2020年黑龙江省大庆一中高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

1、第1页，共16页2020 年黑龙江省大庆一中局考数学二模试卷（二）、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）a. (0, +8)c.( 0) u (0, +00)c. ab8于 a, b 两点，若 |af2|+|bf2|的最小值为 13, 则双曲线的离心率为（）7 .我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们. 定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题: 将 1 到 2019 这 201

2、9 个整数中能被5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an,那么此数列的项数为（）a. 58 b. 59 c. 608 .执行下面框图对应的程序，输出的s=9,则判断框内应填入的条件是（）a. i 49 b. i49? c. i99 d. i99? 1. 已知集合 a= x|y= , b=x|y=log2x-1) , 则 aub=( 2. 已知 z= fu li 为虚数单位，则忆尸3. a. b. 1 c.1 d. 2 设 a, b 为正数，且a+b0, a8?a90 的 n 的最小值5. 6. 为（）a. 8 b. 9 c. 15 d. 16 已知函数 =1

3、。 21 谷+ mi 是奇函数，则实数a. -2 b. -1 c. 1 m=( d. 2 设 fi, f2是双曲线 =1 （b0）的左，右焦点，过fi的直线 1 交双曲线的左支b. (-8, 0) d. r -3 i第2页，共16页9 .已知函数 ( x) =ex+*+2 ( 其中 xe 为自然对数的底数 ) ，则下列说法错误的是( ) a.函数 f (x)的图象关于 y 轴对称b.函数 f (x)的极小值为 4 c.函数 f (x)在 r 上为增函数d.函数 y=exf (x)的值域为 ( 1, +8)球。的球面上，且sa 恰为球。的直径，则三棱锥s-abc 的体积为 ( ) d.，11 .

4、 已知 xi, x2是函数 / = + +桁(a, b cr) 的两个极值点，且xi c (0,1),x2? (1, 2), 则 a2+ (b-4) 2的取值范围是 ( ) a. (；：, 十 0)b. (17,20)c. (13, 20) d. (1, 20)一12 . 已知点 p 是椭圆m：、+=1 上的动点，过p 作圆n：x2+y2=1 的两条切线 pa, pb (a, b 分别为切点) ，直线ab 与 x, y 轴分别相交于c, d 两点，则 acod (。为 坐标原点 ) 的最小面积为 ( )a. 1b. i c. dd.之二、填空题 ( 本大题共4 小题，共 20.0 分) 用f

5、f if f13 .已知向量 尸(m, 8), 广(3, -2), 且( “ +)4,，则实数 m=. 14 .已知直线 1： ax+by-3=0 与圆m：x2+y2+4x-1=0 相切于点 p(-1, 2), 则直线 1 的 方程为 .15 .在正项等比数列 an中， an+1 0) 的焦点为 f,直线 l: y=kx+b (bw 。与 c 相交于 a, b 两点.(1)记直线 oa, ob 的斜率分别为ki, k2,求证： ki+k2=k; (2)若抛物线 c 上异于 a, b 的一点 p(x0, 2) (x00)到 c 的准线的距离为i，且 zapb=90 , 问：直线 l 是否恒过定点

6、？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量( 单位：克 )，重量值落在 ( 495, 510 的产品为合格品，否则为不合格品. 表 1 是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图 . 表 1 :甲流水线样本频数分布表18. (2)在线段 bc 上是否存在一点m,使得点a 到平面 efm 的距离 为！， 若存在 , 19. 20. 第4页，共16页产品重量 ( 克)频数(490, 495 6 (495, 500 8 (500, 505 14 (505, 5

7、10 8 (510, 515 4 p (k2法)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 函到金621 . 已知函数 f (x) =ex+ax+a, 其中 acr, e 为自然对数的底数 .(1)讨论 f (x)的单调性；(2)当 a0 成立.求 a 的取值范围；证明： 1 + +*ln (n+1) (nen ). 22 .在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 已知甲流水线乙流水线合计合格品a= b= 不合格品c= d= 合计n=

8、(1)根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1 件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据完成下面2x2 列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.参考公式 : _ 碗 _ 其中n=a+b+c+d;临界值表供参考: 第5页，共16页凡x =-2 + yt曲线 c： p2-2ap cos a2-4=0 (a0) , 过点 p(-2,-4) 的直线 e 的参数方程一 十日(t 为参数 ) ，直线与曲线c 分别相交于 m、n 两点. (1)写出曲线 c 的直角坐标方程和直线

9、w 的普通方程；(2)是否存在实数a,使得 |pm|、|mn| 、|pn| 成等比数列，并对你的结论说明理由. 23.已知函数f (x) =|x+a|, acr. (1)若 a=1,解不等式f (x) 3|x-2|；(2)若关于 x 的不等式 f (x) w5 的解集为卜 9, 1,且& +5=a (m0, n0), 求证： m+2nl.第6页，共16页答案与解析1 . 答案：c 解析：解： a=x|xv 0, b=xx0)；. a ub= (-8, 0) u (0, +0). 故选： c.可解出集合 a, b, 然后进行并集的运算即可. 考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及

10、并集的运算. 2 . 答案：a解析：解： z= 故忆勺 +故选： a.求出 z,求出 z 的模即可 . 本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题. 3 . 答案：c解析：【分析】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题. 根据基本不等式即可求出. 【解答】解：设 a, b 为正数，且 a+bnq 砺，.ab ( 等2w4 当且仅当 a=b=2 时取等号，故选： c.4 . 答案：d解析：解： . 数列an是等差数列， ai0, a8?a90. . 380, . -8d 0 的 n 的最小值为 16.故选： d.推导出 -8dva1- 7d,从而 5“ = mii +三( 手 d, 甘

11、“),由此能求出使sn0 的 n 的最小值 . 本题考查使等差数列的前n 项和最小时n 的值的求法，考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 5 . 答案：b解析：【分析】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题. 根据奇函数的定义得f (-x) +f (x) =0恒成立 .第7页，共16页【解答】解：依题意： f (-x) +f (x) =log2 ( j；+ m) +log2 ( ,+m) =0恒成立 , 即(m+j：i) (m+jj =1 , 即 (m+1) +m2-i=0, (m = -1=0,解得m=-1故选： b.6 . 答案：a解析：解：如图

12、，根据双曲线的标准方程】一二 1(b0), 得 a=2, 由双曲线的定义可得：|af2haf1|=2a=4 ，|bf2|-|bf1|=2a=4 ， + 可得： |af2|+|bf2|- (|afi|+|bfi|) =8, ?. 过双曲线的左焦点fi的直线交双曲线的左支于a, b 两点，?|afi|+|bfi|=|ab|, 当|ab|是双曲线的通经时ab|最. |af2|+|bf2|- (|af1|+|bf1|) =|af2|+|bf2|-|ab|=8. |bf2|+|af2|=|ab|+12 %+8=13. 解得 b=i5,则 e=：l-r ，故选： a.根据双曲线的标准方程可得a=2, 再由

13、双曲线的定义可得rf2|-|af1|=2a=4,|bf2|-|bf1|=2a=4, 得到 |af2|+|bf2|- ( |afi|+|bfi|) =8,再根据a、b 两点的位置特征得到本题考查两条线段和的最小值的求法，解题时要合理运用双曲线的简单性质，是中档题 . 7 . 答案：a 解析：【分析】由数能被 5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被35 整除余 2 的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数. 本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基本知识的考查. 【解答】解：由数能被5 除余 2 且被 7 除余 2 的数就是能被

14、35 整除余 2 的数，故 an=2+ (n-1) 35=35n-33. 由 an=35n-3349?故选： b.首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质. 然后对循环体进行分析，找出循环规律 . 判断输出结果与循环次数以及i 的关系 . 最终得出选项本题考查程序框图，尤其考查循环结构. 对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律. 本题属于基础题9 . 答案：c解析：解：根据题意，依次分析选项：对于 a, f (x) =ex+-+2, 则 f (-x) =e-x+ex+2=f (x), 函数 f (x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称， a 正确；对于 b, f (x) =ex+j+2,

15、 其导数f (x) =ex-e-x=ex-,若 f (x) =0, 解可得x=0, 且当 xv。时， f (x) 0 时， f ( x) 0, 则函数 f (x)的极小值为 f (0) =4, b 正确；对于 c,有 b 的结论， c 错误；对于 d,函数 y=exf (x) =e2x+2ex+1= (ex+1) 21,其值域为 ( 1, +0 ) ； d 正确；故选： c. 根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及复合函数的单调性的判断，属于基础题. 10 . 答案：c解析：【分析】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面

16、间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题. 推导出zabs=zacs=90 , sb=sc=v15, bc= /3 ,取 bc 中点 o,连结 so, ao, 则 so ibc, aoxbc, ao=；, bo= y, so 岑，从而 cos/sao =，进而 /sao=60, s 至 u 平面 abc 的 距离d=sakin60 =2民 由此能求出三棱锥s-abc 的体积 .解： . ? 在三棱锥s-abc 中，sa=4, ab=ac=1, /bac=y, =-x （ 1- - -2i 3 十3 52i-l 2i +第9页，共16页s, a, b, c 四点均在球

17、。的球面上，且sa 恰为球。的直径 , zabs=zacs=90 , sb=sc=.jt, bc=j1 4- l-2x 1 x 1 x 85 于桐, 取 bc 中点 o,连结 so, ao, 贝 u so1bc, ao ibc, ao= , bo=g,so=j51=嚷.3 到平面 abc 的距离 d=saxsin60 =4 *=知 3?三棱锥&abc 的体积：v=i x 睦僦菖d=； x ； 乂、回乂； x故选： c.11. 答案：d解析：【分析】本题考查导数知识的运用：求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 . 求导函数，利用f (x)的两个极值点分别是xi, x

18、2, xic (0, 1) , x2c (1, 2),建立不等式，利用平面区域，即可求a2+ (b-4) 2的取值范围 . 【解答】解：由题意， f (x) =x2+ax+b. 曾(x)的两个极值点分别是x1, x2,x1 ? ( 0, 1) , x2 ? 11 , 2), 1 /(0) = b u(1) = 1 + n + 3 u三个顶点坐标为a (-3, 2) , b (-2, 0) , c (-1, 0), 则在 (-2, 0) 处， a2+ (b-4) 2=20, a2+ (b-4) 2的最小值为：(0, 4) 点至 ij 1+a+b=0, 距离的平方，, coszsao= 一. 二：

19、,zsao=60 , 对应的平面区域如图所示,第io页，共16页即 d= (x)号.?a2+ (b-4) 2的取值范围是4，20. 心故选： d.12 . 答案：d 解析：解：根据题意，设a (xi, yi) , b (x2, y2), p (xo, yo),pa 是圆的切线且切点为a,则 pa 的方程为 xix+yiy=1 , 同理 pb 的方程为 x2x+y2y=1, 又由 pa、pb 交于点p,则有 xixo+yiyo=1 , x2xo+y2yo=1 , 则直线 ab 的方程为 xx+yoy=1 , 则 m 的坐标为(lo), n 的坐标为(0,2),saomn=y|qm|qn|=,?|

20、 |, * n又由点p是椭圆 m: l+9 的动点，则 有鼾 f saqmn=|qm|qn|=? 底即 zqmn 面积的最小值为故选： d.根据题意，设a (xi, yi) , b (x2, y2), p (xo, yo), 由圆的切线方程可得pa、pb 的方程，而 pa、pb 交于 p (xo, yo), 由此能求出ab 的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值 . 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆的切线方程，关键是由圆的切线方程分析得到直线 ab 的方程 . 13 . 答案：1 解析：解： a + 6 = gn + 3, 6);e = 3(m + 3)-12 = 0;

21、. m=1. 故答案为： 1.可求出 + = (m + 3, 6), 根据( ；+? 1匕即 可得出 苗+幼 b=0 ,进行数量积的坐标运算即可求出m.考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算. 14 . 答案：x+2y-3=o 解析：解：根据题意，圆m: x2+y2+4x-1=o, 即(x+2) 2+y2=5,其圆心m (-2,。) ，直线 1 ： ax+by-3=o 与圆 m： x2+y2+4x-1=o 相切于点 p (-1, 2), 则 p 在直线 l 上且 mp 则有 1 = ：2+，12 摩寸 1in器=jxoyo|,即 |xoyo| w4 第11页，共16页与直线 l 垂

22、直 , kmp=1 h ?7.=2，则有 7=-7, 则有b=2a, 又由 p 在直线 l 上，则有 -a+2b-3=0, 解可得 a=1, b=2, 则直线 l 的方程为 x+2y-3=0 ；故答案为： x+2y-3=0 . 根据题意，分析圆的圆心与半径，又由直线1： ax+by-3=0 与圆 m ： x2+y2+4x-1=0 相切于点p (-1, 2), 则 p 在直线 l 上且 mp 与直线 l 垂直，据此可得b=2a 且-a+2b-3=0, 解 可得 a、b 的值，代入直线 l 的方程即可得答案 . 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题. 15 . 答案：；解

23、析：解： . 数列 an是正项等比数列 , 且 a2?a8=6, a4+a6=5,? a4a6=a2a8=6, a4+a6=5, 联立得a4=2, a6=3 或 a4=3, a6=2, .an+1 4 时，f (x)=；,-m其最小值为 2,综上所述 f (x)的最小值是 1,故答案为： 12 i . . . . . 分力回出 y=l, y=j, y=log2x 的图象，分别求出最小值，比较即可. 故答案为 :第12页，共16页本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察求函数最值是关键. 17. 答案： ( 本题满分为 12 分) 解：(1) .2acosc=2b-c. 由正弦定理，

24、2sinacosc+sinc-2sinb=0, .sinb=sin (a+c) =sinacosc+cosasinc, . 代入上式，得sinc-2cosasinc=0,即 sinc (1-2cosa) =0, ?cc (0, 兀) ，得 sinc0, .1-2cosa, 得 cosa=. 结合 a 为三角形的内角，可得a.; 6分(2).a2=b (b+c), 又 a 二；, 由余弦定理可得： a2=b2+c2-bc,. ? 可得： b (b+c) =b2+c2-bc,可得： c=2b, a2=b (b+c) =3b2, . c2=a2+b2,可得 aabc 为直角三角形. 12 分解析：(

25、1)用正弦定理化简已知等式，结合诱导公式和两角和的正弦公式化简整理得sinc (1-2cosa) =0, 再由 sinc0, 解出 cosa=：,可得 a= ；(2)由已知及余弦定理可得：a2=b2+c2-bc,结合已知等式可求c=2b, a2=3b2,可得c2=a2+b2,利用勾股定理即可判断三角形的形状. 本题主要考查了正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握和应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题. 18. 答案：(1)证明：连接 bd,取 bd 的中点 p, gp, . p, g 分别是 bd, bc 的中点， e, f 分别是 sa,

26、 点，. pgqd, ef/ab, 又 ab /cd, . ef/pg, . pg? 平面 efg, .f, p 分别是 sb, bd 的中点，. sd/fp, 又 sd?平面 efg, fp? 平面 efg , . sd 呼面efg . (2) 解： -.sa1：面abcd, cd? 平面abcd , . sa cd, 又adjcd, saasa=a, . cd 面sad, .cdsd, ?. da为二面角 s-dc-a 的平面角，即 /sda=：, . sa=ad=2 , 以 a 为坐标原点建立如图所示的空间坐标系如图所示：设 bm = a, 则 a (0, 0, 0) , e (0, 0

27、, 1) , f (-1, 0, 1) , m (-2, a, 0), ef= (-1, 0, 0) , fm=(-2，a，-1) ，/e=(0，0, 1) . j f = 0 n ef设平面 efm 的法向量为h= (x, y, z), 则：j - = 0,n em11) . |-2x + ay-z = (1,令 z=1 可得(0, 第13页，共16页a 到平面 efm 的距离 dn/lcosv 怔， *-j a1解得 a=l. ?.0vav2, ?线段 bc 上是否存在一点m,使得点 a 到平面 efm 的距离为，且汾阳解析：(1)连接 bd,取 bd 的中点 p,连接 fp, gp, 可

28、证 pg?平面 efg, pg/sd, 故而结论成立；(2)设 bm=a, 建立坐标系，利用向量求出a 到平面 efm 的距离，解方程得出a 的值, 得出结论 . 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题. 19 . 答案：证明：(1)：设 a (xi, yi) , b(x2, y2), 由；; 消 y 可得 x2-2pkx-2pb=0, =2k-k=k, 即：ki+k2=k. 得证.解：(2)抛物线 c 上异于 a, b 的一点 p (xo, 2) (xoo) 至 u c 的准线的距离为2+先，p=1, -x2=2y, . xo=2, p

29、 (2, 2). 设 a(x1 , yi) , b (x2, y2), 由( 1)可得 xi+x2=2k, xix2=-2b, . yi+y2=k (xi+x2)+2b=2k +2b, yiy2=k2xix2+kb (xi+x2) +b2=b2, ? ? 出 pb=90 ; ?xp?二。，(2-xi, 2-yi) ( 2-x2, 2-y2)= (2-xi) ( 2-x2) + (2-yi) ( 2-y2) =4-2 (xi +x2) +x1x2+4-2 (yi+y2)+yiy2=0, 即 8-4k-6b-4k2+b2=0, 即( 2k+1) 2=(b-3) 2, . b=-2k+2 或 b=2

30、k+4, 当 b=-2k+2 时， y=kx-2k+2, 即 y-2=k (x-2), 此时过点 (2, 2), 与点 p 重合，不合题意，舍去；当 b=2k+4 时，y=kx+2k+4, 即 y-4=k (x+2), 此时过点 ( -2, 4), 符合题意 .综上所述直线过定点( -2, 4).解析：(1)设 a (xi, yi) , b (x2, y2),根据韦达定理和斜率公式即可证明；(2)先根据抛物线的定义求出p=1, 再根据 zapb=90 。和韦达定理即可得到b=-2k+2 或b=2k+4, 分类讨论即可求出直线过定点本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的

31、运用，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题. 20 . 答案：解：(1)根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分步直方图，甲流水线样本的频率分布直方图如下：可得 xi +x2=2 pk, xix2=-2pb, =2k+b 第14页，共16页(2)由图知，甲样本中合格品数为30,合格品的频率为：；=0.75, 乙样本中合格品数为(0.06+0.09+0.03) 5x40=36,合格品的频率为 .=0.9, 据此可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率分别为0.75、0.9;(3) 2x2 列联表如下甲流水线乙流水线合计合格品30 36 66

32、不合格品10 4 14 合计40 40 80 .2 eox(i2o-3t.oy k = - ?“ x m x 40 x 讨3.117 2.706.? 有 90% 的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关. 解析：(1)根据所给的每一组的频数和样本容量做出每一组的频率，在平面直角坐标系中做出频率分布直方图. (2)根据所给的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从甲、乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；(3)根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，得到有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择

33、有关 . 本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关 . 21 . 答案：解：(1) f (x) =ex+a. a0 时，f (x) 0, 函数 f (x)在 r 上单调递增 .a0 时，令ex+a=0, 解得 x=ln (-a). 则函数 f (x)在( -8, ln (-a)单调递减，在 (ln (-a) , -oo)单调递增 .第15页，共16页(2)由(1)可得： a q 即 in (-a) 0, 解得 0v-awi, 解得 -1 念0, 则 g (x)在 xe(0, 1)单调递增， g (x) g(0)=0. . xln (x+1) , xc (0, 1)恒成立 .令 x= 1.1 . 一、 ,，一，. ln (1+ ) =ln (n+1) -inn. .li . *、. 1 + , -+jin2-l