第28章锐角三角函数

1、课题：第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时 正弦备课人 张成才 王东梅 教学目标1.让学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实；2.掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算.3、通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力.教学重点了解正弦函数定义，理解当锐角一定时，它所对的直角边与斜边的比固定不变这一事实.教学难点加深“直角三角形中，当它的某一锐角固定时，这角的对边与斜边的比是个定值”的理解.教

2、具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、目标激活问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得 斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？【教学说明】对所提示的问题，教师应引导学生如何将这一实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论.教师应重点关注学生获取结论的过程，即是否运用“=”这一结论。二、自主探学、尝试解决探究1 如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为50m，那么需准备多长的水管？ 思考1 通过对前面问题和探究的思考，你有什么发现

3、？【教学说明】 在学生自主探究，获得结论后，让他们相互交流各自体会，为掌握本节知识积累感性认识.最后教师与学生一道进行简要总结.【归纳结论】 在一个直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于，是一个固定值.思考2 如 图，在RtACB中，C=90°，A =45°，计算A的对边BC与斜边AB的比值，你能得出什么结论？【教学说明】 仍由学生自主探究，发现结论.教师可适时予以点拨，帮助学生梳理所获论的语言描述.【归纳结论】 在一个直角三角形中，如果 一个锐角是45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边

4、的比值都等于，是一个固定值.探究2 在RtABC和RtA'B'C',中，C=C'=9o°A=A' =，且=k，你能求出的值吗？从中你又能得出什么结论？说说你的理由。【教学说明】 学生应该容易通过条件，获得ABCA'B'C'，从而得到=k.类似前面的结论，可对这里的结论进行合理的描述.师生共同给出探究结果。【归纳结论】 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值.正弦：如图，在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即si

5、nA = = .当A = 30°时，有 sinA = sin30°= 当A = 450时，有 sinA = sin45° = .三、合作研学、重组构建例1 如图，在RtABC中，C=900，求 sinA和sinB的值.例2 在 RtABC 中，C=900，BC=2， sinA =，试求线段AC的长.【教学说明】 所选两道例题，可由学生自主探究完成.学生既能独立思考，又可相互合作，师生共同寻求解题方法，完成解答过程.其中例2建议学生先画图，利用图形的直观性来获得结论更好些.四、当堂训练、基础达标1.如图，已知点P的坐标为（a,b）, OP与x轴正半轴夹角为，则sin

6、=( )A B. C. D. 2.在 RtABC 中，C=90°，a=1,b=4,sinA=_.3.在 RtABC 中，C=90°，且 sinA = ，则sinB = _.4.如图，AB O相切于点C，0A = 0B，O的直径为4，AB = 8. (1)求OB的长； (2)求sinA的值.【教学说明】让学生相互交流，共同探讨，获得结果.第2、3题仍建议用图形来帮助解决问题.教师巡视，适时点拨，肯定他们的成绩，指出所存在的问题，让学生真正领会和掌握本节知识.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导练”部分.【答案】1. D 2. 3.4.解：（1)由已知

7、，OC = 2，BC =4.在 RtOBC中，由勾股定理，得0B = .（2）在 RtOAC 中，0A = 0B = ，0C=2， sinA = = = .五、归纳小结，拓展延学 1.知识回顾；2.问题反馈.【教学说明】釆用师生互动形式来探讨本节所学内容，让学生在交流中不断完善自己的认知.作业布置：教学反思：课题：28.1锐角三角函数第2课时 余弦和正切备课人 张成才 王东梅 教学目标1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义；2.能运用余弦、正切的定义解决问题.3、逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力.教学重点 掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题.教学难点灵活运用三

8、角函数的有关定义进行计算.教具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、目标激活问题 我们知道，在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：A 的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比是否分别也是一个固定值呢？为什么？【教学说明】 这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回顾，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取 正确认知.二、自主探学、尝试解决问题如图，在Rt ABC和Rt ,中，C

9、= 90°A =.求证：（1）=；（2）=【教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过程中，提出问题A确定后，A的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳.余弦：在RtABC中，C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA ，即cosA =正切：在RtAABC中，C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，tanA =.锐角A的正弦、余弦、正切叫做A的锐角三角函数. 三、合作研学、重组构建 例1 在RtABC中，C = 900，BC= 6，sinA =

10、 ， 求 cosA，tanB的 值.分析与解 由正弦函数定义及sinA = 知，sinA = = ，又BC = 6，故AB = 10，所以AC = = 8，从而 cosA = = = ，tanB = .【教学说明】本题可先让学生独立完成，教师巡视指导，时时关注学生解题时是否能紧扣定义，即sinA = ，cosA = ，tanB = 的运用是否得当，有没有出现混淆情形.例2 在ABC中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值.【分析】 由于B和C都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求出tanB，sinC的值， 这样迫使我们要将B，C放到直角三角形中去，这时，过A

11、作AD丄BC于D可达到这一目的，问题可逐步解决.解 过A作AD丄BC于D. AB = AC，BD = CD = BC =30 = 15.又 AB = AC = 20，AD = ，因此tanB = = ，sinC = .四、当堂训练、基础达标1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.2.如图，在RtABC中，C=90°，AC=8，tanA=，求cosB,sinA,tanB的值.3.在RtABC中，C=90°，cosB=（1）求cosA和tanA的值;（2）若AB=5，求BC和AC的长.4.在RtABC中，C=90°，AC=b，BC=a,AB=c.

12、（1）sinA与cosB的关系如何？为什么？（2）sin2A与cos2A的关系如何？说说你的理由（sin2A=(sinA)2).（3）找出tanA与tanB的关系；（4）由（1），（2），（3），你能发现什么有趣的结论？ 【教学说明】 让学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用解决问题的能力.其中第2题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让学生的分析能力和解决问题能力得到进一步发展.五、归纳小结，拓展延学通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流. 【教学说明】 教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清例题思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面

13、临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.作业布置：教学反思：课题：28.1锐角三角函第3课时 特殊角的锐角三角函数备课人 张成才 王东梅 教学目标1.理解并掌握30°，45°，60°的三角函数值，能用它们进行有关计算；2.能依据30°，45°，60°的三角函数值，说出相应锐角的度数.【过程与方法】经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义.教学重点 熟记30°，45°，60°的三角函数值

14、，并用它们进行 计算.教学难点熟记30°，45°，60°的三角函数值，并用它们进行 计算.教具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、目标激活问题 在前面我们已经得到sin3o°= ，sin45°= ，你能得到30°，45°角的其它三角函数值吗？不妨试试看.【教学说明】 教师可引导学生从所给结论sinA = sin30°= 出发，设 BC = 1，则 AB = 2，由勾股定理可得AC = ，可得到30°的其它三角函数值，同样在图（2)中，仍可设BC = 1， 则AC = 1，AB = ，也能

15、得出45°的其它三角函数值.这里设BC = 1是为了方便计算.二、自主探学、尝试解决通过对上述问题的思考，可以得到：sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，sin45°= ，cos45°= , tan45°= 1.【想一想】 60°角的三角函数值各是多少？你是如何得到的？在学生的相互交流中可得出结论：sin60°= ,cos60°= ，tan60°= .教师再将上述所有结论整理，制成下表.3、 合作研学、重组构建例1 求下列各式的值.(1) cos260°+ s

16、in260°；（2）.解 （1）原式 = 2 + 2 = + = 1；（2）原式 = 1 = 0. 例2 （1）如图（1），在RtABC中，C=90°，AB = ,BC = ,求A的度数；（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求.解（1）sinA = ,A = 45°；（2）tan = ， = 60°.【教学说明】 以上两例均可先由学生自主完成，然后教师在展示解答过程，加深学生对本节知识的理解，并指明两例题的侧重点不一样，例1侧重于运用特殊角的三角函数值来参与计算，而例2则是通过计算一个角的某一三角函数值后，利用锐角的三角函数值与

17、锐角之间的一一对应关系，从而确定锐角的度数.这样处理，可让学生熟记特殊角的三角函数值. 四、当堂训练、基础达标1.在ABC中，A，B都是锐角，且tanA = ，cosB = ，则ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定2.计算：（1）3tan30°- tan45°+ sin60°= _ .（2） + - sin45°= _ .3.在RtABC中，C=90°，BC = ，AC = ,试求A、B的度数.4.边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，且OBC=30°，试求A、D两点坐

18、标.【教学说明】 四道题均可让学生自主探究，也可小组内讨论，达到解决问题的目的.教师巡视，发现问题给予指导，对优秀者和积极参与者给予鼓励，增强学生的学习信心.【答案】 4.解： OB = BC·cosB = , OC = BC·sinB = ,B 点的坐标是（）.过D点作DE 垂直于y轴，交y轴于E点，易证OBCECD，DCE = CBO =30°.CE = cosDCE ·CD = ，OE = OC + CE = ,DE = ,D 点的坐标是（）.五、归纳小结，拓展延学1.如何理解并熟记特殊角的三角函数值？同学间相互交流.2.运用特殊角的三角函数值可解

19、决哪两类问题？【教学说明】 师生共同回顾，对于问题1，可引导学生利用图形进行推理计算，也可通过 表格中横排的数的变化规律来记忆.作业布置：教学反思：课题：28.2.1 解直角三角形 第1课时 解直角三角形备课人 张成才 王东梅 教学目标1、理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2、通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.教学重点 运用直角三角形的边角关系解直角三角形.教学难点灵活运用锐角三角函数解直角三角形.教具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、

20、目标激活问题 如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图（2），在RtABC 中，ZC =90，BC =5.2m，AB= 54.5m，你能根据上述条件求出图（2）中A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流.【教学说明】运用锐角三角函数来解决生活中趣味性问题的过程，可激发学生的学习兴趣，增强运用所学过知识解决问题的信心，教师适时予以点拨.在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函数可求出它的锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，求出另一个锐角

21、度数，也可以利用勾股定理得到另一条直角边.一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三形思考（1）直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？【教学说明】学生相互交流获得结论，教师再与学生一道进行系统的总结，完善知识体系.二、自主探学、尝试解决如图，在 RtABC 中，C=90°，A，B，C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有如下关系：（1） 三边之间的关系：a2+b2=c2（2） 两锐角之间的关系：A+B=90°；（3） 边角之间的关系：通过它们之间的关系，可以发现，知

22、道其中的2个元素（至少有一条是边），就可以求出其他所 有元素.三、合作研学、重组构建 例1 如图，在 RtABC 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，解这个直角三角形.【分析】由首先联想到勾股定理可得，再利用知A=30°，从而B=60°.这是一例除直角外的两个已知元素都是边的情形，在求它的锐角度数时，有时必须借助计算器才行.例 2 如图，在 RtABC中，C=90°，B=40°，且b=20，解这个直角三角形（结果保留一位小数). 【分析】本例是已知一条边和一个锐角，求这个直角三角形的另两边长和另一个锐角.首先可轻松得到A=50°，再利用

23、可求出a，c的值，也可由，则求c的值，再利用勾股定理，或利用锐角的正切函数求出a的值.注意：由于40°，50°均不是特殊角，它的三角函数值可利用计算器获得.【教学说明】以上两例在实际教学时，都可先让学生自主探究，独立完成.教师巡视，对有困难的学生给予指导，让学生在探究中加深对知识的理解.最后师生共同给出解答，让学生进行自我评析，完善认知.四、当堂训练、基础达标1.RtABC中，C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）a=30，b=20； （2）B=62°，c=16.2.已知ABC中，AD是BC边上的高，且AD=2，AB=1.（1） 如图（1），求BA

24、C度数；（2） 如图（2），试求BAC的度数.【教学说明】学生自主探究，也可相互交流，探讨问题的解答.教师巡视，适时点拨，让学生在练习中巩固本节所学知识.五、归纳小结，拓展延学 1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必须有一个已知边，为什么？【教学说明】师生共同回顾，反思，完善对本节知识的认知 作业布置：教学反思：课题：第2课时 解直角三角形的简单运用备课人 张成才 王东梅 教学目标本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.【过程与方法】1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.2.选择合适的边角关系

25、式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力.教学重点 引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问题转化为解直角三角形的问题来解决.教学难点使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.教具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、目标激活1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形2.直角三角形中诸元素之间的关系：（1）三边之间的关系：a2+62=c2 (勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90°；（3）边角之间的关

26、系：.把A换成B同样适用.二、自主探学、尝试解决我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系 解直角三角形，那么请思考：对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得ACB = 30°，D点测得ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）【分析】先根据三角形外角的性质求出CAD的度数，判断出ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.三、合作研学、重组构建 例

27、1 如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC =m， ACB = 那么AB等于（ ）A. m sin B. n cosC. m tan D. m /tan【分析】本题易因记错的正切或运算关系掌握不好而选错.答案 C例2 如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5米，风筝飞到C处时的线长BC为30米，这时测得CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.（结果精确到0.1米，)【分析】 在Rt BCD中，由BC =30米，CBD=60°，利用正弦可求得CD，又DE=AB，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.【教学说明】解答本题的

28、关键是利用解直角三角形来求CD的长，利用矩形的性质求DE的长.四、当堂训练、基础达标1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上影长BC长为24米，则旗杆AB的高约是多少 ？ 2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径A河底线，弦CD水位线，CD/AB，且CD=24m.OE丄CD于点E.已测得水面距最高处有8m 已测得.（1）求半径OD;（2）根据需要，睡眠要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指导.【答案】1.解：太阳光线与地面成30

29、76;角，旗杆AB在地面上的影长BC为24米，旗杆AB的高度约是：.2.分析：解决此题的关键是求出OE的值.由垂径定理易求出DE的长，RtOED中，根据DE的长以及EOD的正弦值，可求出半径OD的长， 再由勾股定理即可求出OE的值.OE的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.五、归纳小结，拓展延学 1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.（作某边上的高是常用的辅助线）2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种问题时合理运用. 作业布

30、置：教学反思：课题：第2课时 与方向角、坡角有关的应用问题备课人 张成才 王东梅 教学目标1、进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比） 的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.2、通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力.教学重点 用三角函数有关知识解决方位角问题.教学难点学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型.教具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、目标激活1.仰角、俯角概念；2.方位角的意义.【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备.二、自主探学

31、、尝试解决 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？分析与解 易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中PC丄AB，若记垂足为C，则图中出现了两个直角三角形APC和直角三角形BPC.而在RtAPC中，知AP=80，APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC的长，即由,得PC=AP· cos25°=80·cos25°72.505，因此在RtBPC

32、中，由，得从而可得知海轮在B处时距离灯塔P约130海里.【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考. 三、合作研学、重组构建 例2 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求：（1）坡角和；（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）.【教学说明】本例可由学生独立完成，教师巡视指导，让学生在自主探究中体会用解直角三角形的知识来解决史记问题的方法四、归纳

33、小结，拓展延学 问题 通过学习用解直角三角形知识解决实际问题过程中，你有哪些收获？【教学说明】师生共同探索，完善知识体系. 作业布置：教学反思：课题：章末复习备课人 张成才 王东梅 教学目标1.进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的计算；2.熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值或利用锐角的三角函数值求相应角的度数；3.能用解直角三角形知识解决实际应用问题.教学重点 通过对本章知识的回顾，巩固所学知识，能熟练运用所学知识解决具体问题.教学难点运用锐角三角函数解决实际应用问题.教具准备教 学 过 程教 学 环 节 附 案一、情境引学、目标激活【教学说明】 教学

34、前，教师应根据本章知识内容设计一个适合要求的知识结构框图，教学时，与学生一道回顾本章知识，按自己的设计思路展示出结构图，让学生加深对本章知识的系统理解.二、自主探学、尝试解决问题1 请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从小到大的变化而变化的情况，你有什么发现?【教学说明】 教师可引导学生利用计算器求出 0°10°，10°20°，20°30°，80°90° 之间的某一锐角的三角函数值，通过分析得到的函数值，可获得锐角三角函数的一些简单性质.【归纳结论】 对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变量锐

35、角A的增大而增大，且sinA必满足0 sinA1;它的余弦函数 (cosA)的函数值随锐角A的增大而减小，且 cosA必满足0COSA1;它的正切函数（tanA) 的函数值随锐角A的增大而增大，且tanA满足tanA0.试一试 若锐角A的余弦值cosA = 3，则锐角A的取值范围是（）A. 60°A90° B. 45°A60°C. 30°A45° D. 0°A30°分析与解 由于cos30°=0. 866,cos45°= 0. 707 ,cos60° =，且 cosA = = 0.75

36、，知 cos45°cosAcos30°，结合余弦函数的性质，其函数值随角度的增大而减小，从而可知 30°A；45°，故应选 C.问题2 利用锐角三角函数定义及勾股定理，你能证明sin2A + cos2A = 1吗？你有何发现？三、合作研学、重组构建问题3 若A + B =90，你能探索出 tanA与tanB之间有什么关系吗？与同伴交流.【教学说明】 教师应引导学生构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系及相应锐角的三角函数的意义不难得出结论.经历由问题1的感性认识到问题2、3的理性思考可进一步开拓学生的思维能力，增强解题技能.【结论】 1.对于任意锐角A

37、，总有sin2A + cos2A = 1 ；2.若两个锐角A，B满足A + B = 90°， 则必有 tanA tanB = 1.试一试 化简 tan1°·tan11°·tan21°·tan31°·tan89°·tan79°·tan69°·tan59°.分析与解 由 = = | = 1 sin23°， = = sin23°，及tan1°·tan89°=1 等可得到原式 = 1 sin23

38、°+ sin23° 1 = 0.四、当堂训练、基础达标例1 在RtABC中，C=90°，已知cosA=，求cosB和tanA的值.分析与解 结合图形及已知条件，由cosA= = ，故不妨设AC=m，则AB=3m，由勾股定理易得BC=m，从而cosB = = = ,tanA = = = .例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点C，E是O上一点，且BEC=45°.（1）试判断CD与O的位置关系，并说明理由.（2）若BE=8 cm，sinBCE = ，求O的半径.分析与解 本例是一道圆、平行四边形、锐角三角函数的小综合问题，在（1）中可

39、直接由BEC=45°得到BOC=90°（添加辅助线OC），再利用平行四边形性质，可得到OCD=BOC=90°，从而CD是O的切线；在（2）中，应先连AE，利用圆的性质可得BAE=BCE，又AB为O直径，故ABC为直角三角形，这样由sinBCE= ，得到sinBAE= = ，又BE=8，从而得AB=10，故O的半径为5.通过上面的分析可以发现，对于不是直角三角形中的锐角三角函数问题，常常需通过添加辅助线，将这一锐角三角函数转化为直角三角形中某个角的三角函数来解决问题.例3（课后作业）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形，已知吊车吊臂的支点

40、O距离地面的高=2米，当吊臂顶端由A点抬升至点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至处，紧绷着的吊缆=AB.AB垂直地面B于点B，垂直地面B于点C，吊臂长度O=OA=10 m，且cosA = ，sin = .（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离C.（结果保留根号） 分析与解 过O作OFAB于F，交于点E（如图），这样可在RtAOF中，利用OA=10， cosA= ，求出AF=6，从而得OF=8，在RtOE中，由O=10，sin=，得OE=5，从而BC=EF=OF-OE=8-5=3 m，即重物在水平方向移动的距离为3 m；同样，可求出AB=

41、AF+BF=AF+=6+2=8，在RtOE中，可得E=.故C=E+EC =+2,这样C=C-=C-AB=+2-8=-6，即此重物在竖直方向移动的距离为（-6） m. 例 4（课后作业）某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2 m，台阶AC的坡度为1 (即ABBC=1，且B、C、E三点在同一直线上，请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）. 分析与解 如图，过点A作AFDE于F，则四边形ABE

42、F为矩形.AF=BE，EF=AB=2.设DE=x，在RtCDE中，CE= = = .在RtAFD中，DF = DE EF = x 2，AE= = = .AF = BE = BC + CE， = + .解得x=6.即树DE的高度为6m.例5（课后作业）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O到BC（或DE）的距离大于或等于O的半径时（O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是CDTX(,其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34 cm，AB=FE=5 cm，ABC=FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.（参考数据：17.72,tan73.6°3.40,sin75.4°0.97,）分析与解 要判断图丙中所示提手是否合格，可过O作