2021_2022学年高中数学第二章函数测评含解析北师大版必修1

1、第二章测评(时间 :120 分钟满分 :150 分)一、选择题 (本大题共12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分)1. 下列函数中与函数y=x 相同的是 ()a. y=x 2b. y=c.y=d. y=解析 :y=t ,t r .答案 :b解析 :因为 f(x)= 所以其图像为c.答案 :c3.函数 f( x)= 的定义域为 () a. -1,2) (2,+ )b.( -1,+ )c. -1,2)d. -1,+ )解析 :由解得 x -1,且 x2.答案 :a4.已知 f:xx2 是集合a 到集合 b= 0,1,4 的一个映射 ,则集合 a 中的元素个数最多有()a.3 个b.4 个c.5

2、 个d.6 个解析 :令 x2= 0,1,4,解得 x= 0,±1,± 2.故选 c.答案 :c5.(2017 ·山东高考 )设 f(x)= 若 f(a)=f (a+ 1),则 f= ()a.2解析 :b.4c.6d.82. 函数 f( x)= 的图像是 ()f(x)的图像如图所示.又 f(a)=f (a+ 1),所以 0<a< 1,a+ 1> 1,= 2(a+ 1-1),所以 a=. 所以 f=f (4) = 2×(4-1)= 6.答案 :c6.已知二次函数f(x)=m 2x2+ 2mx-3,则下列结论正确的是()a. 函数f(x)有

3、最大值-4b.函数f(x)有最小值-4c.函数f(x)有最大值-3d.函数f(x)有最小值-3解析 :由题知 ,m2> 0,所以 f(x)的图像开口向上,函数有最小值f(x) min=- 4,故选 b.答案 :b7.(2017 ·全国 1 高考)函数 f(x)在(-,+)单调递减 ,且为奇函数 ,若 f(1) =- 1,则满足 -1 f(x-2) 1 的 x 的取值范围是 ()a . -2,2b . -1,1c.0,4d .1,3解析 :因为 f(x)为奇函数 ,所以 f(-1)=-f (1) = 1,于是 -1 f(x-2) 1 等价于 f(1) f (x-2) f(-1).

4、又 f(x)在(-,+ )单调递减 ,所以 -1 x-2 1,即 1x 3.所以 x 的取值范围是1,3 .答案 :d8.偶函数 f(x)在0,+ )单调递增 ,若 f( -2)= 1,则 f (x-2) 1 的 x 的取值范围是 ()a.0,2b. -2,2c.0,4d. -4,4解析 :因为函数 f(x)是偶函数 ,f (-2)= 1,所以 f(2) = 1.因为 f(x- 2) 1,所以 -2 x-2 2,解得 0 x4.故选 c.4答案 :c9.函数 f( x)= 满足 f(f (x)=x ,则常数 c 等于 ()a.3b.-3c.3 或-3d.5 或- 3解析 :f(f(x)=x ,

5、即 x(2 c+ 6)x+ 9-c2= 0,所以解得 c=- 3.故选 b.答案 :b10.已知函数f(x)=ax 3+bx+ 7(其中 a,b 为常数 ),若 f(-7) =- 17,则 f(7) 的值为 ()a.31b.17c.-17d.15解析 :令 g(x)=ax 3+bx ,则 g(x) 为奇函数 .因为 f (-7)=g (-7)+ 7=- 17,所以 g(-7)=- 17-7=- 24,g(7) =24,f(7) =g (7) + 7= 31.答案 :a11.导学号 85104050 已知函数f(x)=ax 2-x ,若对任意x1,x2 2,+ ),且 x1x2,不等式 >

6、 0 恒成立 ,则实数 a 的取值范围是()a .b .c.d .解析 :不妨设 x2>x 1 2,则=a (x1+x 2)-1.对任意 x1,x2 2,+ ),且 x1x2,> 0 恒成立 ,x2>x 1 2 时,a(x1+x 2)-1> 0,即 a> 恒成立 .x2>x 1 2, .a ,即 a 的取值范围为.故选 d.答案 :d12. 已知 f(x)= 是定义在 ( -,+ )上的减函数 ,则 a 的取值范围是()a.b.c.d.解析 :由题意可得解得 a< ,故选 a .答案 :a二、填空题 (本大题共4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把

7、答案填在题中横线上)13. 已知幂函数y= (m n + )的图像关于y 轴对称 ,且在 (0,+ )上是减少的 ,则 m=.解析 :由题意 m2-2m-3 为负的偶数 ,由 m2-2m-3= (m-1)2-4< 0? |m- 1|< 2.-1<m< 3.又 m n+,m= 1 或 m= 2.代入 m2-2m- 3 使其为偶数 ,只有 m= 1.答案 :114. 已知函数f(x+ 3) 的定义域为 -2,4),则函数 f(2x- 3)的定义域为.解析 :因为函数 f(x+ 3)的定义域为 -2,4),所以 x -2,4),所以 1 x+ 3< 7.对于函数 f(2

8、 x-3),则 12x-3< 7,即 2 x< 5,所以函数 y=f (2x- 3)的定义域为 2,5) .答案 :2,5)15.(2017 ·全国 2 高考) 已知函数f(x)是定义在r 上的奇函数 ,当 x (-,0)时,f(x)= 2x3+x 2,则f(2)=.解析 :因为 f(x)是奇函数 ,所以 f(-x)=-f (x).又因为当 x (-,0)时,f (x)= 2x3+x 2,所以 f(2)=-f (-2)=- 2 ×(-8)+ 4 = 12.答案 :1216.函数 f(x)= x 的函数值表示不超过x 的最大整数 ,例如 ,-3.5 =- 4,2.

9、1 = 2,已知定义在r 上的函数g(x)= x+ 2 x, 若 a= y|y=g (x),0 x 1, 则 a 中所有元素的和为.解析 :当 x 时,02x< 1,g(x)= x+ 2 x= 0;当 x 时,1 2x< 2,g(x)= x +2 x= 1;当 x= 1 时,2x= 2,g(x)= x+ 2 x= 3,a= y|y=g (x),0 x1 =0,1,3 .a 中所有元素的和为4.答案 :4三、解答题 (本大题共6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知 f(x)是奇函数 ,且当 x> 0 时,f(x)=x 2-2x+

10、 1,求 f(x)在 x r 上的表达式 .解: 因为 f (x)是定义域在r 上的奇函数 ,所以 f(0)= 0,当 x< 0 时,-x> 0,由已知得 ,f(-x)= (-x )2-2(-x)+ 1=x 2+ 2x+ 1=-f (x),所以 f(x)=-x 2 -2x-1,所以 f(x)=18.(12 分)设函数 f(x)=- 5x+a 为定义在 (-,0) (0,+ )上的奇函数 .(1) 求实数 a 的值 ;(2) 判断函数f(x)的单调性 ,并用定义法证明f(x) 在(0,+ )上的单调性 .解: (1)f(x) 是奇函数 ,x0,f(-x )=-f (x).-+ 5x+

11、a=-+ 5x-a,2a= 0,a= 0.经检验 a= 0 为所求 .(2)f(x)=- 5x 的单调减区间为(-,0)与(0,+ ),没有单调增区间,证明 :当 x> 0 时,设 0<x 1 <x 2,则 f(x1 )-f(x2)=+ 5(x2 -x1)= (x2-x 1)+ 5> 0,f(x1)>f (x2),f(x)在(0, + )上是减函数 .19.(12 分)函数 f( x)的图像如图所示,曲线 bcd 为抛物线的一部分.(1) 求 f(x)解析式 ;(2) 若 f(x)= 1,求 x 的值;(3) 若 f(x)>f (2 -x),求 x 的取值范

12、围 .解: (1)当-1 x0 时,函数 f(x)的图像为直线且过点(-1,0),(0,3), 设函数 f( x)的解析式为y=kx+b ,则所以y= 3x+ 3.当 0x 3 时,函数 f(x)的图像为抛物线,设函数 f(x)的解析式为y=a (x-1)( x-3),当 x= 0 时,y= 3a= 3,解得 a= 1, 所以 y=( x-1)(x-3) =x 2-4x+ 3. 所以 y=(2)当 x -1,0 时,令 3x+ 3= 1,解得 x=- ;当 x (0,3 时,令 x2-4x+ 3= 1,解得 x= 2±. 因为 0<x 3,所以 x= 2-.所以 x=- 或 x

13、= 2-. (3)当 x=- 1 或 x= 3 时,f(x)=f (2-x) =0;当-1<x< 0 时,2< 2-x< 3,由图像可知f(x)> 0,f(2-x )< 0,所以 f(x)>f (2-x)恒成立 ;当 0x 2 时,0 2-x2,f(x)在 0,2 上单调递减 ,所以当 x< 2-x,即 x< 1 时,f(x)>f (2-x),所以 0x< 1;当 2<x< 3 时,-1< 2-x< 0,此时 f(x)< 0,f(2-x )> 0,不合题意 .所以 x 的取值范围为 x|- 1

14、<x< 1 .20.(12 分)某租赁公司拥有汽车100 辆,当每辆车的月租金为3 000 元时 ,可全部租出 ;当每辆车的月租金每增加50 元时 ,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150 元,未租出的车每辆每月需要维护费50 元.(1) 当每辆车的月租金定为3 600 元时 ,能租出多少辆车?(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解: (1)当每辆车的月租金定为3600 元时 ,未租出的车辆数为= 12,所以这时租出了88 辆车 .(2)设每辆车的月租金定为x 元,则租赁公司的月收益为f(x)= (x-150)- 

15、5;50,整理 ,得 f(x) =-+ 162x- 21000=- (x-4050)2+ 307050.所以当 x= 4050 时,f(x)最大 ,最大值为f(4050) = 307050 元,即当每辆车的月租金定为4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050 元.21.(12 分)已知 f(x)对任意的实数m,n 都有 f( m+n )=f (m) +f (n)-1,且当 x> 0 时,有 f(x)> 1. (1) 求 f(0);(2) 求证 :f(x) 在 r 上为增函数 ;(3) 若 f(1) = 2,且关于 x 的不等式f(ax-2)+f (x-x 2)&

16、lt; 3 对任意的x 1, + ) 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 . (1) 解:令 m=n= 0,则 f(0) =2f(0) -1,f(0)= 1.(2) 证明 :任取 x1 ,x2r 且 x1<x 2,则 x2-x1> 0,f( x2-x1)> 1.f(m+n )=f (m) +f (n)-1,f(x2)=f ( x2-x 1)+x 1=f ( x2-x1 )+f (x1)-1> 1+f (x1)-1=f (x1),f(x2)>f (x1),f(x)在 r 上为增函数 .(3) 解:f(ax-2)+f (x-x2)< 3,即 f(ax-2)+f (

17、x-x2) -1< 2, f(ax-2+x-x 2 )< 2.f(1) = 2,f(ax-2+x-x 2 )<f (1).又 f(x) 在 r 上为增函数 ,ax-2+x-x 2< 1,x2-(a+ 1)x+ 3>0 对任意的x 1,+ )恒成立 .令 g(x)=x 2-(a+ 1)x+ 3,当 1 时,g(1) > 0,得 a< 3, a1;当> 1 时,<0,即(a+ 1)2-3×4< 0,-2-1<a< 2-1,1<a< 2-1.综上 ,实数 a 的取值范围为(-,2-1).22. 导学号 85

18、104052(12 分)已知二次函数f(x)的图像过点 (0,4), 对任意 x 满足 f(3- x)=f (x),且有最小值是.(1) 求 f(x)的解析式 ;(2) 求函数 h(x)=f (x)-(2t- 3)x 在区间 0,1 上的最小值 ,其中 t r ;(3) 在区间 -1,3 上,y=f (x)的图像恒在函数y= 2x+m 的图像上方 ,试确定实数m 的范围 .解: (1)由题知二次函数图像的对称轴为x=,又最小值是 ,则可设 f( x)=a (a0).又图像过点 (0,4),则 a= 4,解得 a= 1,f(x)=x 2-3x+ 4.(2)h(x)=f (x)-(2 t-3)x=x 2-2tx+ 4= (