2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)理

1、大纲全国理科一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合a=1,2,3,b=4,5,m=x|x=a+b,aa,bb,则m中元素的个数为(). a.3b.4c.5d.6答案:b解析:由题意知x=a+b,aa,bb,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合m共有4个元素.故选b.2.(2013大纲全国,理2)(1+3i)3=().a.-8b.8c.-8id.8i答案:a解析:(1+3i)3=1+3·3i+3(3i)2+(3i)3=-8.故选a.3.(2013大纲全国,理3)已知向量m=(+1,1),n=

2、(+2,2),若(m+n)(m-n),则=().a.-4b.-3c.-2d.-1答案:b解析:由(m+n)(m-n)|m|2-|n|2=0(+1)2+1-(+2)2+4=0=-3.故选b.4.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().a.(-1,1)b.-1,-12c.(-1,0)d.12,1答案:b解析:由题意知-1<2x+1<0,则-1<x<-12.故选b.5.(2013大纲全国,理5)函数f(x)=log21+1x(x>0)的反函数f-1(x)=().a.12x-1(x>0)b.12x-1(x

3、0)c.2x-1(xr)d.2x-1(x>0)答案:a解析:由题意知1+1x=2yx=12y-1(y>0),因此f-1(x)=12x-1(x>0).故选a.6.(2013大纲全国,理6)已知数列an满足3an+1+an=0,a2=-43,则an的前10项和等于().a.-6(1-3-10)b.19(1-310)c.3(1-3-10)d.3(1+3-10)答案:c解析:3an+1+an=0,an+1=-13an.数列an是以-13为公比的等比数列.a2=-43,a1=4.s10=41-13101+13=3(1-3-10).故选c.7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+

4、y)4的展开式中x2y2的系数是().a.56b.84c.112d.168答案:d解析:因为(1+x)8的展开式中x2的系数为c82,(1+y)4的展开式中y2的系数为c42,所以x2y2的系数为c82c42=168.故选d.8.(2013大纲全国,理8)椭圆c:x24+y23=1的左、右顶点分别为a1,a2,点p在c上且直线pa2斜率的取值范围是-2,-1,那么直线pa1斜率的取值范围是().a.12,34b.38,34c.12,1d.34,1答案:b解析:设p点坐标为(x0,y0),则x024+y023=1,kpa2=y0x0-2,kpa1=y0x0+2,于是kpa1·kpa2=

5、y02x02-22=3-34x02x02-4=-34.故kpa1=-341kpa2.kpa2-2,-1,kpa138,34.故选b.9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+1x在12,+是增函数,则a的取值范围是().a.-1,0b.-1,+)c.0,3d.3,+)答案:d解析:由条件知f'(x)=2x+a-1x20在12,+上恒成立,即a1x2-2x在12,+上恒成立.函数y=1x2-2x在12,+上为减函数,ymax<1122-2×12=3.a3.故选d.10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1中,aa1=2ab,则

6、cd与平面bdc1所成角的正弦值等于().a.23b.33c.23d.13答案:a解析:如下图,连结ac交bd于点o,连结c1o,过c作chc1o于点h.bdacbdaa1acaa1=abd平面acc1a1ch平面acc1a1chbdchc1obdc1o=och平面c1bd,hdc为cd与平面bdc1所成的角.设aa1=2ab=2,则oc=ac2=22,c1o=oc2+cc12=222+22=92=322.由等面积法,得c1o·ch=oc·cc1,即322·ch=22·2,ch=23.sinhdc=hcdc=231=23.故选a.11.(2013大纲全国

7、,理11)已知抛物线c:y2=8x与点m(-2,2),过c的焦点且斜率为k的直线与c交于a,b两点.若ma·mb=0,则k=().a.12b.22c.2d.2答案:d解析:由题意知抛物线c的焦点坐标为(2,0),则直线ab的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=4(k2+2)k2,x1x2=4.由y1=k(x1-2)y2=k(x2-2)y1+y2=k(x1+x2)-4k,y1y2=k2x1x2-2(x1+x2)+4.ma·mb=0,(x1+2,y1-2)·(x2+2

8、,y2-2)=0.(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.由解得k=2.故选d.12.(2013大纲全国,理12)已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是().a.y=f(x)的图像关于点(,0)中心对称b.y=f(x)的图像关于直线x=2对称c.f(x)的最大值为32d.f(x)既是奇函数,又是周期函数答案:c解析:由题意知f(x)=2cos2x·sin x=2(1-sin2x)sin x.令t=sin x,t-1,1,则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.令g'

9、(t)=2-6t2=0,得t=±33.当t=±1时,函数值为0;当t=-33时,函数值为-439;当t=33时,函数值为439.g(t)max=439,即f(x)的最大值为439.故选c.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知是第三象限角,sin =-13,则cot =. 答案:22解析:由题意知cos =-1-sin2=-1-19=-223.故cot =cossin=22.14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答) 答案:480解析:先排除甲、乙外的4人

10、,方法有a44种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有a52种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有a44·a52=480(种).15.(2013大纲全国,理15)记不等式组x0,x+3y4,3x+y4所表示的平面区域为d.若直线y=a(x+1)与d有公共点,则a的取值范围是. 答案:12,4解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.直线y=a(x+1)过定点c(-1,0),由图并结合题意可知kbc=12,kac=4,要使直线y=a(x+1)与平面区域d有公共点,则12a4.16.(2013大纲全国,理16)已知圆o和圆k是球o的大圆和小圆,其公共弦长等于球o的

11、半径,ok=32,且圆o与圆k所在的平面所成的一个二面角为60°,则球o的表面积等于. 答案:16解析:如右图,设mn为两圆的公共弦,e为mn的中点,则oemn,kemn,结合题意可知oek=60°.又mn=r,omn为正三角形.oe=32r.又okek,32=oe·sin 60°=32r·32.r=2.s=4r2=16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列an的前n项和为sn.已知s3=a22,且s1,s2,s4成等比数列,求an的通项公式.解:设an的公

12、差为d.由s3=a22得3a2=a22,故a2=0或a2=3.由s1,s2,s4成等比数列得s22=s1s4.又s1=a2-d,s2=2a2-d,s4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时sn=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此an的通项公式为an=3或an=2n-1.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求b;(2)若sin asin c=3-14,求c.解

13、:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos b=a2+c2-b22ac=-12,因此b=120°.(2)由(1)知a+c=60°,所以cos(a-c)=cos acos c+sin asin c=cos acos c-sin asin c+2sin asin c=cos(a+c)+2sin asin c=12+2×3-14=32,故a-c=30°或a-c=-30°,因此c=15°或c=45°.19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥p-abcd中

14、,abc=bad=90°,bc=2ad,pab和pad都是等边三角形.(1)证明:pbcd;(2)求二面角a-pd-c的大小.(1)证明:取bc的中点e,连结de,则abed为正方形.过p作po平面abcd,垂足为o.连结oa,ob,od,oe.由pab和pad都是等边三角形知pa=pb=pd,所以oa=ob=od,即点o为正方形abed对角线的交点,故oebd,从而pboe.因为o是bd的中点,e是bc的中点,所以oecd.因此pbcd.(2)解法一:由(1)知cdpb,cdpo,pbpo=p,故cd平面pbd.又pd平面pbd,所以cdpd.取pd的中点f,pc的中点g,连结fg

15、,则fgcd,fgpd.连结af,由apd为等边三角形可得afpd.所以afg为二面角a-pd-c的平面角.连结ag,eg,则egpb.又pbae,所以egae.设ab=2,则ae=22,eg=12pb=1,故ag=ae2+eg2=3.在afg中,fg=12cd=2,af=3,ag=3,所以cosafg=fg2+af2-ag22×fg×af=-63.因此二面角a-pd-c的大小为-arccos63.解法二:由(1)知,oe,ob,op两两垂直.以o为坐标原点,oe的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.设|ab|=2,则a(-2,0,0),d(0,-2,

16、0),c(22,-2,0),p(0,0,2).pc=(22,-2,-2),pd=(0,-2,-2).ap=(2,0,2),ad=(2,-2,0).设平面pcd的法向量为n1=(x,y,z),则n1·pc=(x,y,z)·(22,-2,-2)=0,n1·pd=(x,y,z)·(0,-2,-2)=0,可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).设平面pad的法向量为n2=(m,p,q),则n2·ap=(m,p,q)·(2,0,2)=0,n2·ad=(m,p,q)·(2,-2

17、,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).于是cos<n1,n2>=n1·n2|n1|n2|=-63.由于<n1,n2>等于二面角a-pd-c的平面角,所以二面角a-pd-c的大小为-arccos63.20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)x表示前4局中乙当裁判的次数,求x的数学期望.解

18、:(1)记a1表示事件“第2局结果为甲胜”,a2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,a表示事件“第4局甲当裁判”.则a=a1·a2.p(a)=p(a1·a2)=p(a1)p(a2)=14.(2)x的可能取值为0,1,2.记a3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,b1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,b2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,b3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则p(x=0)=p(b1·b2·a3)=p(b1)p(b2)·p(a3)=18,p(x=2)=p(b1·b3)=p(b1)p(

19、b3)=14,p(x=1)=1-p(x=0)-p(x=2)=1-18-14=58,ex=0·p(x=0)+1·p(x=1)+2·p(x=2)=98.21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,离心率为3,直线y=2与c的两个交点间的距离为6.(1)求a,b;(2)设过f2的直线l与c的左、右两支分别交于a,b两点,且|af1|=|bf1|,证明:|af2|,|ab|,|bf2|成等比数列.(1)解:由题设知ca=3,即a2+b2a2=9,故b2=8a2.所以c

20、的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得x=±a2+12.由题设知,2a2+12=6,解得a2=1.所以a=1,b=22.(2)证明:由(1)知,f1(-3,0),f2(3,0),c的方程为8x2-y2=8.由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<22,代入并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1-1,x21,x1+x2=6k2k2-8,x1·x2=9k2+8k2-8.于是|af1|=(x1+3)2+y12=(x1+3)2+8x12-8=-(3x1+1),|bf1|=(x2+3)2+y22=(x2+3)2+8x22-8=3x2+1.由|af1|=|bf1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-23.故6k2k2-8=-23,解得k2=45,从而x1·x2=-199.由于|af2|=(