常系数齐次线性微分方程实用教案

1、二、二阶常系数(xsh)齐次线性方程解法-特征方程法,rxey 设设将其代入上方程(fngchng), 得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有02 qprr特征方程,2422,1qppr 特征(tzhng)根0 qyypy第1页/共17页第一页，共18页。 有两个(lin )不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个(lin )线性无关的特解得齐次方程(fngchng)的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为第2页/共17页第二页，共18页。 有两个(lin )相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为得齐次方程

2、(fngchng)的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征(tzhng)根为第3页/共17页第三页，共18页。 有一对(y du)共轭复根,1 jr ,2 jr xiey)(1 ),sin(cos)(2xixeeyxxj )0( 重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齐次方程(fngchng)的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征(

3、tzhng)根为xixee )sin(cosxixex 第4页/共17页第四页，共18页。若特征方程含 k 重复(chngf)根, ir 小结小结(xioji)qpyqypy,(0 为常数(chngsh) )02 qrpr特征方程;2121xrxreCeCy 根21, rr21rr 实根 21rr ;)(121xrexCCy ,2p ir, 21)sincos(21xCxCeyx 推广到高阶方程若特征方程含 k 重实根 r ，则其通解中必含对应项;)(121xrkkexCxCC xxCxCCekkx cos)( 121sin)(121xxDxDDkk 特 征 根通 解则其通解中必含对应项第5页

4、/共17页第五页，共18页。定义(dngy)由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法(fngf)称为特征方程法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解特征方程为,0442 rr解得,221 rr故所求通解(tngji)为.)(221xexCCy 例1第6页/共17页第六页，共18页。.052的通解的通解求方程求方程 yyy解特征方程为,0522 rr解得,2121jr ，故所求通解(tngji)为).2sin2cos(21xCxCeyx 例2第7页/共17页第七页，共18页。三、n阶常系数(xsh)齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为0111 nnnn

5、PrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110第8页/共17页第八页，共18页。注意(zh y)n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应(duyng)着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy 2211第9页/共17页第九页，共18页。特征(tzhng)根为, 154321irrirrr 故所求通解(tngji)为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解, 01222345 rrrrr特征方程为,

6、 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例3第10页/共17页第十页，共18页。四、小结(xioji)二阶常系数(xsh)齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据(gnj)特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)第11页/共17页第十一页，共18页。02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第12页/共17页第

7、十二页，共18页。思考思考(sko)与练习与练习1. 已知方程(fngchng)()()(xfyxQyxPy 有三个解,2321xxeyeyxy 求方程(fngchng)的通解.答案:通解为)(xex )(2xex 1Cy 2Cx 2. 求方程0 yay的通解 .答案:0 a通解为xCCy21 :0 a通解为xaCxaCysincos21 :0 a通解为xaxaeCeCy 21第13页/共17页第十三页，共18页。一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yy

8、y. .二、二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .练 习 题

9、第14页/共17页第十四页，共18页。练习题答案(d n)一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :为两个为两个xe, 1线性无关的解线性无关的解) )四、四、195 Mkg.kg.第15页/共17页第十五页，共18页。 作业(zuy) P340 1(9)第16页/共17页第十六页，共18页。感谢您的观看(gunkn)！第17页/共17页第十七页，共18页。NoImage内容(nirng)总结二、二阶常系数齐次线性方程(fngchng)解法。若特征方程(fngchng)含 k 重复根。若特征方程(fngchng)含 k 重实根 r ，则其通解中必含对应项。特 征 根。由常系数齐次线性方程(fngchng)的特征方程(fngchng)的根确定其通解的方法称为特征方程(fngchng