初一数学竞赛专题24相交线与平行线

1、专题24相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等 位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点， 而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键.两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据.1. 平行线的判定(1) 同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行；(2) 平行于同一直线的两条直线平行；(3) 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.2. 平行线的性质(1) 过直线

2、外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；(2) 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；(3) 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直熟悉以下基本图形：例题与求解【例 1】(1)如图，AB/ DE, ABC= 80° , CDE= 140° ,则 BCD=图(2)如图，已知直线(安徽省中考试题)AB/ CD, C= 115° , A = 25° ,则 E=.(浙江省杭州市中考试题)解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解【例2如图，平行直线 AB, CD与相交直线EF, GH相交，图中的同旁内角共有 ().A.

3、 4对C. 12 对B. 8对D. 16 对(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手.例2题图【例3】 如图，在 ABC中，CE AB于E, EDF= BDFA求证:（天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意 分解图形.113【例 4】 如图，已知 AB/ CD, EAF= EAB, FCF= ECD求证： AFC= AEC444例4题图EDF例5题图（湖北省武汉市竞赛试题） 解题思路：分别过点E, F作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系【例5】如图，已知 1 = 2

4、, C= D,求证： A= F.解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是 解这类问题的基本思路.【例6】（1）已知平面内有4条直线a, b, C和d,直线a, b和C相交于一点，直线 b, C和d也相交 于一点，试确定这 4条直线共有多少个交点？并说明你的理由.（2）作第5条直线e与中的直线d平行.说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：（1）先设直线a，b，C的交点为P,直线b，c, d的交点为Q，证得P与Q实为同一点， 得出结论.（2）绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质能力训练1.在同一平面内有a1,

5、a2,a3，a10十条直线，如果a/a?,a?丄a3,a3/a4,a4丄a5,a5/a6 ,a6丄a7 ,，那么 a1与 的位置关系是贝y C=2.如图，已知 AE/ BD, 1 = 1300, 2= 30°,3 .如图，直线a, b都与直线C相交，下列命题中, 确的序号填在横线上）（湖南省常德市中考试题）能判断 a / b的条件是 （把你认为正 1 = 2; 3= 6; 1 = 8; 5+ 8= 1800 .（陕西省中考试题）第2题图4.将两张矩形纸片如图所示摆放, 则 1 + 2.使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上,（山东省烟台市中考试题）5.下面四个命题

6、中正确的是（A.相等的两个角是对顶角B.和等于1800的两个角互为邻补角C.连结两点的最短线是过这两点的直线D.两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直（“希望杯”邀请赛试题）6 .下列命题 两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直. 两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等. 两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直. 两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直.其中正确的有（）.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图，DH/ EG/ BC,且DC/ EF,那么图中与 BFE相等的角（不包括 BFE的个数是（）.A.2B. 4C. 58.

7、如图，AB/ CD/ EF/ GH, AE/ DG,点C在AE上,点D. 6（山东省荷泽地区中考试题）湘等的角的个数为F在DG上，设与（不包括 a本身），与'互补的角的个数为则m + n的值是（A. 8B. 9C. 10D. 11CAH9.如图，已知 AB/ ED, NCB= 30°, CM平分 BCE CN丄CM,求 B的度数.10.如图，已知 E是 AB, CD外一点， D= B+ E,求证：AB/ CD.11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现 31个交点，怎样安排才能办到？（吉林省竞赛试题）12.如图，已知 CDIl EF, 1 + 2 = ABC,

8、求证：AB/GF.（重庆市竞赛试题）B级1.如图， A= 600 , 1 = 2,则 ADC的度数是2 如图，直线a / b,那么NX的度数是.（五城市联赛试题）第1题图3 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D, C分别落在D', C的位置，若 EFB= 650 ,则 AED（山东省中考试题）4.如图，已知 DE/ BC, 2 = 700 , 1 = 40。，那 EBA的度数是1C21E43BAl第4题图()EF,AC.BEAAFBHGCDFDC第5题图AB, CD平行（“希望杯”邀请赛试题）D（北京市竞赛试题）.5.如图，直线k /I戶7.如图，两直线630°800&#

9、176;B. 1080D. 1100EH丄 CD于 H,则 BAC+ ACE¼ CEH等于()B. 2700D. 4500 4 3= 3- 2 = 2 一 3 = d> 0.其中 3v 90。, 1= 500 ,则kE最大可能的整数值是A. 107°C. 109°6.如图，AB/ CD/ A. 1800C. 3600则 1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6 =(B. 7200D. 90001 232第7题图a上顺次有10个点A1, A2, A10,直线b上顺次有9个点B1,第6题图两条直线a, b互相平行，直线8.B2, B3,将a上每一个点与b上每一个点相连

10、可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些线 段的交点个数是（）A. 90B.1620C.6480D.20069.如图，已知两条平行线AB, CD被直线EF所截，交点分别为 G, H, P为HD上任意一点，过 P点的直线交 HF于O点，求证： HOP= AGF- HPQED10.如图，在 ABC中，AB= 7, AC= 11,点M是BC的中点，AD是 BAC的平分线，MF / AD.求FC的 长.（2013年“数学周报”杯竞赛试题）A11平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于260.（莫斯科八年级竞赛试题）MAi / NA4,则 Ai + A2+ A3+ A4 =MAi

11、/ NA5,则 Ai + A2 + A3 + A4 + A5=12.如图，MAi/ NA2,则 Ai + A2 = 如图，MAi/ NA3,则 Ai + A2+ A3 = 如图， 如图，(第 21 题)如图 5, MAi Il NAn ,则 AIA2 A3An(3)利用上述结论解决问题：如图已知 AB IlCD , . ABE和.CDE的平分线相交于F, E =140 ,求.BFD的度数E专题24相交线与平行线例 1(1) 40° 过点 C 作 CF / AB,则 BCF = ABC = 80°. DCF = 180° 140° = 40°,

12、BCD=80° 40° =40°.(2 )90° 过点 E 作 EM / AB, AB / CD , EM / CD, AEM=180° 25° =155° . CEM=180° 115° =65° E= AEM CEM =155°65°=90°.例2例 3 提示：由 DF / CE 得， BDF = BCE, FDE = DEC , AC / DE,得 DEC= ECA. 例4D提示：原图可分解为 8个基本图形.过 E 作 EM / AB. AB /于 CD, E

13、M / CD. AEC= AEM + CEM= EAB+ ECD.同理： AFC= FAB+ FCD. AEC= FAB+ FCD + EAF+ ECF= AFC +- EAB+ -+ ECD= AFC+ - AEC.故 AFC= - AEC.例5提示：先证BD / 例6(1)直线a, b,的交点为P,直线b, c, d的交点为Q.这意味着点P和点Q都是 线b和C的交点.而两条不同直线至多有一个交点 一个点.即4条直线a, b, C和d相交于同一个点 有一个交点.(2)不妨设(1)中交点为O.因为作的第5条直线 平行，所以直线 e和直线d没有公共点，因此这些 线a, b, C与直线e必然都相交

14、.如图所示. 设直线e与直线a, b, C分别相交于点 A, B,OB , OC , AB, AC , BC共6条不同的线段.CE,再证 DF / BC.c, d共有1个交点，理由如下：设直线 a,BC.因此P和Q必为.因此这4条直线线d直e与(1)中的直 e不过点O.而b, C直同只C.这时有O共四个不同的点.可以连出OA，1.】/ ：2.20 °3.4.90 °5.D6.B7.C8.D 提示:n=6, m+n=5+6=11.9.60 °10.提示：过点 E 作 EF /AB.12.作 CK / FG,延长 GF , CD 交于 H 点，则 1 + 2= ABC

15、,故 ABC+ BCK=180 ° 即 CK / AB, AB / GF.B级1.120 2.72 3.50 4.30 5.C 提示： 2=50 °+d, 3=50 °+2d, 4=50 °+3d,又 4=50° +3d<110°.故 4的最大整数值为 109°.11如图所示.f 第 11)m=5，3=50°2d<90°d<20 °6.B 7.D8.B提示：由题意知每一个交点由两点有一EX(M'种情况，在a上两点和b上两点所确定b上取两点有故交点个数为45'36=1620 个.O作CD的平行线.9. 提示：过点10. 如图，设N是AC的中点，连接MN ,贝U MN / AB.又 MF / AD , FMN = BAD= DAC= MFN.1 FN = MN=AB.II 1 ,1因此 FC=FN + NC=_AB+_AC=_ AB+AC) =_ (7+11) =9.11.提示：在平面上任取一点0,将已知的七条直线平移过点0,它们把以0为圆心的圆周角分成 14个彼此相邻的角1, 1,，；其中的每一个都和原来某两条直线交角中的一个相等，假设(i=1,2,14)1