2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅲ卷)文

1、1 / 19 绝密 启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷,文) (本试卷共 4 页,23小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 a=1,2,3,5,7,11,b=x|3x0)交于 d,e 两点,若 odoe,则 c 的焦点坐标为 ( ) a.14,0 b.12,0 c.(1,0) d.(2,0) 8.点(0,-1)到直线 y=k(x+1)距离的最大值为( ) a.1 b.2 c.3 d.2 9. 右图

2、为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) a.6+42 b.4+42 c.6+23 d.4+23 10.设 a=log32,b=log53,c=23,则( ) a.acb b.abc c.bca d.ca0,b0)的一条渐近线为 y=2x,则 c的离心率为 . 15.设函数 f(x)=e+.若 f(1)=e4,则 a= . 16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60

3、 分。 17.(12分) 设等比数列an满足 a1+a2=4,a3-a1=8. (1)求an的通项公式; (2)记 sn为数列log3an的前 n项和.若 sm+sm+1=sm+3,求 m. 4 / 19 18.(12分) 某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级 0,200 (200,400 (400,600 1(优) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(轻度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0 5 / 19 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率;

4、 (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)若某天的空气质量等级为 1或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3或 4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的 22列联表,并根据列联表,判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关? 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附:k2=(-)2(+)(+)(+)(+), p(k2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 6 / 19 19. (12 分) 如图,在长方体 abcd

5、-a1b1c1d1中,点 e,f分别在棱 dd1,bb1上,且 2de=ed1,bf=2fb1.证明: (1)当 ab=bc时,efac; (2)点 c1在平面 aef内. 7 / 19 20.(12分) 已知函数 f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有三个零点,求 k的取值范围. 21.(12分) 已知椭圆 c:225+22=1(0m5)的离心率为154,a,b 分别为 c的左、右顶点. (1)求 c 的方程; (2)若点 p在 c 上,点 q在直线 x=6 上,且|bp|=|bq|,bpbq,求apq 的面积. 8 / 19 (二)选考题:共 1

6、0 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.选修 44:坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c的参数方程为 = 2-2, = 2-3 + 2(t为参数且 t1),c 与坐标轴交于 a,b 两点. (1)求|ab|; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 ab 的极坐标方程. 9 / 19 23.选修 45:不等式选讲(10 分) 设 a,b,cr,a+b+c=0,abc=1. (1)证明:ab+bc+ca0; (2)用 maxa,b,c表示 a,b,c中的最大值,证明:maxa,b,c43. 202

7、0 年数学(全国卷,文) 查缺补漏表 题组及考查题考查要点和核心素养 查缺10 / 19 主题 型 补漏 1(集合) 选择题 集合的基本运算(交集);数学运算 4,10,12,15,20 (函数与导数) 选择题 函数应用;数学建模 选择题 对数的性质与运算;数学运算 选择题 函数的性质;逻辑推理、数学运算 填空题 求函数的导数、利用某点处的导数值求解参数;数学运算 解答题 应用导数研究函数的单调性和零点、求参数的取值范围;数学抽象、逻辑推理、数学运算 5,11(三角函数 与解三角形) 选择题 三角恒等变换;数学运算 选择题 解三角形、三角公式;数学运算 6(平面向量) 选择题 平面向量的数量积

8、、轨迹与轨迹方程;数学运算、数学抽象 17(数列) 解答题 等比数列基本量的计算、等差数列的判断与求和公式的应用;数学运算 13(不等式) 填空题 线性规划;直观想象、数学运算 9,16,19 (立体几何) 选择题 三视图求表面积;直观想象、数学运算 填空空间图形的位置关系(球切接于圆锥)、球的体积;直观 11 / 19 题 想象、数学运算 解答题 空间线线垂直的证明、点线、面的位置关系;直观想象、逻辑推理、数学运算 7,8,14,21 (平面解析几何) 选择题 直线与抛物线的位置关系(相交)、抛物线的焦点;直观想象、逻辑推理、数学运算 选择题 点到直线的距离;直观想象、数学运算 填空题 双曲

9、线的渐近线与离心率;数学运算 解答题 求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;逻辑推理、数学运算 续 表 题组及考查主题 题型 考查要点和核心素养 查缺补漏 3,18(概率 与统计) 选择题 方差;数学运算 解答题 互斥事件的概率、均值估计、独立性检验;数学抽象、数学运算、数据分析 2(复数) 选择题 复数的运算(除法)、共轭复数;数学运算 22(坐标系 与参数方解答题 参数方程的应用、直角坐标方程转化为极坐标方程;数学运算 12 / 19 程) 23(不等式选讲) 解答题 重要不等式的应用、不等式证明;逻辑推理 【试题分析】 2020年全国卷文科数学,突出对基础知识(约占 40%)以及主干内容的

10、考查,如函数与导数(32分),立体几何(22分),平面解析几何(27分),概率与统计(17分),三角函数与解三角形(10分),数列(12分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第 4题以新冠疫情为背景,考查数学模型的建立与应用,突出了数学的实用性,考查学生的分析能力和提升学生的数学文化素养.第 18题以空气质量与健康锻炼设计问题,考查学生运用所学的概率与统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力,培养学生

11、的生态文明与健康观念. 1.b 根据交集的定义,ab=5,7,11.故选 b. 2.d 由(1+i)=1-i,知 =1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,则 z=i.故选 d. 3.c 设 x1,x2,xn的平均数为,方差为 s2,10 x1,10 x2,10 xn的平均数为,方差为 s2,则s2=1(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,=10,故 s2=1(10 x1-)2+(10 x2-)2+(10 xn-)2=1(10 x1-10)2+(10 x2-10)2+(10 xn-10)2=102s2,又 s2=0.01,故 s2=1000.01=1.故选 c. 4

12、.c 由1+e-0.23(*-53)=0.95k,得e-0.23(*-53)=119,两边取以 e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln 19-3,所以 t*66. 5.b 根据两角和的正弦公式展开得 sin +sin +3=sin +12sin +32cos =32sin +32cos =1,即3sin +6=1,解得 sin +6=33.故选 b. 6.a 以 ab所在直线为 x轴,线段 ab的垂直平分线为 y轴,建立平面直角坐标系. 13 / 19 设 a(-a,0),则 b(a,0),c(x,y),则 =(x+a,y), =(x-a,y),由 =1,得(x+a)(x-a)+y2

13、=1,整理得x2+y2=a2+1,即点 c的轨迹为圆.故选 a. 7.b 抛物线 c关于 x轴对称,直线 x=2垂直于 x轴, 又 odoe, ode是等腰直角三角形. 不妨设点 d在第一象限,则点 d的坐标为(2,2),将其代入 y2=2px,得 p=1,所以抛物线 c的焦点坐标为12,0 . 8.b 直线 y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线 y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线 y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1)和(-1,0)两点之间的距离,为2.故选 b. 9. c 由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为 2的

14、正方体一角,其表面积为31222+122222sin 60=6+23. 10.a 32a=32log32=log3223=log981, a1,b23. 又 c=23,ac400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 根据列联表得 k2=100(338-2237)2554570305.820. 由于 5.8203.841,故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.证明 (1)如图,连接 bd,b1d1. 因为 ab=bc,所以四边形 abcd为正方形,故 acbd. 17 / 19 又因为 bb1平面 abcd,于是 acbb1. 所以 ac平面

15、 bb1d1d. 由于 ef平面 bb1d1d,所以 efac. (2)如图,在棱 aa1上取点 g,使得 ag=2ga1,连接 gd1,fc1,fg. 因为 d1e=23dd1,ag=23aa1,dd1aa1,所以 ed1ag,于是四边形 ed1ga为平行四边形,故aegd1. 因为 b1f=13bb1,a1g=13aa1,bb1aa1,所以 fga1b1,fgc1d1,四边形 fgd1c1为平行四边形,故 gd1fc1. 于是 aefc1. 所以 a,e,f,c1四点共面,即点 c1在平面 aef内. 20.解 (1)f(x)=3x2-k. 当 k=0时,f(x)=x3,故 f(x)在(-

16、,+)单调递增; 当 k0,故 f(x)在(-,+)单调递增. 当 k0时,令 f(x)=0,得 x=33. 当 x -,-33时,f(x)0; 当 x -33,33时,f(x)0. 18 / 19 故 f(x)在 -,-33,33,+ 单调递增,在 -33,33单调递减. (2)由(1)知,当 k0时,f(x)在(-,+)单调递增,f(x)不可能有三个零点. 当 k0时,x=-33为 f(x)的极大值点,x=33为 f(x)的极小值点. 此时,-k-1-3333k+1且 f(-k-1)0,f(-33)0. 根据 f(x)的单调性,当且仅当 f(33)0,即 k2-2390时,f(x)有三个零

17、点,解得 k0,由题意知 yp0. 由已知可得 b(5,0),直线 bp的方程为 y=-1(x-5), 所以|bp|=yp1 + 2,|bq|=1 + 2. 因为|bp|=|bq|,所以 yp=1,将 yp=1代入 c的方程,解得 xp=3或-3. 由直线 bp的方程得 yq=2或 8. 所以点 p,q的坐标分别为 p1(3,1),q1(6,2);p2(-3,1),q2(6,8). |p1q1|=10,直线 p1q1的方程为 y=13x,点 a(-5,0)到直线 p1q1的距离为102,故ap1q1的面积为12102 10 =52. |p2q2|=130,直线 p2q2的方程为 y=79x+103,点 a到直线 p2q2的距离为13026,故ap2q2的面积为1213026 130 =52. 19 / 19 综上,apq的面积为52. 22.解 (1)因为 t1,由 2-t-t2=0得