2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学1.(2016山东,理1)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()a.1+2ib.1-2ic.-1+2id.-1-2i答案b设z=a+bi(a,br),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选b.注意共轭复数的概念.2.(2016山东,理2)设集合a=y|y=2x,xr,b=x|x2-1<0,则ab=()a.(-1,1)b.(0,1)c.(-1,+)d.(0,+)答案ca=y|y>0,b=x|-1<x<1,则ab=x|x>-1,选c.本题涉及求函数值域、解不

2、等式以及集合的运算.3.(2016山东,理3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()a.56b.60c.120d.140答案d自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选d.4.(2016山东,理4)若变量x,y满足x+y2,2x-3y

3、9,x0,则x2+y2的最大值是()a.4b.9c.10d.12答案c如图,不等式组表示的可行域是以a(0,-3),b(0,2),c(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|oc|2=10,故选c.5.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()a.13+23b.13+23c.13+26d.1+26答案c由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为v1=12×43×223=26,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积v2=13×1×1

4、=13,故选c.6.(2016山东,理6)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案a若直线a与直线b相交,则,一定相交,若,相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选a.7.(2016山东,理7)函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()a.2b.c.32d.2答案bf(x)=2sinx+6×2cosx+6=2sin2x+3,故最小正周期t=22=,故选b.8.(2016山东,理8)已知非零向量m,n满足4|m

5、|=3|n|,cos<m,n>=13.若n(tm+n),则实数t的值为()a.4b.-4c.94d.-94答案b由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选b.9.(2016山东,理9)已知函数f(x)的定义域为r.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1x1时,f(-x)=-f(x);当x>

6、;12时,fx+12=fx-12,则f(6)=()a.-2b.-1c.0d.2答案d当x>12时,fx+12=fx-12,所以当x>12时,函数f(x)是周期为1的周期函数,所以f(6)=f(1),又因为当-1x1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2,故选d.本题考查了函数的周期性、奇偶性,利用函数性质灵活变换是解题的关键.10.(2016山东,理10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有t性质.下列函数中具有t性质的是()a.y=sin xb.y=ln xc.y=exd.y=x3答

7、案a当y=sin x时,y'=cos x,因为cos 0·cos =-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=使条件成立,故a正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选a.本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.11.(2016山东,理11)执行下边的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为. 答案3解析第一次循环:a=1,b=8;第二次循环:a=3,b=6;第三次循环:a=6,b=3;满足条件,结束循环,此时,i=3.循环结构抓住结束点是关键.12.(2016山东,理12)若ax2+1x

8、5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=. 答案-2解析因为tr+1=c5r(ax2)5-r1xr=c5ra5-rx10-5r2,所以由10-5r2=5,解得r=2.因此c52a5-2=-80,解得a=-2.13.已知双曲线e:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形abcd的四个顶点在e上,ab,cd的中点为e的两个焦点,且2|ab|=3|bc|,则e的离心率是. 答案2解析由双曲线和矩形的对称性可知abx轴,不妨设a点的横坐标为c,则由c2a2-y2b2=1,解得y=±b2a.设ac,b2a,bc,-b2a,则|ab|=2b2a,|bc|

9、=2c,由2|ab|=3|bc|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-12(舍去),所以离心率为2.把涉及的两个线段的长度表示出来是做题的关键.14.(2016山东,理14)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为. 答案34解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=|5k|1+k2<3,解得-34<k<34,而k-1,1,所以发生的概率为34-342=34.15.(2016山东,理15)已知函数f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,x>m,其中m>

10、;0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是. 答案(3,+)解析 x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,应4m-m2<m,解得m>3,即m的取值范围为(3,+).能够准确画出函数的图象是解决本题的关键.16.(2016山东,理16)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知2(tan a+tan b)=tanacosb+tanbcosa.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos c的最小值.解(1)由题意知2sinacos

11、a+sinbcosb=sinacosacosb+sinbcosacosb,化简得2(sin acos b+sin bcos a)=sin a+sin b,即2sin(a+b)=sin a+sin b,因为a+b+c=,所以sin(a+b)=sin(-c)=sin c.从而sin a+sin b=2sin c.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+b2,所以cos c=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=38ab+ba-1412,当且仅当a=b时,等号成立.故cos c的最小值为12.17.(2016山东,理17)在如图所示的圆台中,ac是下底面圆o的直径,ef是上

12、底面圆o'的直径,fb是圆台的一条母线.(1)已知g,h分别为ec,fb的中点.求证:gh平面abc;(2)已知ef=fb=12ac=23,ab=bc,求二面角f-bc-a的余弦值.(1)证明设fc中点为i,连接gi,hi.在cef中,因为点g是ce的中点,所以gief.又efob,所以giob.在cfb中,因为h是fb的中点,所以hibc.又higi=i,所以平面ghi平面abc.因为gh平面ghi,所以gh平面abc.(2)解法一连接oo',则oo'平面abc.又ab=bc,且ac是圆o的直径,所以boac.以o为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.由

13、题意得b(0,23,0),c(-23,0,0).过点f作fm垂直ob于点m,所以fm=fb2-bm2=3,可得f(0,3,3).故bc=(-23,-23,0),bf=(0,-3,3).设m=(x,y,z)是平面bcf的一个法向量.由m·bc=0,m·bf=0,可得-23x-23y=0,-3y+3z=0.可得平面bcf的一个法向量m=-1,1,33.因为平面abc的一个法向量n=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|m|·|n|=77.所以二面角f-bc-a的余弦值为77.解法二连接oo'.过点f作fm垂直ob于点m,则有fmo

14、o'.又oo'平面abc,所以fm平面abc.可得fm=fb2-bm2=3.过点m作mn垂直bc于点n,连接fn.可得fnbc,从而fnm为二面角f-bc-a的平面角.又ab=bc,ac是圆o的直径,所以mn=bmsin 45°=62.从而fn=422,可得cosfnm=77.所以二面角f-bc-a的余弦值为77.18.(2016山东,理18)已知数列an的前n项和sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n,求数列cn的前n项和tn.解(1)由题意知当n2时,an=sn-sn-

15、1=6n+5,当n=1时,a1=s1=11,所以an=6n+5.设数列bn的公差为d.由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)·2n+1.又tn=c1+c2+cn,得tn=3×2×22+3×23+(n+1)×2n+1,2tn=3×2×23+3×24+(n+1)×2n+2,两式作差,得-tn=3×2×22+23+24+2n+1-(n+1)&

16、#215;2n+2=3×4+4(1-2n)1-2-(n+1)×2n+2=-3n·2n+2,所以tn=3n·2n+2.19.(2016山东,理19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和x的分布列和数学期望ex.

17、解(1)记事件a:“甲第一轮猜对”,记事件b:“乙第一轮猜对”,记事件c:“甲第二轮猜对”,记事件d:“乙第二轮猜对”,记事件e:“星队至少猜对3个成语”.由题意,e=abcd+abcd+abcd+abcd+abcd.由事件的独立性与互斥性,p(e)=p(abcd)+p(abcd)+p(abcd)+p(abcd)+p(abcd)=p(a)p(b)p(c)p(d)+p(a)p(b)p(c)p(d)+p(a)p(b)p(c)p(d)+p(a)p(b)p(c)p(d)+p(a)·p(b)p(c)p(d)=34×23×34×23+2×14×2

18、3×34×23+34×13×34×23=23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意,随机变量x可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得p(x=0)=14×13×14×13=1144,p(x=1)=2×34×13×14×13+14×23×14×13=10144=572,p(x=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23

19、×34×13+14×23×14×23=25144,p(x=3)=34×23×14×13+14×13×34×23=12144=112,p(x=4)=2×34×23×34×13+34×23×14×23=60144=512,p(x=6)=34×23×34×23=36144=14.可得随机变量x的分布列为x012346p11445722514411251214所以数学期望ex=0×11

20、44+1×572+2×25144+3×112+4×512+6×14=236.20.(2016山东,理20)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,ar.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x1,2成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+).f'(x)=a-ax-2x2+2x3=(ax2-2)(x-1)x3.当a0时,x(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x(1,+)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,f&#

21、39;(x)=a(x-1)x3x-2ax+2a.0<a<2时,2a>1,当x(0,1)或x2a,+时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x1,2a时,f'(x)<0,f(x)单调递减.a=2时,2a=1,在x(0,+)内,f'(x)0,f(x)单调递增.a>2时,0<2a<1,当x0,2a或x(1,+)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x2a,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减;当0<a<2时,f

22、(x)在(0,1)内单调递增,在1,2a内单调递减,在2a,+内单调递增;当a=2时,f(x)在(0,+)内单调递增;当a>2时,f(x)在0,2a内单调递增,在2a,1内单调递减,在(1,+)内单调递增.(2)由(1)知,a=1时,f(x)-f'(x)=x-ln x+2x-1x2-1-1x-2x2+2x3=x-ln x+3x+1x2-2x3-1,x1,2.设g(x)=x-ln x,h(x)=3x+1x2-2x3-1,x1,2.则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).由g'(x)=x-1x0,可得g(x)g(1)=1,当且仅当x=1时取得等号.又h'(

23、x)=-3x2-2x+6x4,设(x)=-3x2-2x+6,则(x)在x1,2单调递减,因为(1)=1,(2)=-10,所以x0(1,2),使得x(1,x0)时,(x)>0,x(x0,2)时,(x)<0.所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.由h(1)=1,h(2)=12,可得h(x)h(2)=12,当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=32,即f(x)>f'(x)+32对于任意的x1,2成立.21.(2016山东,理21)平面直角坐标系xoy中,椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,抛物线e:x2=2y的焦点f是c的一个顶点.(1)求椭圆c的方程;(2)设p是e上的动点,且位于第一象限,e在点p处的切线l与c交于不同的两点a,b,线段ab的中点为d.直线od与过p且垂直于x轴的直线交于点m.求证:点m在定直线上;直线l与y轴交于点g,记pfg的面积为s1,