函数凹凸性定义的进一步研究

1、    函数凹凸性定义的进一步研究    孟丽君【摘要】 凹凸函数是一种非常重要的函数，它在最优化理论、泛函分析、不等式证明等方面有重要应用.本文主要以凸函数为主，通过介绍不同凸函数的定义，给出了凸函数定义之间的关系，加深了对凸函数定义的理解，并给出了凸函数的定义在证明不等式中的应用.【关键词】 函数凹凸性；等价；不等式一、函数凹凸性的定义在不同数学教材或论文中，函数凹凸性的定义也不完全相同，本文总结出几种常用的定义：定义1 设函数f（x）在区间i上有定义，若x1，x2i，（0，1），有f（x1+（1-）x2）f（x1）+（1-）f（x2）， （1）则称

2、f（x）在区间i上是凸函数.定义2 设函数f（x）在区间i上有定义，若x1，x2i，有f x1+x2 2 f（x1）+f（x2） 2 ， （2）则称f（x）在区间i上是凸函数.定义3 设函数f（x）在区间i上有定义，若x1，x2，xni，有f x1+x2+xn n f（x1）+f（x2）+f（xn） n ， （3）则称f（x）在区間i上是凸函数.定义4 设函数f（x）在区间i上有定义，若y=f（x）在区间i上任意点的切线在曲线以下，则称f（x）在区间i上是凸函数.二、凸函数定义之间关系上述定义都是凸函数的定义，但并不能说定义1，2，3，4彼此之间完全等价，本文依次梳理上述定义的关系.定理1 定

3、义1定义2.证明 令= 1 2 ，由（1）式很容易得出f x1+x2 2 f（x1）+f（x2） 2 ，即定义1定义2，反之则不成立.定理2 定义2定义3.证明 定义3定义2，令（3）式中n=2定义2.重点应该放在证明定义2定义3.（）由（2）式可知（3）式当n=2时成立.从而x1，x2，x3，x4i，有f x1+x2+x3+x4 4 =f x1+x2 2 + x3+x4 2 2 f x1+x2 2 +f x3+x4 2 2 f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4） 4 .即定义3中（3）式当n=4时成立.以此类推，重复上面步骤，可知（3）式当n=2k时皆成立.（）由（）可知（3）式对一

4、切n取偶数时成立，现在证明重点由n取偶数时成立推出n取奇数时成立.即只要说明（3）式对n=k+1时成立，也对n=k时成立.令a= x1+x2+xk k ，则ka=x1+x2+xk，进而（k+1）a=x1+x2+xk+aa= x1+x2+xk+a k+1 ，故有f（a）=f x1+x2+xk+a k+1 f（x1）+f（x2）+f（xk）+f（a） k+1 .上式两边同乘k+1，减去f（a），可得f x1+x2+xk k f（x1）+f（x2）+f（xk） k ，上式说明（3）式对n=k时成立.定理3 若f（x）连续，则定义1，定义2和定义3等价.证明 重点应该放在证明定义2，定义3定义1.（）

5、设x1，x2i，为证明（1）式对（0，1）成立.我们先证明= m n （0，1）为有理数时成立，其中为m，n为自然数，而且m< p>f（x1+（1-）x2）=f m n x1+ 1- m n x2=f mx1+（n-m）x2 n=f x1+x1+x1 m +x2+x2+x2 n-m n f（x1）+f（x1） m +f（x2）+f（x2） n-m n= mf（x1）+（n-m）f（x2） n = m n f（x1）+ 1- m n f（x2）=f（x1）+（1-）f（x2）.从而为有理数情况下说明定义2，定义3定义1.（）对（0，1）的无理数，则存在有理数n（0，1）（n=1，2，

6、），使得n（当n时）.从而有f（x1+（1-）x2）=flim n （nx1+（1-n）x2）.由于f（x）连续，上式为f（x1+（1-）x2）=flim n （nx1+（1-n）x2）=lim n f（nx1+（1-n）x2）.由（）可知对于任意有理数n，有f（nx1+（1-n）x2）nf（x1）+（1-n）f（x2）.（上接 40 页）上式两端取极限，得出lim n f（nx1+（1-n）x2）lim n nf（x1）+（1-n）f（x2）=f（x1）+（1-）f（x2）.从而得出f（x1+（1-）x2）f（x1）+（1-）f（x2）.从而说明为无理数情况下定义2，定义3定义1.定义1适用

7、范围更广，包含了定义2、3，当函数连续时，定义2、3才等价于定义1，但因为不含参数（0，1），从而使用起来要比定义1简单.定义1与定义4的关系，需要先证明一下引理才可以说明.引理 设函数f（x）在区间i上有定义，且f（x）在区间i上是凸函数，当且仅当x1，x2，x3i，且x1<x2< p>证明 （）必要性.由于f（x）在区间i上是凸函数，按照定义1可得x1，x3i，（0，1），有f（x1+（1-）x3）f（x1）+（1-）f（x3）. （*）取= x3-x2 x3-x1 并代入不等式得出f（x2） x3-x2 x3-x1 f（x1）+ x2-x1 x3-x1 f（x3）. （

8、*）同减f（x1），同除以x2-x1，易得出 f（x2）-f（x1） x2-x1 f（x3）-f（x1） x3-x1 ，同理可证 f（x3）-f（x1） x3-x1 f（x3）-f（x2） x3-x2 .（）充分性.（0，1），若令x2=x1+（1-）x3，则取= x3-x2 x3-x1 ，从而可由（*）推得（*），故f（x）在区间i上是凸函数.定理4 若f（x）在区间i内可导，则定义1、定义2、定义3和定义4等价；此命题可以改写为若f（x）在区间i内可导，则f（x）在区间i上是凸函数，充要条件是：x0io（i全体内点组成的集合），有f（x）f（x0）（x-x0）+f（x0）（xi）.证明 略.三、凸函数在证明不等式方面的应用例 （jensen不等式）若f（x）在区间i上是凸函数，则对xii，i>0（i=1，2，n）， n i=1 i=1，有f（ n i=1 ixi） n i=1 if（xi）. （5）证明 （）当n=2，由定义1可得（5）式成立；（）假设当n=k时（5）式成立.即xii，i>0（i=1，2，k）， k i=1 i=1，