函数单调性及其极值最值实用教案

1、定理1 设函数 在 上连续，在区间),(ba)(xfy ba,内可导，（1）如果在 内 ，则 在),(ba0)( xf)(xfba,上单调增加；),(ba0)( xf)(xfba,上单调减少。（2）如果在 内 ,则 在一、函数单调一、函数单调(dndio)性的充分条件性的充分条件第1页/共27页第一页，共28页。证证),(21xx存在使得又因为,21xx 即012 xx, 0)()(12xfxf故所以)(xf在ba,上单调增加。（1）设在区间 内 ),(ba0)( xf,在),(ba两点21,xx21xx ,由拉格朗日中值定理且内任取即当21xx 同理可证（2）.第2页/共27页第二页，共28

2、页。确定函数(hnsh)的单调性的一般步骤：1、确定(qudng)函数的定义域；2、求出使函数 并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；( )0( )fxfx 和不存在的点，3、确定 在各个子区间的符号，从而判断出 的单调性。( )fx( )f x第3页/共27页第三页，共28页。例1 确定函数 的单调区间。32352353)(xxxf解 的定义域是),(令 ，得 ，又 处导数不存在，0)( xf1x0 x1x， 这两点将 分成三个区间，0 x),(列表分析 在各个区间的符号：)(xf 由表可知， 的单调增加区间为 和，单调减少区间为 。第4页/共27页第四页，共28页。例例2. 确定确

3、定(qudng)函函数数的单调(dndio)区间.令得021故的单调(dndio)增区间为)(xf的单调减单调减区间为12xoy12解 的定义域是),(第5页/共27页第五页，共28页。例3).,(所给函数的定义域为 解这三个点x=1，0，1将y的定义域分为 四个子区间.),(), 1 (),1 , 0(),0 , 1(),1,(第6页/共27页第六页，共28页。x010+不存在0+y所以函数的单调递增区间为 .), 1 (),0 , 1() 1 , 0(),1,(单调递减区间为 .第7页/共27页第七页，共28页。如果(rgu)F(x)满足下面的条件：即，有时当，为单调增加函数可知则由0)(

4、,)(0 xFxxxF. )()(xgxf设 F(x)=f(x)g(x)其基本(jbn)方法是：往往可以利用单调性证明不等式. )()(xgxf第8页/共27页第八页，共28页。例4证明(zhngmng)：第9页/共27页第九页，共28页。二、函数二、函数(hnsh)极值及其极值及其求法求法1、函数极值(j zh)的定义定义设函数f(x)在x0的某邻域(ln y)内有定义，如果对于该邻域(ln y)内任何异于x0的x都有 )()(0 xfxf(1) 成立，则称 为f(x)的极大值，称 为f(x)的极大值点；)(0 xf0 x(2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.)(

5、)(0 xfxf)(0 xf0 x极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.第10页/共27页第十页，共28页。注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多(xdu)个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。3x1x4x2x5xxaboy为极大(j d)点为极小(j xio)点不是极值点第11页/共27页第十一页，共28页。定理2（极值的必要条件） 如果函数 在点)(xf 处可导，且在点 取得极值，则 。0 x0 x0)(0 xf0)(0 xf0 x)(xf使 的点 称为函数 的驻点。注意(zh y)：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意(zh y)，函数的驻点并不一

6、定是函数的极值点. 例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点.0,3xxy3xy 第12页/共27页第十二页，共28页。定理定理 3 (极值第一极值第一(dy)判别法判别法)且在空心(kng xn)邻域内有导数(do sh),(1) )(xf “左正右左正右负负” ,(2) )(xf “左左负负右正右正” ,第13页/共27页第十三页，共28页。(4)判定每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理3判定xi是否为f(x)的极值点.), 2 , 1(kixi )(xf 由定理3判定函数极值一般(ybn)步骤为：(1)求函数的定义域第14页/共27页第十四页，共28页。例

7、5 求函数 的极值。123)(32xxxf 解 的定义域是)(xf),(令 ，得驻点 ，而 时 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 因此函数只可能在这两点取得(qd)极值，列表讨论如下：不存在(cnzi)第15页/共27页第十五页，共28页。由表可知， 在 处取得极大值 ， )(xf0 x1)0(f在 处取得极小值 。1x21)(xf函数 的图形如图123)(32xxxf01x121y第16页/共27页第十六页，共28页。例例6. 求函数求函数 的极值(j zh) .32)(xxf3132) 1(xx令得列表(li bio)得x)(xf )(xf520)0,(),0(52),(52是极大(

8、j d)点，其极大值为是极小点，其极小值为解 的定义域是),(第17页/共27页第十七页，共28页。定理4(判定极值的第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则, 0)(, 0)(00 xfxf由定理(dngl)4判定函数极值一般步骤为：1、确定定义域，并求出所给函数的全部(qunb)驻点；2、考察函数的二阶导数在驻点(zh din)处的符号，确定极值点；3、求出极值点处的函数值，得到极值。第18页/共27页第十八页，共28页。例7所给的函数定义域为 .),(解第19页/共27页第十九页，共28页。第20页/共27页第二十页，共28页。 函数的极值是局部性概念(ginin)，

9、而最值是一个全局性概念(ginin)。 可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数 在 上的最大值，ba,ba,最小的就是函数 在 上的最小值。三、函数三、函数(hnsh)(hnsh)的的最值最值闭区间a，b上的连续函数 最值求法：第21页/共27页第二十一页，共28页。例8、求函数 在区间41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值与最小值。解比较可知， 在 上最大值为 ，最小值)(xf4 , 3132)4(f为3) 1 (f0)( xf令 得驻点 : .,1221 xx第22页/共27页第二十二页，共28页。 若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值(j

10、zh)点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为)2(xa第23页/共27页第二十三页，共28页。令 ，得 （舍去）。又0 v2,621axax所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。v6ax 61ax方盒的容积(rngj)为：第24页/共27页第二十四页，共28页。例10 制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，V怎样设计才能使所用材料最省？ 解 如图，设容器的底面半径为 ，高为 ，rh则表面积为rhrS222所以(suy)令0S ， 得驻点 32Vr hrhrV2由已知得故第25页/共27页第二十五页，共28页。所以，所做容器的高和底直径(zhjng)相等时，所用材料最省。S有唯一(wi y)驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结定理1 设函数 在 上连续，在区间。确定函数的单调性的一般步骤：。定