北京数学高考大题汇编(含答案)

1、第一部分第一部分三角函数三角函数1. 1.( 2013( 2013 北京高考理科北京高考理科) )在abc 中，a=3，b=26，b=2a.(i)求 cosa 的值；(ii)求 c 的值.解：(1)因为 a3，b26，b2a，326所以在abc 中，由正弦定理得.sin asin 2a2sin acos a26所以.sin a3故 cos a6.363，所以 sin a 1cos2a.33(2)由(1)知 cos a1又因为b2a，所以 cos b2cos2a1 .322所以 sin b 1cos2b.353在abc 中，sin csin(ab)sin acosbcos asin b.9a s

2、in c所以 c5.sin a2 2( 2014( 2014 北京高考理科北京高考理科) )如图，在abc中，b 3, ab 8，点d在bc边17上，且cd 2,cosadc （1）求sinbad（2）求bd, ac的长解： （i）在adc中，因为cosadc sinadc 4 3。71，所以7所以sin bad sin(adc b) sinadccosbcosadcsin b。（）在abd中，由正弦定理得3 3absinbad14 3，bd sinadb4 378在abc中，由余弦定理得ac2 ab2 bc22abbc cos b82522851 492所以ac 73.3. ( 2015 (

3、 2015 北京高考理科北京高考理科) )xxx已知函数f (x) 2sincos2sin2222() 求f (x)的最小正周期；() 求f (x)在区间 ，0上的最小值试题解析：()f(x) 2 sinx2cosx22 sin2x22 1sinx22 1 cosx22222sinxcosx sin(x)222422 2；1(1)f(x)的最小正周期为t(2)x 0, 33x，当x ,x 时，f(x)取得最小444424值为：1 224 4( 2016( 2016 海淀期中海淀期中) )已知函数f (x) 3sin(2x3)cos(2x3).（）求f (6)的值；（）求函数f (x)的最小正周

4、期和单调递增区间.解：（）因为f (x) 3sin(2x)cos(2x33),所以f () 3sin(2 663)cos(263),3sin(23)cos(23) 32121.-（）因为f (x) 3sin(2x3)cos(2x3),所以f ( x) 2 32s i nx(2132)cx os (32) 2 c o6ss ix n (23)6s i nxco3s ( 2) 2sin(2x3)6 2sin(2x2) 2cos 2x,所以周期t 2|=22 .令2k 2x 2k，解得k2 x k，k z z，所 以f (x)的 单 调 递 增 区 间 为(k2,k),k z z.c法 二 ：f (

5、x )3 s ix n (32 ) xc o3s,( 2)所以f (x) 3(sin2xcos3cos2 xsin3) (cos2 xcos3sin2 xsin3)-7分为因1313cos2x)( cos2x sin2x)3(sin2x 2222 2cos 2x-9分所以周期 .t 22= -11分|2令2k 2x 2k，-12分 x k，k z z,2所以f (x)的单调递增区间为(k,k),k z z.-13分2解得k5 5( 2016( 2016 海淀期中海淀期中) )如图，在四边形abcd中，ab 8,bc 3,cd 5,a（）求bd的长；（）求证：abc adc .解：a1,cosa

6、db .37dcb（）因为f (x) 3sin(2x)cos(2x),33所以f ( ) 3sin(2 6)cos(2),63633sin(2231)cos() 1.-4分3322（）因为f (x) 3sin(2x)cos(2x),333所以f ( x) 2 2 2 c o s1s i nx(2 )32cx o s ( 2) 3-6分6s ix n ( 2 336)s i nxc o s ( 2) 63-7分 2sin(2x) 2sin(2x) 2cos 2x,-9分所以周期t 222= .-11分|2令2k 2x 2k，-12分解得k x k，k z z，2所以f (x)的单调递增区间为(k

7、,k),k z z.-13分23所以f (x) 3(sin2xcoscos2 xsin ) (cos2 xcossin2 xsin )-7分3333法二：因为f (x) 3sin(2x ) cos(2x ),31313cos2x)( cos2x sin2x)3(sin2x 2222 2cos 2x-9分所以周期 .t 22= -11分|2令2k 2x 2k，-12分 x k，k z z,2所以f (x)的单调递增区间为(k,k),k z z.-13分2解得k6. ( 20166. ( 2016 海淀期末海淀期末) )已知函数f (x) 2 2cosxsin(x)1.（）求函数f (x)的最小正

8、周期；4， 上的最大值与最小值的和.126解： （）因为f (x) 2 2cosxsin(x)14（）求函数f (x)在区间 2 2cosx2(sinx cosx)1.1 分2 2cos x(sinxcosx)1 2cosxsinx2cos2x1.5 分（两个倍角公式，每个各2 分） sin2x cos2x2sin(2x).6 分4所以函数f (x)的最小正周期t 2 .7 分|， ，所以2x ， ，所以(2x)，.8 分1264121263当2x 时，函数f (x)取得最小值2sin();.10 分12412当2x时，函数f (x)取得最大值2sin,.12 分41212因为2sin()2s

9、in() 0,1212所以函数f (x)在区间， 上的最大值与最小值的和为0.13 分126（）因为x7. ( 20167. ( 2016 海淀一模海淀一模) )如图，在abc中，点d在边ab上,且ad1. 记acd ,bcd .db3cacsin（）求证:；bc3sin（）若，ab 19,求bc的长.62abd解： （）在acd中，由正弦定理,有在bcd中，由正弦定理,有acad2 分sinadcsinbcbd4 分sinbdcsin因为adc bdc ,所以sinadc sinbdc6 分因为ad1acsin, 所以7 分db3bc3sin（）因为，,62ac239 分由（）得sinbc3

10、sin26设ac 2k,bc 3k,k 0,由余弦定理,ab2 ac2 bc2 2ac bc cosacb代入,得到19 4k2 9k2 22k 3k cos23,解得k 1,所以bc 3.8. ( 20168. ( 2016 海淀二模海淀二模) )已知函数f (x) 2sin x cos2 x.（）比较f ()，f (46)的大小；（）求函数f (x)的最大值.解： （）因为f (x) 2sin x cos2 x所以f () 2sin4cos2 44 2f (36) 2sin6cos2 6 2因为 2 32,所以f (4) f (6)（）因为f (x) 2sin x (12sin2x) 2s

11、in2x 2sin x 1 2(sin x 132)22令t sin x,t1,1， 所以y 2(t 1)2322,因为对称轴t 12,根据二次函数性质知，当t 1时，函数取得最大值311 分13 分2 分4 分6 分9 分11 分13 分9 9 （20162016 西城期末）西城期末）已知函数f (x) cosx(sin x 3cosx) 32，x r r.（）求f (x)的最小正周期和单调递增区间；（）设 0，若函数g(x) f (x )为奇函数，求的最小值.解解：f (x) cosx(sin x 3cosx) 32 sin xcosx 32(2cos2x 1)12sin2x 32cos2

12、xsin(2x)，3所以函数f (x)的最小正周期t 22=.由2k22x32k+2，kz z，得k512xk+12，所以函数f (x)的单调递增区间为k512,k+12，kz z.（注：或者写成单调递增区间为(k 512,k+12)，kz z. ）（）解解：由题意，得g(x) f (x) sin(2x23)，因为函数g(x)为奇函数，且x r r，所以g(0) 0，即sin(23) 0，所以23 k，kz z，解得k26，kz z，验证知其符合题意.又因为 0，所以的最小值为3.1010 （20162016 西城一模）西城一模）4 分6 分7 分9 分11 分13 分在abc中，角 a，b，

13、c 所对的边分别为 a，b，c. 设a，sin b 3sin c.3（）若a 7，求b的值；（）求tanc的值.（）解解：因为sin b 3sin c，由正弦定理asin absin bcsinc，得b 3c.由余弦定理a2b2c22bccosa及a 3，a 7，得7 b2c2bc，所以b2(b3)2b23 7，解得b 3.（）解解：由a 23，得b 3c.所以sin(23c) 3sin c.即312cosc 2sinc 3sin c，所以32cosc 52sinc，所以tanc 35.1111 （20162016 西城二模）西城二模）已知函数f (x) (1 3tanx)cos2x.（）若是

14、第二象限角，且sin63，求f ()的值；（）求函数f (x)的定义域和值域.（）解解：因为是第二象限角，且sin63，所以cos 1sin2 33.所以tansincos 2，所以f () (132)(32163) 3.（）解解：函数f (x)的定义域为x | xr r，且x k 2,k z z.3 分5 分7 分8 分11 分13 分2 分4 分6 分8 分化简，得f (x) (1 3tanx)cos2xsin x2 (13)cos xcosx2 cos x3sin xcos x1cos2x3sin2x10 分221 sin(2x 6)2，12 分因为xr r，且x k 所以2x ，kz

15、z，27 2k ，66所以1sin(2x )1.61 3所以函数f (x)的值域为, .13 分2 2（注：或许有人会认为“因为x k ，所以f (x) 0” ，其实不然，因为f () 0.）26第二部分第二部分 概率与统计概率与统计1. 1.( 2013( 2013 北京高考理科北京高考理科) )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2天.（）求此人到达当日空气重度污染的概率;（）设 x 是此人停留期间空气质

16、量优良的天数，求x 的分布列与数学期望;（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：设 ai表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1，2，13)1根据题意，p(ai)，且 aiaj (ij)13(1)设 b 为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 ba5a8.2所以 p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).13(2)由题意可知，x 的所有可能取值为 0，1，2，且4p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11)，13p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13)4，135p(x0)1p

17、(x1)p(x2).13所以 x 的分布列为xp05131413241354412故 x 的期望 e(x)012.13131313(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大2. 2.(2014(2014 北京高考理科）北京高考理科）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立） ：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率.（3）记x是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记x为李明在这比赛中的命中次数，比较

18、e(x)与x的大小（只需写出结论）所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 05.（）设事件 a 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件 b 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件 c 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6” 。则 c=abab，a,b 独立。32根据投篮统计数据，p(a) ,p(b) .55p(c) p(ab) p(ab)332255551325所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场13不超过 0.

19、6 的概率为.25（）ex x.3. 3.（20152015 北京高考理科）北京高考理科）a，b两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：a组：10，11，12，13，14，15，16b组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从a，b两组随机各选 1 人，a组选出的人记为甲，b组选出的人记为乙() 求甲的康复时间不少于14 天的概率；() 如果a 25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；() 当a为何值时，a，b两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【答案】 （1）310， （2）， （3）a 11或187494. 4

20、. （20162016 海淀期末）海淀期末）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现a 症状的概率为. 为了研究连续服用该药物后出现 a 症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期. 假设每次用药后当天是否出现a 症状的出现与上次用药无关.（）如果出现 a 症状即停止试验” ，求试验至多持续一个用药周期的概率；（）如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 a 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为，求的期望.解：（）设持续i天为事件ai,i 1,2,3,4，用药持续最多一个周期为事件b， .1 分13121233

21、3365则p(b) p(a1） p(a2) p(a3) p(a4) .6 分81所以p(a1) ，p(a2) ，p(a3) ( )2，p(a4) ( )3，.5 分法二：设用药持续最多一个周期为事件b，则b为用药超过一个周期，.1 分131 23 316,.3 分81265所以p(b) 1( )4.6 分381所以p(b) ( )4（）随机变量可以取1,2，.7 分231214118( ) ,p( 2) 1,.11 分3339991817所以e12.13 分9993所以p(1)c4( )35. 5. （20162016 海淀一模）海淀一模）2004 年世界卫生组织、 联合国儿童基金会等权威机构

22、将青蒿素作为一线抗疟药品推广.2015 年 12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖. 目前，国内青蒿人工种植发展迅速.某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 100 株青蒿进行对比试验. 现在从山上和山下的试验田中各随机选取了 4 株青蒿作为样本, 每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：编号位置5.03.63.84.43.64.43.63.6山 上山 下（）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为s12，s22，根据样本数据, 试估计

23、s12与s22的大小（只需写出结论） ；（）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这 2 株的产量总和为， 求随机变量的分布列和数学期望.解: (i)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数x 3.64.44.43.6 42 分4则山下试验田100株青蒿的青蒿素产量s估算为s 100 x 400g3 分（）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差s1和s2，结果为s1 s2.6 分（）依题意，随机变量可以取7.2， 7.4，8 8.2，8.6，9.4，7 分2222p( 7.2) 11,p( 7.4) 48p( 8) 11,p( 8.2) 4811,p( 9.4) 9 分

24、88p( 8.6) 随机变量的分布列为8.28.69.47.27.48p11111148488811 分随机变量的期望e() 7.21111117.4+8+8.2+8.6+9.4=8.48488813 分6. 6. （20162016 海淀二模）海淀二模）某家电专卖店试销a、b、c三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周111015第二周10128第三周151312第四周第五周a型数量（台）b型数量（台）c型数量（台）a4b4c4a5b5c5()求a型空调前三周的平均周销售量 ；()根据c型空调连续 3 周销售情况，预估c型空调连续 5 周的平均周销量为 10 台.请问：当c型空调周销售量的方

25、差最小时， 求c4，c5的值；2(注：方差s 1(x1 x)2(x2 x)2n(xn x)2，其中x为x1，x2，xn的平均数)（）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中a型空调台数x的分布列和数学期望.解: (i)a型空调前三周的平均销售量x 11101512台2 分5（）因为c型空调平均周销售量为10台，所以c4 c510515812 154 分又s 21(1510)2(810)2(1210)2(c410)2(c510)252化简得到s 115912(c4)25 分5222因为c4n n，所以当c4 7或c48时

26、，s取得最小值所以当c4 7c4 82或时，s取得最小值7 分c5 8c5 7（）依题意，随机变量x的可能取值为0,1,2，8 分p(x 0) 20 255,30 401210 2520 1511+=,30 4030 402410 151,11 分30 408p(x 1)p(x 2) 随机变量x的分布列为随机变量x的期望e(x) 07 7 （20162016 西城期末）西城期末）xp01251211241851111712.13 分1224824甲、乙两人进行射击比赛， 各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下：甲乙6769

27、99yx（）若从甲的 4 局比赛中，随机选取2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；（）如果x y 7，从甲、乙两人的4 局比赛中随机各选取1 局，记这2 局的得分和为x，求x的分布列和数学期望；（）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值.（结论不要求证明）（）解解：记 “从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等”为事件a，1 分由题意，得p(a) 21，c2341所以从甲的 4 局比赛中，随机选取2 局，且这 2 局得分恰好相等的概率为. 4 分3（）解解：由题意，x的所有可能取值为13，15，16，18，5 分313

28、1且p(x 13) ，p(x 15) ，p(x 16) ，p(x 18) ，7 分8888所以x的分布列为：xp1315161838183818 8 分3131所以e(x ) 1315161815.888810 分（）解解：x的可能取值为6，7，8.13 分8 8 （20162016 西城一模）西城一模）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试， 现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.各分数段人数14

29、12108642o455565758595体育成绩（）体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有 1000 名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（） 为分析学生平时的体育活动情况， 现从体育成绩在60,70)和80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在60,70)的概率；（）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在70,80)，80,90)，90,100三组中，其中a，b，cn n当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值.（结论不要求证明）1222（注：s (x1 x) (x

30、2 x) n(xn x)2，其中x为数据x1, x2,xn的平均数）（）解解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70 分的学生有30人，2 分所以该校高一年级学生中， “体育良好”的学生人数大约有100030 750人. 4 分40（）解解：设 “至少有 1 人体育成绩在60,70)”为事件a，5 分2c337由题意，得p(a) 121，c51010因此至少有 1 人体育成绩在60,70)的概率是7.9 分10（）解解：a,b,c的值分别是为79,84,90；或79,85,90.13 分9 9 （20162016 西城二模）西城二模）某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人.

31、为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生 ”和“高中学0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50，生”分为两组， 再将每组学生的阅读时间 （单位： 小时） 分为 5 组：并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.a频率组距频率组距0.0400.0350.0300.025（）写出a的值；0.0200.005时间(小时)o10 20 30 40 50初中生组0.005o10 20 30 40 50高中生组时间(小时)（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30 个小时的学生人数；（）从阅读时间

32、不足10 个小时的样本学生中随机抽取3 人，并用x 表示其中初中生的人数，求x 的分布列和数学期望.（）解解：a 0.03.3 分（）解解：由分层抽样，知抽取的初中生有60 名，高中生有 40 名.4 分因为初中生中，阅读时间不小于30 个小时的学生频率为(0.020.005)10 0.25，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30 个小时的学生约有0.251800 450人，6 分同理，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为(0.030.005)10 0.35，学生人数约有0.351200 420人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30 个小时的学生人数约有450420 870人

33、.8 分（）解解：初中生中，阅读时间不足10 个小时的学生频率为0.00510 0.05，样本人数为0.0560 3人.同理，高中生中，阅读时间不足10 个小时的学生样本人数为(0.00510)40 2人.故 x 的可能取值为 1，2，3.9 分22c1c3c1c33313c223p(x 2) p(x 3)则p(x 1).，c310c35c310555所以x的分布列为：xp12331035110 12 分所以e(x) 13319 23.13 分105105第三部分第三部分 立体几何立体几何1. (20131. (2013 北京高考理科北京高考理科) )如图，在三棱柱 abca1b1c1中，aa

34、1c1c 是边长为 4 的正方形，平面 abc平面 aa1c1c，ab=3，bc=5.（）求证：aa1平面 abc；（）求二面角 a1bc1b1的余弦值；（）证明：在线段 bc1存在点 d，使得 ada1b，并求bd的值.bc1解：(1)证明：因为 aa1c1c 为正方形，所以 aa1ac因为平面 abc平面 aa1c1c，且 aa1垂直于这两个平面的交线ac，所以 aa1平面 abc(2)由(1)知 aa1ac，aa1ab由题知 ab3，bc5，ac4，所以 abac如图所示，以 a 为原点建立空间直角坐标系axyz，则b(0，3，0)，a1(0，0，4)，b1(0，3，4)，c1(4，0，

35、4)设平面 a1bc1的一个法向量为(x，y，z)，则a1b0，a1c10.n n3y4z0，即4x0.令 z3，则 x0，y4，所以(0，4，3)同理可得，平面 b1bc1的一个法向量为(3，4，0)nnm m16所以 cos， .|n|m|n|m|25由题知二面角 a1bc1b1为锐角，16所以二面角 a1bc1b1的余弦值为.25(3)设 d(x，y，z)是直线 bc1上一点，且bdbc1.所以(x，y3，z)(4，3，4)解得 x4，y33，z4.所以ad(4，33，4) 由ada1b0，即 9250，9解得 .259因为0，1，所以在线段 bc1上存在点 d，使得 ada1b25bd

36、9此时，.bc1252. (20142. (2014 北京高考理科）北京高考理科）如图，正方形amde的边长为 2，b,c分别为am ,md的中点，在五棱锥p abcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱pd,pc分别交于点g,h.（1）求证：ab / fg；（2）若pa 底面abcde，且af pe，求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长.解： （i）在正方形中，因为 b 是 am 的中点，所以abde。又因为ab 平面 pde，所以ab平面 pde，因为ab 平面 abf，且平面abf平面pdf fg，所以abfg。（）因为pa 底面 abcde,所以pa ab，pa ae

37、.如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0),c(2,1,0),p(0,0, 2),f(0,1,1),bc (1,1,0).设平面 abf 的法向量为n (x, y,z)，则n ab 0,即n af 0,x 0,y z 0.令z 1,， 则y 1。 所 以n ( 0 ,1,，1设 直 线 bc 与 平 面 abf 所 成 角 为sina cos n,bcnbcn bc12。a, 则设点 h 的坐标为(u,v,w).。因为点 h 在棱 pc 上，所以可设ph pc(01),，即(u,v,w2) (2,1,2).。所以u 2,v ,w 22。因为n是平面 abf 的法向量

38、，所以nab 0，即(0,1,1)(2,2 2) 0。解得24 2 2，所以点 h 的坐标为( , ).。33 3 3424所以ph ( )2( )2( )2 23333. 3.（20152015 北京高考理科）北京高考理科）如图，在四棱锥a efcb中，aef为等边三角形，平面aef 平面efcb，efbc，bc 4，ef 2a，ebc fcb 60，o为ef的中点() 求证：ao be；() 求二面角f ae b的余弦值；() 若be 平面aoc，求a的值afcoeb【答案】(1)证明见解析， （2）【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面aef 平面efc

39、b，借助性45， （3）a35质定理证明ao平面 efcb，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面 aef 的法向量易得，只需求平面aeb 的法向量，设平面 aeb 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量， 再根据二面角公式求出法向量的余弦值； 第三步由于ao be，要想be 平面aoc，只需beoc，利用向量be、oc的坐标，借助数量积为零，求出a的值，根据实际问题予以取舍.试题解析： ()由于平面aef 平面efcb，aef为等边三角形，o为ef的中点， 则aoef，根据面面垂直性质定理，所以ao平面 efcb，又be平面efcb，则ao be.(

40、)取 cb 的中点 d，连接 od,以 o 为原点，分别以oe、od、oa为x、y、z轴建立空间直角坐标系，a(0,0 3a)，e(a,0,0),b(2,2 3 3a,0),ae (a,0, 3a)，eb (2 a,2 3 3a,0)，由于平面aef与y轴垂直，则设平面aef的法向量为n1 (0,1,0)，设平面aeb的法向量n2 (x,y,1)，n2ae,ax- 3a 0,x3，n2eb,(2 a)x(2 3 3a)y 0,y 1，则n2( 3,1,1)，二面角f ae b的余弦值cosn1,n2 n1n2n1n215 5，由二面角5f ae b为钝二面角，所以二面角f ae b的余弦值为5

41、.5（） 有 （1） 知ao平面 efcb， 则ao be， 若be 平面aoc， 只需beoc，eb (2 a,2(2 a) (2 3 3a) 0，2 3 3a,0)，又oc (2,2 3 3a,0)，beoc 2解得a 2或a44，由于a 2，则a.33考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.4. 4. （20162016 海淀期末）海淀期末）如图，在四棱锥p abcd中，pb 底面abcd，底面abcd为梯形，adbc，ad ab，且pb ab ad 3, bc 1.pf1（）若点f为pd上一点且pf pd，3证明：cf平面pab；abd（）求二面角

42、bpd a的大小；（）在线段pd上是否存在一点m，使得cm pa?若存在，求出pm的长；若不存在，说明理由.解：（）过点f作fh因为pf 又fhcad，交pa于h,连接bh,11pd，所以hf ad bc.1 分33bc，所以hfbc.2 分bh.3 分ad，ad所以bcfh为平行四边形, 所以cf又bh 平面pab，cf 平面pab,.4 分（一个都没写的，则这1 分不给）所以cf平面pad.5 分（）因为梯形abcd中，adbc，ad ab, 所以bc ab.因为pb 平面abcd，所以pb ab，pb bc,如图，以b为原点，bc,ba,bp所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,.6

43、 分所以c(1,0,0),d(3,3,0),a(0,3,0),p(0,0,3).设平面bpd的一个法向量为n (x, y,z)，平面apd的一个法向量为azpfydm (a,b,c),因为pd (3,3,3),bp (0,0,3),bcx3x3y 3z 0pdn 0所以，即，.7 分3z 0bpn 0取x 1得到n (1,1,0),.8 分同理可得m (0,1,1),.9 分所以cos n,m nm1 ,.10 分2|n|m|因为二面角bpd a为锐角，所以二面角bpd a为.11 分3（）假设存在点m，设pm pd (3,3,3)，所以cm cppm (13,3,3 3),.12 分所以pa

44、cm 93(33) 0，解得1,.13 分2所以存在点m，且pm 5. 5. （20162016 海淀一模）海淀一模）13 3.14 分pd 22如图，在四棱锥p abcd中，pa平面abcd，四边形abcd为正方形，点m,n分别为线段pb,pc上的点，mn pb.（）求证：bc 平面pab；（）求证：当点m不与点p,b重合时，m,n,d,a四个点在同一个平面内；mpnda（）当pa ab 2，二面角c an d大小为为时，求pn的长.3解:bc（）证明：在正方形abcd中，ab bc,1 分因为pa平面abcd，bc 平面abcd， 所以pa bc.2 分因为abpa a，且ab，pa平面p

45、ab，所以bc 平面pab4 分（）证明：因为bc 平面pab，pb平面pab,所以bc pb5 分在pbc中，bc pb，mn pb，所以mnbc.6 分在正方形abcd中，adbc, 所以mnad，7 分所以mn ，ad可以确定一个平面，记为所以m,n,d,a四个点在同一个平面内8 分（）因为pa平面abcd，ab,ad 平面abcd，所以pa ab,pa ad.又ab ad, 如 图 ， 以a为 原 点 ，ab,ad,ap所 在 直 线 为x, y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系a xyz,9 分所以c(2,2,0), d(0,2,0), b(2,0,0), p(0,0,2).

46、设平面dan的一个法向量为n (x, y,z)，平面can的一个法向量为m (a,b,c),设pn pc,0,1，因为pc (2,2, 2)，所以an (2,2,2 2)，bxmzpndacy2x2y (22)z 0an n 0又ad (0,2,0)，所以，即，10 分2y 0adn 0取z 1,得到n (1,0,1),11 分因为ap (0,0,2)，ac (2,2,0)2c 0apm 0所以，即，2a2b 0ac m 0取a 1得, 到m (1,1,0),12 分因为二面c an d大小为 1, 所以|cos m,n |cos,332所以|cos m,n |mn|m|n |112122 (

47、) 1解得1, 所以pn 314 分26. 6. （20162016 海淀二模）海淀二模）如图，等腰梯形abcd中，abcd，de ab于e，cf ab于f， 且a eb f e f 2，de cf 2.将aed和bfc分别沿de、cf折起，使a、b两点重合 ，记为点m，得 到一个四 棱锥am cdef，点g，n，h分别是mc,md,ef的中点.（）求证：gh平面dem；（）求证：em cn；（）求直线gh与平面nfc所成的角的大小.解:（）证明：连结ng，ne.在mcd中，因为n,g分别是所在边的中点，所以ng12cd，又eh12cd, 所以ngeh,所以nehg是平行四边形，所以engh,

48、又en 平面dem，gh 平面dem,所以gh平面dem.（）证明：方法一：在平面efcd内，过点h作de的平行线hp，因为de em,de ef,emef e,所以de 平面efm,所以hp 平面efm，所以hp ef.又在emf中，因为em mf ef，所以mh ef.以h为原点，hm,hf,hp分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系所以e(0,1,0),m( 3,0,0), c(0,1,2), n(32,12,1)所以em ( 3,1,0),cn (32,32,1)，所以em cn 0，所以em cn.方法二：取em中点k，连接nk,fk.又nk为emd的中位线，所以nkdedcefbd

49、cngehfm1 分2 分3 分4 分5 分6 分7 分8 分9 分又decf，所以nkcf，所以nkfc在一个平面中.6 分因为emf是等边三角形，所以em fk,又de em，所以nk em,7 分且nkfk k，所以em 平面nkfc，8 分而cn 平面nkfc,所以em cn.9 分（）因为cf (0,0,2), 所以em cf 0, 即em cf,又cfcn c, 所以em 平面nfc，所以em就是平面nfc的法向量.11 分3 1,1)，设gh与平面nfc所成的角为，2231hgem222则有sin|cos hg,em |13 分22 2| hg | em |又hg (所以gh与平

50、面nfc所成的角为7 7 （20162016 西城期末）西城期末）如图，在四棱锥p abcd中，底面abcd是平行四边形，bcd 135，侧面pab 底面abcd，bap90,ab ac pa 2,e,f分别为bc,ad的中点，点m在线段pd上.14 分4（）求证：ef 平面pac；（）若m为pd的中点，求证：me /平面pab；（）如果直线me与平面pbc所成的角和直线me与平面abcd所成的角相等，求（） 证明证明： 在平行四边形abcd中， 因为ab ac，bcd135，所以ab ac.由e,f分别为bc,ad的中点，得ef/ab，pm的值.pdpmabedfc所以ef ac.1 分因为

51、侧面pab底面abcd，且bap90，所以pa底面abcd.2 分又因为ef 底面abcd，所以pa ef.3 分又因为paac a，pa平面pac，ac 平面pac，所以ef 平面pac.4 分（）证明证明：因为m为pd的中点，f分别为ad的中点，所以mf/pa，又因为mf 平面pab，pa平面pab，所以mf/平面pab.5 分同理，得ef/平面pab.又因为mfzpmadef=f，mf 平面mef，ef 平面mef，fcy所以平面mef/平面pab.7 分又因为me 平面mef，所以me/平面pab.9 分xbe（）解解：因为pa底面abcd，ab ac，所以ap, ab, ac两两垂直

52、，故以ab, ac, ap分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则a(0,0,0), b(2,0,0), c(0,2,0), p(0,0,2), d(2,2,0), e(1,1,0)，所以pb(2,0,2)，pd(2,2,2)，bc (2,2,0)，10 分设pm(0,1)，则pm (2,2,2)，pd所以m(2,2,2 2)，me(12,12,22)，易得平面abcd的法向量m m (0,0,1).11 分设平面pbc的法向量为n n (x, y,z)，2x2y 0,由n nbc 0，n npb0，得2x2z 0,令x 1, 得n n (1,1,1).12 分因为直线me与平面p

53、bc所成的角和此直线与平面abcd所成的角相等，|mem m|men n|，13 分所以|cos me,m m | |cos me,n n|，即|me|m m|me|n n|所以|22|解得8 8 （20162016 西城一模）西城一模）如图， 四边形abcd是梯形，ad/bc，bad 90， 四边形cc1d1d为矩形， 已知ab bc1，ad 4，ab 2，bc 1.2|，33333，或（舍）.14 分22（）求证：bc1/平面add1；（）若dd12，求平面ac1d1与平面add1所成的锐二面角的余弦值；（）设p为线段c1d上的一个动点（端点除外） ，判断直线bc1与直线cp能否垂直？并说

54、明理由.（）证明：由cc1d1d为矩形，得cc1/dd1，又因为dd1平面add1，cc1平面add1，所以cc1/平面add1， 2 分同理bc /平面add1，又因为bcbcac1dd1cc1 c，所以平面bcc1/平面add1, 3 分又因为bc1平面bcc1，所以bc1/平面add1. 4 分（）解解：由平面abcd中，ad /bc，bad 90，得ab bc，又因为ab bc1，bcbc1 b，所以ab平面bcc1，所以abcc1，又因为四边形cc1d1d为矩形，且底面abcd中ab与cd相交一点，所以cc1平面abcd，因为cc1/dd1，所以dd1平面abcd.过d在底面abcd

55、中作dm ad，所以da, dm,dd1两两垂直，以da, dm,dd1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系， 6 分则d(0,0,0)，a(4,0,0)，b(4, 2,0)，c(3,2,0)，c1(3,2,2)，d1(0,0, 2)，所以ac1 (1,2,2),ad1 (4,0, 2).设平面ac1d1的一个法向量为m m (x, y, z)，x2y2z 0,由m m ac1 0，m m ad1 0，得4x2z 0,令x 2，得m m (2, 3, 4). 8 分易得平面add1的法向量n n (0,1,0).所以cos m m,n n xazd1c1pdm m n n3 29.

56、| m m | n n |29bcy即平面ac1d1与平面add1所成的锐二面角的余弦值为3 29.10 分29（）结论结论：直线bc1与cp不可能垂直.11 分证明：证明：设dd1 m(m 0)，dpdc1(0,1)，由b(4,2,0)，c(3,2,0)，c1(3,2, m)，d(0,0,0)，得bc1 (1,0,m)，dc1 (3,2,m)，dp dc1 (3,2,m)，cd (3,2,0)，cp cd dp (33,22,m).12 分若bc1 cp，则bc1cp (33)m2 0，即(m23) 3，因为 0，所以m2 330，解得1，这与0 1矛盾.所以直线bc1与cp不可能垂直.14

57、 分9 9 （20162016 西城二模）西城二模）如图，正方形abcd的边长为 4，e,f分别为bc,da的中点. 将正方形abcd沿着线段ef折起，使得dfa 60. 设g为af的中点.（）求证：dg ef；（）求直线ga与平面bcf所成角的正弦值；（）设p,q分别为线段dg,cf上一点，且pq/平面abef，求线段pq长度的最小值.ab（）证明证明：因为正方形abcd中，e,f分别为bc,da的中点，所以ef fd，ef fa，又因为fdfedccdcfegabfa f，所以ef平面dfa.2 分又因为dg平面dfa，所以dg ef.4 分（）解解：因为dfa 60，df fa，ag g

58、f，所以dfa为等边三角形，且dg fa.又因为dg ef，effa f，所以dg 平面abef.5 分设be的中点为h，连接gh，则ga,gh,gd两两垂直，故以ga,gh,gd分别为 x 轴、y 轴和 z轴，如图建立空间直角坐标系，则g(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,4,0)，c(0,4,3)，f(1,0,0)，所以ga (1,0,0),bc (1,0,3)，bf (2,4,0).6 分设平面bcf的一个法向量为m m (x, y, z)，由m m bc 0，m m bf 0，得x3z 0,2x4y 0,zdcfe令z 2，得m m (23,3, 2).7 分设直线ga与平面bc

59、f所成角为，则sin| cos m m,ga | m m ga | m m | ga |2 5719.xghaby即直线ga与平面bcf所成角的正弦值为2 5719.9 分（）由题意，可设p(0,0, k)(0k 3)，fq fc (01)，由fc (1,4, 3)，得fq (,4,3)，所以q(1,4, 3)，pq(1,4,3k).10 分由（） ，得gd(0,0,3)为平面abef的法向量.因为pq/平面abef，所以pqgd 0，即3 k 0.11 分所以| pq |222(1)2(4)2( 3k)2= (1) (4) 1721，12 分又因为1722117(117117117)2161

60、7，所以当时，| pq|min4 1717.所以当，k 317时，线段pq长度有最小值4 1717.14 分第四部分第四部分导数应用导数应用1. 1.（20132013 北京）北京）设 l 为曲线 c：y ln x在点(1，0)处的切线.x(i)求 l 的方程；(ii)证明：除切点(1，0)之外，曲线 c 在直线 l 的下方.1ln xln x解：(1)设 f(x)，则 f(x).xx2所以 f(1)1.所以 l 的方程为 yx1.(2)令 g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线c 在直线 l 的下方等价于x21ln xg(x)0(x0，x1)g(x)满足 g(1)0，且 g(x)1f(x)