2020年高中数学方法数形结合技巧

1、高中数学思想运用 - 数形结合 -联想为媒实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式(x 2)2 (y 1)2 4 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视

2、野。例 1. 已知0 a 1,则方程a|x|logax|的实根个数为()a. 1 个 b. 2 个 c. 3 个 d. 1 个或 2 个或 3 个分析：判断方程的根的个数就是判断图象y a|x1与y |logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2 个实根，选 (b)。x2 bx c x 0 例 2、设函数f(x) ，若f(4) f(0), f( 2) 2则关于x的方程2 x 0 f (x) x的解的个数为 ( ) a. 1 b. 2 c. 3 d. 4分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！如能联想图形的交点进行数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。2 f(

3、4) f (0), y x bx c 的对称轴为x 2 即b 2 b 4 又f ( 2 从而作出y f(x)及y x的图象 , 2) ( 2)2 2b c 2 c 2 可知方程有3 个解。例 3. 解不等式x,x 2 x 解：法一、常规解法：x 0 原不等式等价于(i) x 2 x 2 0 或(ii) 2 x 2 0 x 在丫2x的上方的那段对应的横坐标, 如下图，不等式的解集为x|xa x xb而xb可由vx 2 x,解得，xb 2, xa 2, 故不等式的解集为x| 2 x 2 olg x 1 x 1 例 4、设定义域为r函数f(x) y, 则关于x的方程0 x 1 f2(x) bf(x)

4、 c 0有 7 个不同实数解的充要条件是( ) ab 0,c 0 b,b 0,c 0 cb 0,c 0 d.b 0,c 0 分析：同上题方法，联想图象的交点，由f(x)的图象可知要使方程有 7 个解，应有f(x) 0有 3 个解，f(x) 0有 4 个解。c 0,b 0 故选 (c) 二、联想绝对值的几何意义例 1、已知c 0,设p：函数y cx在r上单调递减，q：不等式x |x 2c 1的解集为r,如果p与q有且仅有一个正确，试求c的范围。分析：由x |x 2c的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定c的范围。避免繁琐的运算。q :不等式|x x 2c| 1的几何意义

5、为：在数轴上求一点p(x),使p到a(0), b(2c)的解（i）,得0 x 2;解（ii）,得2 x 0 综上可知，原不等式的解集为x| 2 x法二、数形结合解法：令y1 x2, y2 x,则不等式x2 x的解，就是使y1 xix2的图象1 距离之和的最小值大于1, 而p到ab二点的最短距离为ab 2c 1,即c 而p ：函数y cx在r上单调递减，即c 1点到复数2 +2i对应的点之间的距离，因此满足|z (2 2i)|啦的复数z对应点z,在以(2, 2)为圆心，半径为j2的圆上， ( 如下图) ，而|z|表示复数z对应的点z到原点o的距离，显然，当点z、圆心c、点o三点共线时，|z|取得

6、最值，|z|min 2, |z|max 3尬,：|z|的取值范围为j2, 32 三、联想一次函数例 1、对任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的问题。解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4 , 则原问题转化为f (a) 0恒成立(a 1,1)。当x 2时，可得f (a) 0,不合题意。f (1) 0 当x 2时，应有解之得x 1或x 3。f( 1) 0 故x的取值范围为( ，1) (3,) 。1, b 1,

7、c 1,求证：(1)abc 2 a b c;(2)ab bc ca 1 练习：已知由题意可得：0例 2.已知复数z满足|z分析：由于忆2 2i| |z分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成常数，构造一次函数f(x) (bc 1)x b c 2 而f( 1) (bc 1) b c 2 4 (b 1)(c 1) b 1, c 1 0 b 1 2,0 c 1 2 0 (b 1)(c 1) 4 又f(1) bc 1 b c 2 (b 1)(c 1) 0 *) 在1,1上恒大于0又a 1, f (a) 0即(bc 1)a b c 2 0 abc 2 a b c (2)令g(

8、x) (b c)x bc 1 同理可得g( 1) 0, g(1) 0 从而g(x)在1,1上恒大于0 a 1, g(a) 0即(b c)a bc 即ab bc ca 1 四、联想二次函数例 1、已知关于x的方程x2 4x 5 m有四个不相等的实根，则实数分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设yx2 4x 5,y2 m。又y1为偶函数，由图可知1 m 5 五、联想反函数的性质例 1、方程2x x 3, log 2 x x 3的实根分别为x1, x2 ,贝u x1 x2 = 分析：本题x1,x2不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合, 以数助形

9、可巧妙求解令y2x, y2 log 2 x, y3 3 x y1，y2互为反函数，其图象关于y x对称，设a(x1,3 x1)，b(x2,3 x1 3 x2 即xi x2 3 六、联想斜率公式例 1. 求函数y sinx 2的值域。cosx 2 sin x 2 一解法一 ( 代数法 ) ：则y - 得ycosx 2y sinx 2 , cosx 2a看成变元，b, cf( 1) 0 m的取值范围为sin x ycosx 2y 2, y21sin(x ) 2y 2 sin(x 、2y 2 ) , 而|sin(x y2 1 ?.| 2y-2| ,y21 1,解不等式得4 7 3：函数的值域为4 7

10、 3 )1y解法二（几何法）：sin x y - 2的形式类似于斜率公式cosx 2 y2 y1 x2x1 y sinx 2表示过两点po (2, cosx 2 2), p(cosx, sin x）的直线斜率由于点p在单位圆x2 y21上, 如图，显然kpoa y kpb 设过p0的圆的切线方程为k(x 2) 则有12 k_2| 1,解得k ,k2 1 ; 即kp0a4 .7 - ，3 函数值域为例 2. 如果实数x、y满足（x c 2 2 2) y 3,则上的最大值为（） xa.1 b 3 b. 3 。3 c.2 d.、.3 分析：等式（x2)2 y23有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个

11、圆, 圆心为（2, 0）,半径r v3, （如图），而上匚0则表示圆上的点（x, y）与坐x x 0 标原点(0, 0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点a在以(2, 0)为圆心，以v3为半径的圆上移动，求直线oa的斜率的最大值，由图可见，当 / a在第一象限，且与圆相切时，oa的斜率最大，经简单计算，得最大值为tg60 j32例 3、头系数方程x ax 2b 0的一根在 0 和 1 之间，另一取值范围。分析：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！数) 特征，联想二次函数性质及b_2的几何意义来求解，以形助数，a 1f(0) 0 b令f(x) x2 ax 2

12、b,则由已知有f (1) 0得到1 af(2) 0 2 a这个二e-次不等式组的解为abc内的点(a,b)的集合由b2的几何意义为过点(a, b)和点d(1,2)的直线的斜率b 2 ,根在 1 和 2 之间，求 - 的a 1彩结合由_b_2 的结构a 1则简洁明了。0 _ 2b 0b0由此口以后出 . kad k4 a 1例 10、计分析：本/bd 1即 - 的取值范围是 ( 一,1)。a 1 4隹 sin 20 sin40算： - cos20 cos40题直接用三角公式计算较繁！如能由?_sjn20_sin40的结构形式联想斜率公式，数u 形结合，本式可以看成a(cos40 ,则aob 20

13、 , oab则moa oabtan tan120%七、联想两点间的距离公式j cos20 cos40一一一以形助数，即可巧妙探求。sin 40 ), b(cos20 ,sin20 )二点连线的斜率，如图，借助单位圆, 80 , mob 20 , moa 40 , 设ab 倾斜角为1203q二例 1、设f(x) ，1 x2,a,b r且a b,求证：f(a) f(b) a b 分析：本题直接证明较繁！如能由f(x) j1 x2的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。a b,不妨设a b,构造如图的rt oap ,其中op 1,oa a

14、,ob b 则pa 1 a2 f(a),pb ,1 b2f(b),ab a b 在rt oap 中，有pa pb ab f (a) f (b) a b 八、联想点到直线的距离公式2 2 例 1、已知p是直线3x 4y 8 0上的动点，pa, pb是x y 2x 2y 1 0的两条切线，a,b是切点，c是圆心，求四边形pacb面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。2 1|pa ac pa pc21 pc最小，即定点c到定直线上动3 1 4 2 而d - .32 42 3(spacb) min例 2、方程,2(x 1)2 2(y 1)2 x y

15、 2表示的曲线是分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。原方程可化为：v(x 1)2(y 1)2 -yj工2 即动点p(x, y)到定点(1,1)的距离与到定直线x y 2 0的距离相等方程2(x 1)2 2(y 1)2 |x y 2表示的曲线是抛物线九、联想直线的截距即点c (1,1)到直线3x 4y 8 0的距离 ,spacb 2s pac 要使面积最小，只需点p距离最小即可例 1、已知x, y r且x2 y23(y 0),b 2x y ,求b的取值范围。分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。且在y轴上的截距

16、最大或最小, 截距。转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解2 b可看作斜率为 -2 , 过半圆x的直线在y轴上的截距，由图可知: p2c:y 2(x j3)令x 0 pib:2x y c 0,则圆心到即n1 . 15 2 3 b 注：本题也可用三角换元。2 例 2. 已知x, y满足16 2 y 1,求y 3x的最大值与最小值25 分析：对于二元函数2 3x在限定条件x16 2 y 1下求最值问题，常采用25 构造直线的截距的方法来求之。令y 3x b,则y 3x b, 原问题转化为：在椭圆2 x 16 2 y 25 1上求一点，使过该点的直线斜率为3

17、, 由图形知，当直线y3x b与椭圆16 2 y 1相切时，有最大截距与最小25 y 2 x 16 3x b 2 y 1 25 169x2 96bx 16b2 400 例 3.分析: 0,得b 求函数u 13, 故y 3x的最大值为j2t 4 疵一f的最值。由于等号右端根号内t同为t的一次式 , 13,最小最为故作简单换元13。,2t 4 m,无法法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设x v-2t 4, y j6 t,则u x y 且x2 2y216(0 x 4, 0 y 2匿)显然b的最小逼近值为3,最大值为3v2,即3 b 3/2十、联想函数奇偶性1 例 1、设y

18、f(x)是定义在r上的奇函数，且y f(x)的图象关于直线x 2对称，则2 f(1) f(2) f (3) f(4) f(5) 分析：本题由于y f(x)不明确，故f(x)的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性所给函数化为以u为参数的直线方程y xu,它与椭圆x22y216ft 第一象限的部分 (包括端点 ) 有公共点 , ( 如图) umin 2.2 相切于第一象限时 , u 取最大值2y u 216 3x24ux 2 2u216 2.6,取u 2.6 例 4. 若集合m(x, y) x 3 cos (0 y 3sin 集合n (x, y)|y x b 且m nw , 则b的取值范围为分

19、析：m (x, y)|x2y29, 0 y 1,显然，m表示以(0, 0)为圆心 ,以 3 为半径的圆在x 轴上方的部分 , ( 如图) ，而 n则表示一条直线，其斜率k=1 , 纵截距为b,由图形易知，欲使mnw ，即是使直线y x b与半圆有公共点 , q1 一于直线x 对称，f 02 同理：f(3) f(4) f(5) 0 卜一、联想函数的单调性, 利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻a b e 2, ab ba bln a alnb ln x 考虑函数f (x) 在(e,)上的单调性xf/(x) na 当x etf/(x) 0 x in x 4 _、上ln a in

20、 b b , a 即f (x) - 在(e, )上单倜递减，- - a b x a b 十二、联想定比分点坐标公式例 1、已知y f(x)是定义在r上的单调函数，实数xi x2, 1, x公1 2x1，若f(x1) f(x2) |f( ) f(),则()1 a. 0 b. 0 c. 0 1 d. 1若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。不妨设a(x1,0),b(x2,0),c( ,0), d( ,0),易知c,d为有向线段ab的分点 ,可知c,d为有向线段ab的外分点 , 十三、其它简单方法：例 1. 若关于x的方程x2 2kx 3k 0的两根都在分析：令f(x) x2 2kx 3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方程f