2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,理1)满足z+iz=i(i为虚数单位)的复数z=().a.12+12ib.12-12ic.-12+12id.-12-12i答案:b解析:由已知,得z+i=zi,则z(1-i)=-i,即z=-i1-i=-i(1+i)(1-i)(1+i)=1-i2=12-i2.故选b.2.(2014湖南,理2)对一个容量为n的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被

2、抽中的概率分别为p1,p2,p3,则().a.p1=p2<p3b.p2=p3<p1c.p1=p3<p2d.p1=p2=p3答案:d解析:由随机抽样的要求,知p1=p2=p3,故选d.3.(2014湖南,理3)已知f(x),g(x)分别是定义在r上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=().a.-3b.-1c.1d.3答案:c解析:由f(x)与g(x)分别是定义在r上的偶函数和奇函数,知f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1).又由f(x)-g(x)=x3+x2+1,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1

3、,即f(1)+g(1)=1.故选c.4.(2014湖南,理4)12x-2y5的展开式中x2y3的系数是().a.-20b.-5c.5d.20答案:a解析:由已知,得tr+1=c5r12x5-r(-2y)r=c5r125-r(-2)rx5-ryr(0r5,rz),令r=3,得t4=c53122(-2)3x2y3=-20x2y3.故选a.5.(2014湖南,理5)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题pq;pq;p(􀱑q);(􀱑p)q中,真命题是().a.b.c.d.答案:c解析:由题易知命题p为真,命

4、题q为假,则􀱑p为假,􀱑q为真.故pq为假,pq为真,p(􀱑q)为真,(􀱑p)q为假.故选c.6.(2014湖南,理6)执行如图所示的程序框图.如果输入的t-2,2,则输出的s属于().a.-6,-2b.-5,-1c.-4,5d.-3,6答案:d解析:由题意知,当-2t<0时,y=2t2+1,得y(1,9.故当t0,2(1,9=0,9时,s=t-3,s-3,6.故选d.7.(2014湖南,理7)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于().a.1b.2c.3d.4

5、答案:b解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱a1b1c1-abc,且ab=8,bc=6,bb1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面a1b1ba,bcc1b1,acc1a1相切,故此时球的半径与abc内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选b.8.(2014湖南,理8)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为().a.p+q2b.(p+1)(q+1)-12c.pqd.(p+1)(q+1)-1答案:d解析:设第一年年初生产总值为1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为

6、x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),解得x=(p+1)(q+1)-1,故选d.9.(2014湖南,理9)已知函数f(x)=sin(x-),且023 f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是().a.x=56b.x=712c.x=3d.x=6答案:a解析:由已知,得023 sin(x-)dx=-cos(x-)|023=-cos23-+cos(-)=0,即=23-+2n,nz,或=-23-+2n,nz,解得=n+3,nz,或0=-23+2n,nz(舍去),故f(x)=sinx-n-3,nz.令x-n-3=k+2,kz,得x=m+56,mz.令m=0,得x=56,故选a.10.(2

7、014湖南,理10)已知函数f(x)=x2+ex-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是().a.-,1eb.(-,e)c.-1e,ed.-e,1e答案:b解析:由已知得函数f(x)的图象关于y轴对称的函数为h(x)=x2+e-x-12(x>0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12,作函数m(x)=e-x-12的图象,显然当a0时,函数y=ln(x+a)的图象与m(x)的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a)的图象与m(x)的图象有交点,则ln a<12,则0<a<e.综上

8、a<e.故选b.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(2014湖南,理11)在平面直角坐标系中,倾斜角为4的直线l与曲线c:x=2+cos,y=1+sin(为参数)交于a,b两点,且|ab|=2.以坐标原点o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是. 答案:(cos -sin )=1解析:由题意得曲线c的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|ab|=2,故直线l过曲线c的圆心(2,1),则直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故

9、直线l的极坐标方程为(cos -sin )=1.12.(2014湖南,理12)如图,已知ab,bc是o的两条弦,aobc,ab=3,bc=22,则o的半径等于. 答案:32解析:如右图,由已知aobc,可得e是bc的中点,即be=2,故ae=ab2-be2=1.在rtboe中,ob2=be2+oe2,即r2=(2)2+(r-1)2,解得r=32.13.(2014湖南,理13)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a=. 答案:-3解析:由|ax-2|<3,得-1<ax<5.若a0,显然不符合题意,当a<0时,

10、解得5a<x<-1a,故-1a=13,5a=-53,解得a=-3.(二)必做题(1416题)14.(2014湖南,理14)若变量x,y满足约束条件yx,x+y4,yk,且z=2x+y的最小值为-6,则k=. 答案:-2解析:画出可行域如图所示:画直线l0:y=-2x,平移直线l0,当过a(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2.15.(2014湖南,理15)如图,正方形abcd和正方形defg的边长分别为a,b(a<b),原点o为ad的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过c,f两点,则ba=.答案:1+2解析:由题意,知ca2,

11、-a,fb+a2,b.又c,f在抛物线y2=2px(p>0)上,所以a2=2p×a2,b2=2pb+a2,由÷,得b2a2=2b+aa,即b2-2ba-a2=0,解得ba=1±2(负值舍去).故ba=1+2.16.(2014湖南,理16)在平面直角坐标系中,o为原点,a(-1,0),b(0,3),c(3,0),动点d满足|cd|=1,则|oa+ob+od|的最大值是. 答案:1+7解析:设动点d(x,y),则由|cd|=1,得(x-3)2+y2=1,d点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆.又oa+ob+od=(x-1,y+3),所以|oa+ob

12、+od|=(x-1)2+(y+3)2,故|oa+ob+od|的最大值为点(3,0)与(1,-3)之间的距离与1的和,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014湖南,理17)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品a,乙组研发新产品b.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品a研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品b研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期

13、望.分析:在第(1)问中,考虑到欲求概率的事件包含的互斥事件较多,因此可先求其对立事件的概率,再根据互为对立事件的概率之和为1,求得原事件的概率.在第(2)问中,先列出该企业所获利润的所有可能的取值,然后用相互独立事件的概率公式求出各个概率值,列出表格即得分布列,最后利用数学期望的定义求得期望值.解:记e=甲组研发新产品成功,f=乙组研发新产品成功.由题设知p(e)=23,p(e)=13,p(f)=35,p(f)=25,且事件e与f,e与f,e与f,e与f都相互独立.(1)记h=至少有一种新产品研发成功,则h=ef,于是p(h)=p(e)p(f)=13×25=215,故所求的概率为p

14、(h)=1-p(h)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为x(万元),则x的可能取值为0,100,120,220.因p(x=0)=p(ef)=13×25=215,p(x=100)=p(ef)=13×35=315,p(x=120)=p(ef)=23×25=415,p(x=220)=p(ef)=23×35=615,故所求的分布列为x0100120220p215315415615数学期望为e(x)=0×215+100×315+120×415+220×615=300+480+1 32015=2 10015=140.

15、18.(本小题满分12分)(2014湖南,理18)如图,在平面四边形abcd中,ad=1,cd=2,ac=7.(1)求coscad的值;(2)若cosbad=-714,sincba=216,求bc的长.分析:对于第(1)问,由已知acd中三边求角,很容易想到利用余弦定理进行求解.对于第(2)问,目标为求bc的长度,而bc是abc中的边.又ac已知,ac所对的角cba的正弦已知,所以联想到利用正弦定理来求,但需要bac的正弦值.而已知中有cosbad的值,发现bac=bad-cad,因此用两角差的正弦公式求得sinbac,从而问题得解.解:(1)如题图,在adc中,由余弦定理,得coscad=a

16、c2+ad2-cd22ac·ad.故由题设知,coscad=7+1-427=277.(2)如题图,设bac=,则=bad-cad.因为coscad=277,cosbad=-714,所以sincad=1-cos2cad=1-2772=217,sinbad=1-cos2bad=1-7142=32114.于是sin =sin(bad-cad)=sinbadcoscad-cosbadsincad=32114×277-714×217=32.在abc中,由正弦定理,bcsin=acsincba.故bc=ac·sinsincba=7×32216=3.19.(

17、本小题满分12分)(2014湖南,理19)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长都相等,acbd=o,a1c1b1d1=o1,四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形.(1)证明:o1o底面abcd;(2)若cba=60°,求二面角c1-ob1-d的余弦值.分析:在第(1)问中,从“四边形acc1a1,bdd1b1均为矩形”出发可证得四棱柱的一条侧棱与底面abcd的两条对角线垂直,则该侧棱与底面abcd垂直.而oo1与任一侧棱平行,因此可证得oo1底面abcd.在第(2)问中可利用两种方法求解,第1种方法为几何法,首先由点o1向二面角的棱b1o作垂线,再将垂足h与c1

18、连接,然后通过线面垂直的性质等证明c1ho1即为所求二面角的平面角,最后再在直角三角形中,通过三角函数求得二面角的余弦值;第2种方法为空间向量法,先根据条件证得ob,oc,oo1两两垂直,从而以o为原点建立空间直角坐标系,然后分别求出二面角的两个面的法向量,利用向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值.图(a)(1)证明:如图(a),因为四边形acc1a1为矩形,所以cc1ac.同理dd1bd.因为cc1dd1,所以cc1bd.而acbd=o,因此cc1底面abcd.由题设知,o1oc1c.故o1o底面abcd.(2)解法1:如图(a),过o1作o1hob1于h,连接hc1.由(1)知,o1o底面

19、abcd,所以o1o底面a1b1c1d1,于是o1oa1c1.又因为四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长都相等,所以四边形a1b1c1d1是菱形,因此a1c1b1d1,从而a1c1平面bdd1b1,所以a1c1ob1,于是ob1平面o1hc1,进而ob1c1h.故c1ho1是二面角c1-ob1-d的平面角.不妨设ab=2.因为cba=60°,所以ob=3,oc=1,ob1=7.在rtoo1b1中,易知o1h=oo1·o1b1ob1=237.而o1c1=1,于是c1h=o1c12+o1h2=1+127=197.故cosc1ho1=o1hc1h=237197=25719.

20、即二面角c1-ob1-d的余弦值为25719.图(b)解法2:因为四棱柱abcd-a1b1c1d1的所有棱长都相等,所以四边形abcd是菱形,因此acbd.又o1o底面abcd,从而ob,oc,oo1两两垂直.如图(b),以o为坐标原点,ob,oc,oo1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系o-xyz.不妨设ab=2.因为cba=60°,所以ob=3,oc=1,于是相关各点的坐标为:o(0,0,0),b1(3,0,2),c1(0,1,2).易知,n1=(0,1,0)是平面bdd1b1的一个法向量.设n2=(x,y,z)是平面ob1c1的一个法向量,则n2·ob

21、1=0,n2·oc1=0,即3x+2z=0,y+2z=0.取z=-3,则x=2,y=23,所以n2=(2,23,-3).设二面角c1-ob1-d的大小为,易知是锐角,于是cos =|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1|n2|=2319=25719.故二面角c1-ob1-d的余弦值为25719.20.(本小题满分13分)(2014湖南,理20)已知数列an满足a1=1,|an+1-an|=pn,nn*.(1)若an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(2)若p=12,且a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式.分析:对

22、于第(1)问,根据an是递增数列,可将已知|an+1-an|=pn的绝对值符号去掉.再根据a1=1,用p表示出a2,a3来,然后由条件a1,2a2,3a3成等差数列,建立关于p的方程求出p的值.对于第(2)问,可先由已知条件a2n-1是递增数列与a2n是递减数列建立不等关系,再依据已知条件|an+1-an|=pn得出a2n-a2n-1与a2n+1-a2n的表达式.最后利用累加法,求出an.解:(1)因为an是递增数列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解

23、得p=13,p=0.当p=0时,an+1=an,这与an是递增数列矛盾.故p=13.(2)由于a2n-1是递增数列,因而a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.但122n<122n-1,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.由,知,a2n-a2n-1>0,因此a2n-a2n-1=122n-1=(-1)2n22n-1.因为a2n是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故a2n+1-a2n=-122n=(-1)2n+122n.由,即知,an+1-an=(-1)n+12n.于是an=a1+(a2-a1

24、)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+12-122+(-1)n2n-1=1+12·1-12n-11+12=43+13·(-1)n2n-1.故数列an的通项公式为an=43+13·(-1)n2n-1.21.(本小题满分13分)(2014湖南,理21)如图,o为坐标原点,椭圆c1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,离心率为e1;双曲线c2:x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为f3,f4,离心率为e2.已知e1e2=32,且|f2f4|=3-1.(1)求c1,c2的方程;(2)过f1作c1的不垂直于y轴的弦ab,m为

25、ab的中点.当直线om与c2交于p,q两点时,求四边形apbq面积的最小值.分析:对于第(1)问,利用条件,结合平方关系将e1e2=32,|f2f4|=3-1表示成关于a,b的方程组,求解a,b的值,写出c1,c2的方程.对于第(2)问,求四边形apbq面积的最小值可建立函数求最值.设直线ab的方程为x=my-1,与c1的方程联立,运用根与系数的关系求出中点m的坐标.通过m的坐标,写出pq的直线方程,将其与c2联立,并用m表示出|pq|.再利用点到直线的距离公式求出点a,b到直线pq的距离,结合条件和根与系数的关系把距离用m表示出来,从而可将面积s表示为m的函数,最后利用分离常数法求最值.解:

26、(1)因为e1e2=32,所以a2-b2a·a2+b2a=32,即a4-b4=34a4,因此a2=2b2,从而f2(b,0),f4(3b,0),于是3b-b=|f2f4|=3-1,所以b=1,a2=2.故c1,c2的方程分别为x22+y2=1,x22-y2=1.(2)因ab不垂直于y轴,且过点f1(-1,0),故可设直线ab的方程为x=my-1.由x=my-1,x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0.易知此方程的判别式大于0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.因此x1+x2=m(y

27、1+y2)-2=-4m2+2,于是ab的中点为m-2m2+2,mm2+2,故直线pq的斜率为-m2,pq的方程为y=-m2x,即mx+2y=0.由y=-m2x,x22-y2=1得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=42-m2,y2=m22-m2,从而|pq|=2x2+y2=2m2+42-m2.设点a到直线pq的距离为d,则点b到直线pq的距离也为d,所以2d=|mx1+2y1|+|mx2+2y2|m2+4.因为点a,b在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,

28、从而2d=(m2+2)|y1-y2|m2+4.又因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=22·1+m2m2+2,所以2d=22·1+m2m2+4.故四边形apbq的面积s=12|pq|·2d=22·1+m22-m2=22·-1+32-m2.而0<2-m22,故当m=0时,s取得最小值2.综上所述,四边形apbq面积的最小值为2.22.(本小题满分13分)(2014湖南,理22)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-2xx+2.(1)讨论f(x)在区间(0,+)上的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,

29、且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.分析:对于第(1)问,先计算f'(x),再观察f'(x)=0是否有解,对a进行讨论.若无解,则直接判断f'(x)符号,得到单调性.若有解,求出(0,+)上的解,然后分析f(x)的单调性.对于第(2)问,结合第(1)问求出f(x)的极大值点和极小值点,从而把f(x1)+f(x2)用a表示出,再用换元法构造函数g(x),通过分析g(x)最小值的情况来求a的取值范围.在求解时,要注意对g(x)的定义域分段讨论.解:(1)f'(x)=a1+ax-2(x+2)-2x(x+2)2=ax2+4(a-1)(1+ax)(x+2)2.(*)当a1时,f'(x)&g