRMMFR 解解：（

22、2 2）利用单位载荷法，计算利用单位载荷法，计算MBBMoAB2F 1oAB 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page36（3 3）计算计算B D 20332221sinsin280.1494B DBRFRRdEIFRFREIEI 1sin2MFR sinMR 1oABR 利用利用 圆环圆环14BMoAB2FR 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page37试求图示刚架截面试求图示刚架截面 C 的转角，的转角，EI 为常数为常数1. 问题分析问题分析 三度静不定三度静不定 将将 Me 等分为二，分别作用在截面等分为二，分别作用在截面 C 的两侧，的两侧， 得一反对称静

23、不定问题，得一反对称静不定问题，MCFNC0 结论结论：惟一未知多余力惟一未知多余力FSC第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page382. 求解静不定求解静不定0Cf llCxxMxMxxMxMEIf0 0 dd2222111)()()()(1， )(11xxM 2)(2lxM ， 2)(1Se1xFMxMC 22)(Se2lFMxMC lFMEIlfCCSe 14152420 lMFC1415eS得：得：第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page393. 位移计算位移计算 2202112/01d)()(d)()(1xxMxMxxMxMEIllC EIlMC1129e

24、 （QQ）第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page40FABR2FRFABR2FR2F2F2F2F0,0,MFANA内力特征内力特征FS未知力未知力反对称轴反对称轴AB上上例：例：小曲率圆环，小曲率圆环，B端固定，端固定，A端受力端受力F已知已知R,EI.求求A截面内力截面内力.ABRF变形特征变形特征:0Af2FFSAB第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page411( )sin(1 cos )2( )sinMF RFRSMR 2FFSABAB11( )( )001133(2) 0222MMRdA BEIF RFRSEIFFS Af第十四章第十四章 静不定问题分析静

25、不定问题分析Page42一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解FFFF2a2a2a2a例：例：对称还是反对称问题？对称还是反对称问题？FFFSFS22cos45022FFSFFS 双反对称轴问题双反对称轴问题双对称轴问题双对称轴问题第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page43例：例：对称还是反对称问题？对称还是反对称问题？对称问题对称问题FF反对称问题反对称问题2F2F中间杆的内力是多少？中间杆的内力是多少？第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page44 结构对称、载荷不对称的问题结构对称、载荷不对称的问题F结论结论: : 结构对称、

26、载荷不对称的平面结构问题可分解为一结构对称、载荷不对称的平面结构问题可分解为一个对称与一个反对称问题。个对称与一个反对称问题。2F2F2F2FFFxFyFyFx 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page45F 2F2F2F2F 结构不对称、载荷也不对称的问题结构不对称、载荷也不对称的问题第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page46112211211(),()2441(),()2FMxxMxF aF xMxxMxa EIFaEIFadxFaxFaEIdxFxEIaaCH12)16181481()8181(1211332220210改错改错 ： 求求C点支反力与铅垂位移

27、点支反力与铅垂位移cva2a2aFC2FNFFFN4111x2x第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page472F2aa11x2x221122112121)(,)(4141)(,21)(xaxMxxMFxFaxMFxxM222112200311()2816aaCVFFx dxaxdxEIEIFaEI 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page48 对称与反对称静不定问题都是基于对称结构而言的，对称对称与反对称静不定问题都是基于对称结构而言的，对称结构上作用一般载荷往往可以分解为对称载荷和反对称载荷结构上作用一般载荷往往可以分解为对称载荷和反对称载荷的叠加的叠加利用内力的

28、对称与反对称性，直接确定对称面上的若干内利用内力的对称与反对称性，直接确定对称面上的若干内力为零，以部分结构为基础建立相当系统，以对称面的变力为零，以部分结构为基础建立相当系统，以对称面的变形特点为协调条件，求解对称面上剩余的未知内力形特点为协调条件，求解对称面上剩余的未知内力利用对称与反对称性，只是简化了对称结构静不定问题的利用对称与反对称性，只是简化了对称结构静不定问题的求解过程，并没有降低结构的静不定度求解过程，并没有降低结构的静不定度第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page49第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page50平面刚架平面刚架-轴线位于同一平面的刚

29、架轴线位于同一平面的刚架面内加载面内加载-外载荷位于刚架轴线平面内（已研究）外载荷位于刚架轴线平面内（已研究）面外加载面外加载-外载荷位于垂直于刚架轴线平面外载荷位于垂直于刚架轴线平面（a a）平面刚架面内加载）平面刚架面内加载FCBADqM（b b）平面刚架平面刚架面外加载面外加载FCBADqM第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page51 内力内力轴线平面内的内力分量（轴力轴线平面内的内力分量（轴力FN、面内面内 剪力剪力 FSz与面内弯矩与面内弯矩My）忽略不计）忽略不计 反力反力作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩 忽略不计忽略不计 位移

30、位移小变形时小变形时, ,横截面形心横截面形心在在轴线平面轴线平面内的位内的位 移移（轴线的面内变形轴线的面内变形）忽略不计忽略不计CBADFqMeECBDCBAMeSyFTNFyMSzFzMxyzCBAMeSyFTyMzMxyz第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page52结论：作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外结论：作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外载荷，分别引起面内与面外内力，可以解耦计算。载荷，分别引起面内与面外内力，可以解耦计算。面内内力与面内面内内力与面内约束力分量约束力分量*zF*xF*yMyMNFSF面外内力与面外面外内力与面外约束力分量约束力分量*zM

31、*xMyFSyFxMT一般载荷的分解一般载荷的分解MF第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page53 面外载荷与面内载荷对称问题的比较面外载荷与面内载荷对称问题的比较CMCMNCFNCF对称面上内力特征：对称面上内力特征：F SC 0 0面内载荷对称问题面内载荷对称问题ABaFCFaMeMe第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page54对称面上的面内内力：对称面上的面内内力：NS0,0,0CzCCxFMF 对称面上的面外内力特征：对称面上的面外内力特征：S0,0CzCFT变形特征：变形特征：0Cx 面外载荷对称问题面外载荷对称问题2a2aaCBAMeFMeFTeTezy

32、xoszFszFxMxMyTyT第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page55例：例：已知已知EI，GIP，求，求C点内力点内力 MCx 及铅垂位移及铅垂位移分析：分析：待求未知量待求未知量MCx变形条件：变形条件： Cx = 02a2aaFCBAzyxoa2aC2FCxM第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page561).求求MCXa2aCMCX1x2x2F1211()()() ()011122200(4)8(2)aaM xM x dxT xT xdxCXEIGIpGIEI FapMCXGIEIp 1()112M xMFxCX1()222M xFx1()24T xMFaCX 11M x 02M x () 12T x 第十四章第十四章 静不定问题分析静不定问题分析Page57a2aCMCX1x2x2F12).2).求铅垂位移求铅垂位移C V 211111112()()1112222242000113123()()82168aaaMFxx dxFxdxMFaadxCxCxCVEIEIGIpMaFaCxEIGIEIGIpp1()112M xM