2022版高考数学一轮总复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入学案含解（精编版）

1、1 数系的扩充与复数的引入考试要求 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数加、减运算的几何意义1 复数的有关概念(1)复数的定义形如 abi(a，br)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. (2)复数的分类复数 za bia，br实数 b0 ，虚数b0,纯虚数 a 0，b0 ，非纯虚数a0，b0 .(3)复数相等a bicdi? ac 且 bd(a，b，c，dr)(4)共轭复数a bi 与 cdi 共轭 ? ac 且 b d(a，b，c，dr)(5)复数的模向量 oz的模叫做复数zabi 的模，

2、记作 |z|或|abi|， 即|z|abi|ra2 b2(r 0，a，br)2 复数的几何意义(1)复数 zabi复平面内的点z(a，b)(a，br)(2)复数 zabi(a，br)平面向量 oz. 3 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则加法： z1 z2(a bi)(cdi)(ac) (bd)i；减法： z1 z2(a bi)(cdi)(ac) (bd)i；乘法： z1 z2(abi) (cdi)(ac bd)(adbc)i；2 除法：z1z2abicdiabicdicdi c diacbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(2

3、)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3c，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)常用结论 1 (1 i)2 2i；1i1ii；1 i1 i i. 2 i4n1， i4n1i，i4n2 1，i4n3 i(n n*)3 zz |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|，z1z2|z1|z2|，|zn| |z|n. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 ac，则 a20.() (2)已知 zabi(a，br)，当 a0 时，复数z 为纯虚数 () (3)复数 zabi(a，br)的虚部为bi.() (4)方程 x2x

4、10 没有解 () 答案 (1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设 z(1i)(2 i)，则复数z 在复平面内所对应的点位于() a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限az(1i)(2i)3i，故复数 z 在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限 2在复平面内，向量ab对应的复数是2i，向量 cb对应的复数是13i，则向量 ca对应的复数是 () a12i b 12i c3 4i d 34i d ca cbbacbab 13i2 i 34i，故选 d. 3设复数z满足1z1zi，则 |z|等于 () a1 b2 c3 d2 3 a1z1z i，则 zi11ii， |z|1. 4已知 (

5、12i) z 4 3i，则 z_. 2 i由(12i) z 43i 得 z 43i12i43i 12i52i.z 2i. 考点一复数的有关概念解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式zabi(a，b r)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数复数z1abi 与 z2cdi 共轭 ? ac，b d(a，b，c，d r)(3)复数是实数的条件：zabi r? b0(a，b r)； z r? z z ； z r? z20. (4)复数是纯虚数的条件

6、：zabi 是纯虚数 ? a0 且 b0(a，b r)； z 是纯虚数? z z 0(z0)； z 是纯虚数 ? z20. 1 (2020 广州模拟 )如果复数z21i，那么 () az 的共轭复数为1 ibz的虚部为 i c|z|2 dz 的实部为 1 d z21i2 1i1i1i22i2 1i， z 的实部为 1，故选 d. 2 (2020 大连模拟 )设(12i) xxyi， 其中 x， y 是实数，i 为虚数单位， 则yx i () a1 b2 c3 d5 d由 x2xixyi， x，y r，则 y2x，yxi |2i|5，故选 d. 4 3如果复数m2i1mi是纯虚数，那么实数m 等

7、于 () a 1 b0 c0 或 1 d0 或 1 dm2i1mim2i1mi1mi 1mim2m 1m3i1m2，因为此复数为纯虚数，所以m2m0，1 m30，解得 m 1 或 0，故选 d. 考点二复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i 的幂写成最简形式典例 1(1)对于两个复数 1i， 1i，有下列四个结论：1； i；1； 2 2 0，其中正确结论的个数为()

8、 a1 b2 c3 d4 (2)(2020武汉调研 )已知复数z 满足 z|z|1i，则 z() a i bi c1 i d1 i (1)c(2)b(1)(1 i)(1i)2，不正确；1i1i1i21 i1i i，正确；|i|1，正确； 22(1i)2(1i)2 2i2i0，正确(2)设 zabi(a， b r)， 则 z|z|(aa2b2)bi1 i， 所以aa2 b21，b1，解得a0，b1，所以 zi，故选 b. 5 点评： (1)在只含有z的方程中， z 类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在 z， z ，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设za bi，a，b r，变换方程，利用

9、两复数相等的充要条件得出关于a，b 的方程组，求出a， b，从而得出复数z. 跟进训练 1 (2020 全国卷 )若 z (1i)1i，则 z() a1i b1 i c i di d z(1i) 1i，z1i1i1i21i1i i， z i，故选 d. 2 (2020 全国卷 )若 z1i，则 |z22z|() a0 b1 c2 d2 d法一： z1i， |z22z|(1i)22(1i)|2i2i2|2|2.故选 d. 法二： z 1i， |z2 2z|z|z2|2| 1i|222.故选 d. 考点三复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法典例 2(1)(2019全国卷 )设复数 z

10、满足 |zi| 1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则() a(x1)2y21 b(x1)2y21 cx2(y1)21 dx2(y1)21 (2)(2020黄冈模拟 )已知 i 是虚数单位，则复数i1i1在复平面上所对应的点的坐标为() a(0,1) b(1,0) c(1,0) d(0， 1) (3)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是6 () a(3,1) b(1,3) c(1， ) d(， 3) (1)c(2)a(3)a(1) 由题意可知zxyi，所以 |zi|x (y 1)i|x2 y 121. x2(y1)21.故选 c. (2)i1i1

11、i1 1i2i，该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1) ，故选 a. (3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以m30，m10，解得 3m1，故选 a. 点评： 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可跟进训练 1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是oa，ob，则复数 z1 z2对应的点位于() a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限d由已知 oa(2， 1)，ob(0,1)，所以 z1 2i，z2i，z1z212i，它所对应的点为(1， 2)，在第四象限 2(2020 全国卷 )设复数 z1，z2满足 |z1| |z2|2， z1 z23i，则|z1z2|_. 2 3设 z1x1y1i(x1， y1 r)，z2x2y2i(x2，y2 r)，则由 |z1| |z2|2，得 x21y21x2