全国周培源力学竞赛模拟题集

1、1 2011 年力学竞赛模拟题集1、质量为 m 的匀质梁ab 水平放置 .a 端为固定铰支座，b 端接柔绳 ,质量不计， 该段柔绳跨过位置固定的圆柱体与放置在梁上质量为m 的物块连接， 物块与梁之间以及柔绳与圆柱体之间的静摩擦因数均为，ed 段柔绳与ab 平行， bc 段柔绳与 ab 垂直。 ab 梁长为 l，物块尺寸如图1a 所示，高为b,宽为 a. (1）试证明cb 段柔绳上的拉力2ettedcb. (2）如果系统保持在图示水平位置平衡,试求物块中心距a 端的最大距离d。a） b）图 1解： （1）分析 cd 段柔绳，取微元体进行分析,如图 1b 所示列平衡方程0f0)2dcos()d(d

2、)2dcos(ttnt(1）0nf0)2dsin()d(d)2dsin(ttnt（ 2) 由式（ 1)得ntdd，由式（ 2）得ddtn所以ddtt两边同时积分有20ddcdtt积分得2ettedcb（2)以物块为研究对象，假设物块处于滑动临界状态mgnf此时恰好为翻到临界状态mgftedcb 段柔绳的拉力22mgeettedcb以 ab 梁为研究对象0am0)2(2admglmgltcb解得mmamllmed222nt2d2d2d2dsdndfdttd2 2、杂技团表演平衡木杂技，在长为 l 的平衡木上站了n 个体重相等的演员,且所有演员之间的间距相等。试求：该平衡木上最大弯矩的一般表达式？

3、解： 将该模型简化为简支梁，如图2 所示，梁长为l，n 个演员之间距离为) 1/(nl，演员体重均为nf /,则在 ab 两端约束反力均为2/f。根据题意发现,最大弯矩总是发生在梁的中间2/l处。图 2(1） 如果演员总数是偶数个，则取中间2/ l截面截开，每侧作用有约束反力2/f、2/n个集中力nf /,则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：)1(8)2(2) 12(2) 1()2321(1)2321(1224)122()132()122()12(22maxnnflnnnnflnnlnfnnlnfnlnfflnlnlnfnllnfnllnfnllnflfm(2）如果演员总数是奇数个，则取中间2

4、/ l截面截开，最大弯矩侧作用有约束反力2/f、2/ )1(n个集中力nf /，则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：nnflnnnnflnnlnfnnlnfnlnfflnlnlnfnllnfnllnfnllnflfm8) 1(2) 121(21) 1()21321(1)21321 (1224)1212()132()122()12(22max3 一、 烟囱定向爆破（40 分）城市建设需要对废旧烟囱进行定向爆破拆除,在烟囱底部进行预处理，沿周边对称开挖两个导向洞，以便形成倾覆力矩。预定倾倒方向留置一段弧长约为1/4 周长，在其上布设药孔并装药，实施起爆后 ,混凝土碎块飞散，钢筋基本完整，但竖向钢筋

5、在烟囱自重作用下弯曲，然后烟囱顺此方向倾倒。1、 竖向钢筋为何弯曲，利用了材料的哪类力学性质？已知钢筋的直径为d，间距为 a，比例极限为mpap200，烟囱的质量为m，试确定药孔区的最低分布高度。2、 一般烟囱高达数十米,可将其看作长为l 的均质细杆，根部因为钢筋的牵连，可看作固定铰链，当烟囱与铅垂线成任意夹角时，请求惯性力简化的结果以及根部的约束力。3、 当根部开始断裂时，烟囱还像刚体一样整体地下落，随着下落角度变大，转动角速度也变大,有时在倒塌的过程中在离根部约1/3 长处发生二次断裂，且断裂从面向地面的一侧开始，从倒地后的现场来看，明显在断裂处有一空地无倒塌物。请根据相关力学原理建立模型

6、描述。解： 1、为保险起见，混凝土碎块飞散后,钢筋为两端固定的细长压杆根据欧拉公式：22()creifl得224crcrcrcreifeielff其中2/3crwfra（烟囱自重均匀分布在筒壁，每根钢筋平均分担压力）2、惯性力系向根部简化简化为：2iw lfg，22niw lfg,213iowmlg其中角速度和角加速度如下计算：据()0omf有，sin02oljw，得3sin2gl而dddddtddtd，分离变量后再积分得003sin2gddl3(1sin)gl由0 xf,得2s02oxw lfwcog，即2s(3s )22oxw lwfwcocog4 由0yf,得sin02oyw lfwg,

7、即sinsin24oyw lwfwg3、横截面上有动内力分量分别为:ndf、qdf、dm力矩平衡得()()0bbidxmwmfml即：12sin()()2223dxxmxmxmwlxxllxxlll化简得：321sin()4dwxmxll动弯矩最大时有：0ddmdx，即得23lx此处maxsin27dwlm5 二、孙悟空的如意金箍棒（40 分）中国四大古典名著的西游记中的孙悟空本领高强，神通广大，深得人们喜欢。尤其是他的兵器 -如意金箍棒，帮他大闹天宫，降妖除魔。传说该棒原为大禹治水时用作测江海之深的宝器，原来放在东海龙宫之中时，重一万三千五百斤(一公斤合二斤） ，有二丈长（一米合三尺，十尺合

8、一丈） ，碗口粗细，一般饭碗的直径约合10 厘米。1、金箍棒的最大神奇之处在于可随意变化尺寸大小，如果金箍棒在变化过程中，保持总重量和尺寸比例不变。只考虑自重影响，强度控制条件mpa1000，试分析在固定一端，分别竖直放置和水平放置两种情况下长度变化范围。如果保持密度和尺寸比例不变呢？2、孙悟空和二郎神打斗之时，不提防太上老君自上扔下金刚琢,悟空本能地双手举棒迎接,金刚琢正好垂直打中金箍棒中间，如金刚琢重为p，无初速自由落体，下落高度为h，孙悟空两手为刚度为 k 的弹簧支座 ,金箍棒的刚度系数为ei。试计算金箍棒中的最大挠度。3、因被金刚琢击中，手中金箍棒被震脱手，从云端落下,设高度距离地面h

9、,棒与水平面的夹角为，落地时棒的一端与光滑地面碰撞，恢复系数5. 0e，则一次碰撞后金箍棒能弹起多高?再次与地面碰撞时，金箍棒与地面的夹角为多少？4、孙悟空有时为了震慑对方，操起金箍棒 ,把山石打得粉碎，这个过程为典型的碰撞过程.悟空发现单手握棒击打时，只要控制好持棒位置和金箍棒击打石头的位置和方向，就能使手上的震动力很小或没有，试建立合适的力学模型并给出分析过程、结论。解：1、自重不变时，66717 .661 .0ld竖立放置时：42dwaw，41wdl水平放置时 :1632223dwdwl，161wl综上，可得竖立放置时决定长度的极小值密度不变时，24dlw竖立放置时：laal，l水平放置

10、时：44432223223llldlddlal, 4l综上 ,可得水平放置时决定长度的极大值2、问题简化为梁的两端放在两个刚度为k 的弹簧上 ,则梁跨中截面的静位移为：6 kpeiplst2483，动荷系数stdhk211则stddk3、 棒下落时作平动，有2acvvgh据碰撞时的冲量定理有,ccmumvi据相对质心的冲量矩定理,210cos122lmli棒的质心和碰撞点的速度关系为：acacuuu在竖直方向投影得：cos2aycluu根据恢复系数的定义知cos22cayayluuevgh综合可得22cos13cosgh，222(1 6cos)2(1 3cos)cghu，2322(1 3cos

11、)mghi4、 棒打击石头与石头打击棒情况类似，建立如图所示坐标系，应用碰撞时的动量定理有cxcxxoxmumvii，cycyyoymumvii碰撞前后棒与石头无切向相对速度，则有()xcxcxoxim uvi，yoyii手中无碰撞冲量时， 有()xcxcxim uv，0yi上式表明石头对棒的冲量应垂直于棒,根据冲量矩定理有21oojjil考虑到速度关系有21()()xcxcxim uvma即碰撞点到手的距离为ojlma此即为撞击中心，手握点为固定点，石头撞击棒点为k 点，手中无撞击力。不难验证，手和撞击中心的位置互换后，结论相同。7 滑板小子周学生杰伦酷爱滑板运动，热衷挑战各种高难动作，人送

12、雅号“滑板小子”。周学生身材匀称，体重 50kg，滑板轮心距a = 0 。65m,重量不计。周末,他滑至一条河边，河面宽为l = 3m，河上仅平铺木板一块 (宽度 130mm，厚 18mm） ，斜坡倾角30.如图 1 所示。（1）假设滑板滑行速度最大可达20 km/h,不计空气阻力 ,周学生能直接飞越过河到达对岸吗?（2）假设木板的40mpa，周学生前后对称站立于滑板上, 他能乘滑板 (双脚始终在上面）通过木板到达河对岸吗？为什么？（3）若无前后对称站立于滑板的限制条件，他能乘滑板到达河对岸吗？为什么? la 图 1 解： (1）取周学生和滑板组成系统为研究的质点。22220 xzzffdvd

13、 xmmdtdtdvd zmmmgdtdtx由初始条件：t = 0 时， x = z = 0,0cosxvv，0sinyvv；积分可得020cos1sin2xvtzvtgt上式消去t，得轨迹方程2220tan2cosgzxxv令 z = 0,代入30，020 km/hv，29.8 m/sg，解得2.72mx或0mx（舍去）因2.72m3mxl，周学生不能直接飞越过河到达对岸.（2）不计滑板和木板的重量, 通过木板时系统的受力简图如图1。p为人的重量。8 图 1 图 2人对称站立于滑板上，板ab 的受力如图2 所示 , 当 c、d 关于跨中对称时，支座约束力2abpff，max()()224cd

14、alapmmmflamax509.8(30.65)287.9n m4m22311130187020mm66wbh3maxmax287.9 1041mpa40mpa7020mw所以，在此情况下，周学生不能乘滑板通过木板到达河对岸。（3）人站立于滑板任意位置上，板ab 的受力如图3 所示，图 3 其中12ppp，当 c、d 关于跨中对称时，支座约束力(1)2aapfpxll，2bapfpxll()22calamf，()22dblamf板跨中截面弯矩11()()()2222222cdabmmlalamffpm 不随人体位置调整而变化，所以，在此情况下，周学生仍不能乘滑板通过木板到达河对岸。9 溜溜球

15、如图 1 所示 ,一个质量为m、外径为 r 的溜溜球静止放置在桌面上，设球对质心轴c 的回转半径为/2r，内径为r，绕在细绳上。在绳端施加方位角为的拉力 f.不考虑滚动阻碍。（ 1）若桌面光滑 ,试分析当02， ，时,溜溜球的滚动方向？（ 2）为多大时 ,可确保溜溜球只滑不滚？（3)若桌面光滑,溜溜球能否只滚不滑?其条件是什么？解： （1）在桌面光滑条件下,02， ，时，溜溜球的滚动方向均为逆时针。（ 2)溜溜球的受力分析见图2。据 刚 体平 面 运动 微 分方程：n2cos (1)sin0 (2)1() (3)2fcfffmafmgfmrfrf r要求不滚 ,则0，frffr，代入 (1）式

16、可得，coscrffmar要求滑动，则0ca，cos0rffr,cosrr即可。（ 3）要求只滚不滑,则car。代入刚体平面运动微分方程，消去ca与，得2(cos )3frffr又因n(sin)fffmgf要求只滚不滑与桌面光滑程度无关,则sinmgf，2cosrr因此，条件是mgf,2rr。cfrr图 1 crrffnffmg图 2 10 一、用手弹出一质量为m、半径为r的乒乓球，在地板上运动，使质心保持直线运动。质心的初速度为0v,转动初角速度为0。假设乒乓球与地面的滑动摩擦系数为f。（1）求经过多长时间,乒乓球不再向前面运动？（2）求乒乓球运动到最远距离后，不再向回滚动的条件. 解答：

17、（1）mgmgnffnfdtdvmfmg积分：fgtvv0当0v时,fgvt0(2)dtdjfmgrc积分：0cjfmgrt将fgvt0代入上式 ,得:00cjrmv当0时，可以得：00mrjvc考虑到装动惯量252mrjc代入上式得：rv005211 二、如图所示，等直杆一端固定, 另外一端受到沿轴线方向的集中力，大小为f，该杆半径为 r；选用弹性模量为e、泊松比为 =0.25 的各向同性材料。为了加固该杆件, 在实心杆的基础上套上一个厚度为的套筒（ r)，套筒与杆件选用相同的材料，亦不考虑套筒与杆件之间的摩擦。如果所选用材料为脆性材料，许用压应力是许用拉应力5 倍，试分析套筒能否使杆件承受

18、更大的载荷。解：若杆件受到压力等于许用载荷为f，而套筒所受内力以拉应力为主，套筒所受拉应力是约是该材料的许用压应力的0。25 倍，因此 ,增加套筒并不能提高实心杆的承载能力, 相反必须降低许用载荷以确保套筒满足强度要求。12 四、某设计人员， 设计一台单梁双吊龙门吊车（设计简图如图所示） ，设计吊重为200kn （两个吊钩同时起吊， 承载能力相同), 吊车跨度为2 米, 左右两吊钩最大行走距离为0.32 米。该设计人员经过计算（忽略起吊冲击影响）选用横梁为no20a工字钢梁， 截面尺寸如图， 材料的许用应力为150mpa.当设计员满怀希望将设计报告上交后，审核人员却发现该设计存在问题. 亲爱的

19、朋友, 请您帮助核实一下,1) 该结构所涉及力学问题有哪些？2) 画出其力学模型？ 3) 请给出完整的设计过程, 并分析该设计人员的设计思想可能在哪里出现问题？如何改进? 解：（1）弯曲强度，复杂应力状态（2）计算简图如图（3）解： ( 一) 画梁的剪力图和弯矩图危险截面发生在c、d截面 mc=32knm ， qc=100kn 13 （二）强度校核先绘出 c截面正应力分布图和剪应力分布图. a正应力强度校核（k1 ）点b剪应力强度校核(k2 ）点正应力和切应力强度条件均满足. c校核腹板和翼板交接处（k3）点的强度。由于钢梁为塑性材料，k3 点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。说明钢梁在

20、k3 点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求（有可能未涉及）.必须增大工字钢的型号,才能满足钢梁在k3 点处的强度。mpabisqzzck8.64107107.231024.116.881004.11101003693*3mpayimkzck120107.23106.8810326333314 一、墙上安装一块薄板，当重物放在薄板的较远处时,重物常常会滑出薄板. 薄板近似可以看作为一悬臂梁ab ，梁长 l，抗弯刚度ei，重物 c 的重量为g，重物和梁的摩擦系数为，求：（1）重物开始滑动的位置（2）重物滑离 b 端时的速度。解： (1）设重物开始滑动时距离a 的长度为 s，如图 2 所示

21、,则 ad 段的挠曲线方程为：2306eigxysxxs由此可知22eiddgsy(1）由静力平衡条件,可求得摩擦力为: cossdfg重物开始滑动的条件为sindsgf由以上 2 式，可得：tandd将式（ 1）带入上式，即可得到重物开始滑动时的位置为: a b c 图1 图 2 g a b x c s y fnfsdd 15 1/22eisg（3）重物由 d 处滑倒 b 处，在 3 阶段的始末两处的挠度分别为33,33dbgsglffeiei设重物滑离b 端时的速度为v,w 为摩擦力在此过程中所做的功，由能量守恒定律可知23323gvglgsgwgei（2）这里假设重物的体积很小,其转动的

22、动能忽略不计. 由于sdwf ds而cossfg321dsydx32cos/1dx dsy所以有3/2cos1dwgydxgdx积分上式：wg ls(3）将(3）代入（ 2） ，最后得到1/22223gvg lsllssei二、海绵拖把在即将挤干水时的状态如图所示，若挤干水时需f1。试求手作用在拖把上竖16 直方向的力。分析手上还有哪些力。如想省力，可采取哪些措施。l112ffaxfay2f1f1f2f22fayf1f1f31l2l3海绵拖把头加压手柄（a）（b）（c) （d）解: 取海绵拖把头为研究对象，受力图如图(b）所示0yf，0cos2212ff212cos2ff取加压手柄为研究对象，

23、受力图如图（c)所示0)(fam, 0221lflf1221122cos2/llfllff0yf，02fffay)1 (cos212212llffffay取拖把手柄为研究对象，受力图如图（d）所示0yf，0cos2321fffay1221213cos2cos2llfffffay由于两手的作用力不在一竖直线上，握拖把手柄的手有转动力偶的作用。如想省力，2角尽可能大一些，1l尽可能大一些,2l尽可能小一些。当然须和其他因素综合考虑。一、如图所示，一个小球自由下落，高度为h，与容器碰撞，恢复系数为k,容器的母线为17 2axy，问小球落在什么范围与容器碰撞后，能飞出容器。解：)2arctan( ax

24、，ghv2coskvvn，sinvvtcossintnxvvv，sincostnyvvv2221gttvaxhytvahxx224422232322141681161644khaxaxaxhakxhahakahkaxharhakhakhax4242642, 其中22222322422222222216321624124121229hhakhhakhahakhakkahkahhakahkahahr二、两个人要比赛谁的力量大,其中一个人提出用图示的杆件比谁能使杆b 端挠度最大，在18 比赛前设置了一个条件,即在矩 a 端为a的位置下方放置了一个易碎的小圆柱，该圆柱体距水平位置为，较小 ,ei 已知

25、。比赛以b 端挠度最大，且不能使小圆柱题破坏为胜.请问，你怎样加力，才能获胜。（注：只能加一个力）解：cospf，sinphmeimaeifa2323eimaeifa22eialmeialfaly23230ddylalalah4253arctan22一、啄木鸟玩具19 一只啄木鸟模型通过弹簧联结在套筒上，将套筒置于金属杆的顶端,放手后啄木鸟开始有节奏地摆动身体，一边啄木一边间歇地时滑时停地向下滑动。这个有趣的玩具作为演示教具，常见于德国理工科大学的力学实验室。（ 1）本问题与力学中的什么内容有关系; （ 2）请说明啄木鸟玩具的力学原理；（ 3）请对其运动进行力学分析。解： （1）关键词：摩擦力

26、、谐振动、周期性运动,动量矩定理、动量定理。题 11 图（ 2）力学原理：仔细观察啄木鸟的运动。当套筒倾斜，端部与直杆接触，且接触处的摩擦力足以平衡套筒和啄木鸟的重量时，啄木鸟即作短暂的停留。而且接触处的摩擦力小于套筒和啄木鸟的重量时，约束即被解除，啄木鸟向下滑动，直到套筒再次倾斜，端部与直杆再次接触为止。 在此过程中， 啄木鸟作周期性摆动使套筒的姿态以及套筒与直杆的接触处的法向约束力nf随之改变 ,摩擦力亦随之改变。摩擦力的周期性变化正是套筒与直杆之间发生粘着 滑动 -再粘着现象的根本原因。（ 3）力学分析 :将啄木鸟模型记作1b，套筒记作2b，质量分别为1m和所2m，组成的系统记作b。设1

27、b通过弹簧与2b联结 ,弹簧为扭簧 ,弹簧的刚度系数为1k，仅产生由角位移引起的扭矩 .令和分别为1b和2b相对垂直轴的偏角，在图 12 中以顺时针方向为正值. 在2b与直杆粘着阶段,设2b上的1p和2p点与直杆接触且粘着，倾角保持常值m。此时，1b作固定基座的自由摆动，摆动中心o与2b固结，与1o点的距离为a。设1b相对于o点的转动惯量为1j，仅保留和的一次项，根据1b对o点的动量矩定理，可列出动力学方程0)(111gamkjm（ 1）对于0)0(, 0)0(的初始条件 ,解出ttstst11010sin)(cos)(（2）1b在静位移)(11kgammst附近作角频率111jk的谐振动。设

28、直杆对2b的法向约束力为nf,2b的高度为b，弹簧作用于2b的力矩)(1mkm与直杆作用于2b的力矩bfn题1 2图互相平衡 ,可导出)(1mnbkf（3）设2b与直杆之间的静摩擦因数为sf，则最大静摩擦力为nsfff。系统的总质量为21mmm,为保证摩擦力能支撑系统的重力，应满足m(4）m为维持粘着状态时1b偏角的最小值. 12kfmgbsmm（5）设运动从套筒与直杆粘着时开始，令m0.1b的偏角顺时针转动， 弹簧力矩和相20 应的摩擦力增大,使套筒继续维持粘着状态.达到最大值后开始减小，摆动方向从顺时针变为逆时针。若在1t时刻减至m且继续减小，则直杆对2b的摩擦力不能承受b的重量而开始滑动

29、。但在法向约束力nf减小为零以前,直杆仍保持对套筒的约束，2b倾角仍保持m不变 .以直杆顶端0o为原点建立向下的垂直坐标轴z，以确定o点的位置。套筒在重力和摩擦力作 用 下 滑 动 的 动 力 学 方 程 为nsffmgamzm21（6) 根据对动点的动量矩定理,列出1b对o点的动力学方程: 0)()(111azgmkjm（ 7）利用2b的平衡方程式（3）和式（ 6）消去)(1zgm，代入式（ 7）整理得0)(mkj(8) 其中mamjj2211，) )(21(11mbamfkks（9）除在mamj2211时与m恒保持相等外，1b在m附近作角频率为jk的谐振动。当1b在2t时刻的偏角到达mt

30、)(2且继续减小时，弹簧力矩和法向约束力nf同时为零，约束即被解除。解除约束后的 b处于自由下落的腾空状态，其相对总质心的动量矩守恒。近似忽略1b和2b的转动对总质心位置的影响，设总质心与o点重合。设2b相对o点的惯性矩为2j， 以012)(t和0)(2t为初值，其中01为方程（8)的解在2t时刻的值。动量矩守恒定律要求01121jjj（10) 在弹簧保持松驰时和取常值 ,对应于以下特解：02，)(2101102jjj（11）1b和2b以相同的角速度逆时针同步转动。由于约束瞬间消失引起碰撞效应，1b和2b的角速度分别由零和01突变为同一角速度02. 设在3t时刻，1b和2b逆时针转至m，端部在

31、1q和2q处与直杆发生碰撞.由低弹性材料制造的套筒碰撞后角速度突变为零。则2b沿直杆向下滑动，1b相对套筒的动基座摆动。其动力学方程与方程（8）相似，只需将m前的负号改为正号: 0)(mkj（12）1b在m附近作角频率为jk的谐振动。在4t时刻，当增加到m且继续增大时，约束力nf增大到能使静摩擦力足以承受b的重量，则2b重新与直杆粘着,1b再次作固定基座的摆动,动力学方程为0)(111gamkjm（ 13）在5t时刻，当逆时针转动的到达最大值max时，鸟喙与直杆做弹性碰撞,所产生的21 冲量使1b改朝顺时针方向摆动. 在6t时刻，当回复到m且继续减小时,静摩擦力不能继续承受 b的重量，套筒向下

32、滑动。1b的摆动规律重新由动力学方程（12）确定。在7t时刻，当1b得偏角到达m时,弹簧作用力矩和法向约束力nf再次消失 ,b再次自由下落。1b从约束消失前的角速度，2b从零角速度突变为同一角速度作顺时针同步转动 . 至8t时刻，当1b和2b顺时针匀速转至m时，2b端部重新在1p和2p处与直杆发生碰撞。1b的摆动规律由方程(8）确定 ,直至9t时刻，约束力nf增大到使静摩擦力足以承受b的重量时，2b重新与直杆粘着,1b再次作固定基座的摆动。于是啄木鸟完成一个周期的运动，开始新的一轮循环。以上分析表明，在b运动的每个周期内，2b依次经历不同的约束状态的8 个阶段 .在图示中以（,)平面内的相轨迹

33、表示. (1）12 （10tt)：2b在1p和2p处粘着；(2）23 (21ttt):2b在1p和2p处沿直杆滑动；（3)3-4 （32ttt） ：2b自由下落 ; （4）45 （43ttt)：2b在1q和2q处沿直杆滑动; （5）56 （64ttt)：2b在1q和2q处粘着，5tt时,鸟喙与直杆弹性碰撞。(6）6-7 （76ttt） :2b在1q和2q处沿直杆滑动；（7）78 （87ttt） ：2b自由下落；题 13 图（8）81 (98ttt） ：2b在1p和2p处沿直杆滑动,然后回复到第一阶段。二、弹跳飞人22 在 2008 年北京奥运会闭幕式上，“弹跳飞人”借鉴现代极限体育项目，运用“

34、弹跳鞋 在空中进行高难度的翻转、跳跃等姿态展现，如图21 所示。在奇幻的音乐中，“弹跳飞人”借助弹跳鞋（如图22 所示）起身跳跃，在空中划出一道道优美的光彩，展现运动的激情与美感.空中流星般飞腾的发光人、场内飞旋穿梭的神奇光环，形象地传达出“更快、更高、更强的奥林匹克精神。将弹跳鞋简化为线性弹簧,人简化为弹性直杆（可简化为两段），试建立弹跳飞人题 21 图题 2-2图的力学模型，分析弹跳飞人接触地面时的最大应力.二、弹跳飞人解： 简化后的力学模型如图2-3, 2-4 所示。弹跳鞋被简化为线性弹簧，取弹性系数为k。人简化为两段弹性直杆，其中腿部横截面面积为a1,长度为l1，上身横截面面积为a2,

35、长度为 l2，取人的弹性模量为e。l2l1kvl2l1kfdfdq2q1x2x1题 23 图题 2-4 图23 设人与弹簧间的最大冲击力为fd，在其作用下，产生方向向上的加速度，杆上均匀分布惯性力向下 .其中：2121aaqq，1122lqlqfd设飞人质量为m,从高度为h 处跳下 ,其接触地面时的动能为t=mgh 由于弹簧的变形引起的人的势能变化（忽略由于人轴向变形引起的势能变化): kfmgmgvdd弹簧的应变能：)2(2kfvdd弹；人上身轴力：222)(xqxfn; 人腿部轴力：111)(xqfxfdn；人的应变能为: 2022210112212)(2)(dxeaxfdxeaxfvln

36、lnd人根据能量守恒定律人弹ddvvvt得：23222112112113112663)( 3)(2ealqqeaflqflqlqkfkfmgmghdddd(1）设：lll21，aa1，aa22，qq1，qq22。则qlfd3所以式（ 1）可简化为032729232mghqklmgqealkl（ 2）求解式 (2)中可得2222797)(92)(93klealealkeakmghmgeamgeaq则最大冲击应力在人的脚部aqlafd3max代入 q 即可得：kaleaealkeakmghmgeamgea797)(92)(9392222max24 一、 “一苇渡江 是一个关于达摩乘一根芦苇渡江的典

37、故，图（1）所示为漂浮在水面上的矩形截面梁，重量为f 的人在梁上活动，水的密度为w，略去弯曲变形及梁自重的影响。要求：(1）人的活动范围，保证梁上任何一点水不没过其上表面；(2）若此梁为矩形截面组合梁（截面尺寸及材料分布见图(b) ） ，试画出最大正应力作用面上的正应力分布图（已知b，t，1222eee） 。解：设梁跨中c 点竖向位移为,梁绕c 点转角为，则梁左、右端竖向位移为2lya,2lyb1.矩形梁下水压力为梯形分布时：根据平行力系平衡条件可得blgfw3121blgfew其中， e 为 f 作用点到c 截面距离；gblfw312gblfew此时02lgpwa02lgpwb可得，062g

38、blfegblfww，解得6le(1) 25 hgblfegblfww26， 令fghblw， 且1， 解 该 不 等 式 可 得16le(2）根据不等式（ 1） (2) 21时，16le2时，6le2。 矩形梁下水压力三角形分布时2此时最大静水压力ghbelfpw232max，可解得322lle3. 经分析 ,当 f 作用于跨中时 ,梁内危险截面弯矩值最大，flm81max此时22111ieiem323134231212bttbtbti332322121bttbi其中，4ht梁危险截面上的轴向正应力2211ieiemyeye22112211svsvspspf26 二、半径为r的刚性圆盘在圆周

39、上由六根等距排列且完全一样的立柱支撑. 竖向集中力f可在圆盘上自由地平行移动，但立柱承受的轴向压力达到f/4 就会失稳 . 如果要使每一根立柱都不会失稳，f应该限制在什么区域内？如果要圆盘不致于倾翻，f应该限制在什么区域内?若各杆抗拉刚度均为ea,屈服极限均为s4f. 现荷载由o点缓慢移动到k点后再返回到o点， a杆处的竖向位移是如何变化的? f 力作用点为p(x，y） 。以x轴为对称轴确定对称点p ，将载荷分解为对称与反对称两部分（1）对称部分以y轴为对称轴将载荷再次分解为对称与反对称两部二次对称部分1111116abcdeffffffff二次反对称部分222222adbfceffffff2

40、222222222366366abbaababfrfrfxfffxfxffxffxffffrrrrf l b a c d e f p( , )p x yxy2dr r/22c2b2a27 63666366abfdaceffxffxfffrrffxffxfffrr反对称部分： p 和 p 分别作用向下和向上的f/2.同时将载荷以y 轴为对称轴再次分解。二次对称部分2222220adbcefffffff222221133226cbcefyfrfyffffyr二次反对称部分各柱压力均为零. 36366636666333666666abcdefffxffxfyffrrrffxfyffxffrrrffx

41、fyffxfyffrrrr失稳条件4iff分别是1113342211133422xrxyrxyrxrxyrxyr使六根立柱都不失稳，应为上述不等式的集合。是边长为36ar的正六边形要使圆盘不致倾翻，至少有三根立柱没失稳. 假定 a、b、f 三柱已失稳，则此失稳立柱支承力为f/4 f 力作用点为p（x,y） .以x轴为对称轴确定对称点p ，将载荷分解为对称与反对称两部分对称部分4abfffffceff24dcfff222424dcrfrff rfrfxb a c d e f p( , )p x yxyyf/2 f/2 yy22cf22efb a c d e f xy28 4ceffxffr324

42、dffxfr反对称部分0df3cfrfy3cfyfr3efyfrc、d、e 各柱总压力为43cffxfyfrr324dffxfr43effxfyfrr失稳条件4iff分别是1123xyr14xr1123xyr同理可得其它三柱失稳的情况，可得一个边长为12ar正六边形的区域。若各杆抗拉刚度均为ea， 屈服极限均为s4f.现荷载由o 点缓慢移动到k 点后再返回到o 点 ,a 杆处的竖向位移是如何变化的? 刚在 o 点时 ,a 处的竖向位移6aoflvea求在 k 点时， a 处的竖向位移1443cffxfyffrr13244dffxffr1443effxfyffrrc、d 处位移分别为14cflv

43、ea14dflvea因此174aflvea荷载由 k 返回到 o 点，相当于原有荷载叠加上反方向荷载a 处附加位移为26aflvea回到 o 点 a 处位移为127194612aaaflflflvvveaeaeab a c d e f xyb a c d e f xyo k d c a 1cv1dv1av29 1。图示机构位于铅直面内，均质杆ab 重 p,长 2l，一端置于光滑地面上，另一端与长为l的绳 oa 相连 ,绳重不计且不可伸长。当绳水平时，ab 与铅垂线夹角0 =30,杆由静止开始落下，不计摩擦。求开始运动瞬时: （1）杆的角加速度；（2）绳子的拉力和地面对杆的约束力。解:取杆 ab

44、 为研究对象 ,如图所示。 ab 平面运动，点b 沿地面直线运动，点a 绕 o 圆周运动. ntccacaantcacatcantccbcbntcbcbtcbaba a =a+a+aa=0a=33xa22abb a =a+a+aa=0a=11a22cxbcyllll平面运动，以为基点，由静止开始，向 方向投影： a平面运动，以为基点，由静止开始，向y方向投影： ab a c p tfnfb a c p o b a aaaaacxx acyatcaancay a y b acxx acyatcbancbabab30 21213(2 )1222cxtcynntmafmafmgllmlff由刚体平面

45、运动微分方程：331(1) (2)() 22143=2383 3131616tntnflfm glgmgmllfmgfmg、 得：带入（ 3）带入得：31 2.图示结构中，设已知梁ab 的 i，w，杆 bd 的截面面积23ia=2a，长为a,且梁杆材料相同,弹性模量均为e。现有一重为p 的重物自高h 处,自由落下在ab 梁中点 c 处，求梁ab中最大动应力dmax。解：将 p作为静载直接作用在c 处， c 处位移应包括两部分，为: a a a a b d p c h a a a a b d p c 333max3(2 )1482 232611116(11)2stdstddstpapapaeie

46、aeiheihkpapaeihkwpa动荷因数：最大动应力：32 1.水滴在无阻尼的静止介质中下坠，由于蒸汽的凝结，水滴质量增大的速度服从规律dm/dt=kr 其中 k 为常数 ,r 为水滴的半径。假定初瞬时水滴的速度为v0，初始半径为r0,初始质量为m0，试把水滴速度大小的变化规律表示为其半径的函数。解:设某一任意瞬时t，水的质量为m,把水滴的形状假设为圆球体，则水滴的质量可表示为m=r3。由于水滴质量的增大速率服从于规律dm/dt=kr ，有3233drdmdrrkrdtdtdtdrkdtr由于水滴周围的蒸汽的绝对速度为0，水滴的运动微分方程为dmvmgdtdvdmmmgvdtdt考虑水滴质量的变化，有2dvkgvdtr将3drkdtr代入上式，整理后得33dvgvrdrrk对上式进行积分得到333l