高等数学课件：11-3 含参变量广义积分

1、本节研究形如本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性，的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性，以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。讨论，无界函数的情况可类似处理。)(,),(为瑕点bdxyxfba113 含参变量的广义积分 含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与论证方法上极为相似，学习时应注意比较。论证方法上极为相似，学习时应注意比较。( , ),f x yaxcyd 设二元函数在 (x,y)上有定义，,( ,)aycdf x y d

2、x固定若无穷积分收敛，,c d则在上定义了一个函数( )( , ),ag yf x y dxcyd称其为含参变量的无穷积分。000,()0,( ,)yc dg yNNy若则收敛，即,AN只要则有000( ,)( ,)()AAaf x y dxf x y dxg y。0Ny上面收敛定义中的常数通常与有关。许多应用中都需要如下一致收敛概念。定义： 设无穷积分( )( , ),ag yf x y dxY Yy对区间 （ 为任意区间）中的一切 都收敛，如果0,( ),( , )ANNaANyYf x y dx 则称含参变量的无穷积分在区间Y 上一致收敛。含参变量无穷积分一致收敛的判别方法： 一致收敛的

3、柯西收敛准则:0 ,N充要条件是：存在与 y 无关的常数使得( , )AAf x y dx。( , )af x y dx含参变量的无穷积分在区间Y 上一致收敛的,ANANyY都有定理1：|( , ) |( ),f x yxxayY若( )ax dx且无穷积分收敛，则含参变量的无穷积分( , )af x y dxY在上一致收敛。例 1 在 内一致收敛0sin dxxex) 0(),00解: 因为00|sin|0,xxexex而积分 收敛，00dxex所以 在 内一致收敛。0sindxxex)0(),002,Aa（ ）积分1,( , )yYg x yx（）函数关于单调且定理2（ 狄利克雷判别法）(

4、 , ),( , )f x yg x y若函数满足：( , )0,g x yyYx ( , )Aaf x y dxyY存在且对一致有界,0,( , ),;AaMf x y dxMAa yY即存在常数满足( , ) ( , )af x y g x y dxY则含参变量无穷积分在一致收敛。定理3（ 阿贝耳判别法）2( , );af x y dx（ ） 含参变量无穷积分在Y 上一致收敛( , ),( , )f x yg x y若函数满足：1,( , )yYg x yx（）函数关于单调且对y一致有界，0,( , ),;Mg x yMyYx即存在常数满足充分大( ,) ( ,)af x y g x y

5、dx则含参变量无穷积分在 Y 上一致收敛。一致收敛积分具有如下性质：定理4：( , )( , )|,f x yx yaxcyd 设函数在区域连续，()( ,),ag yfx y dxyc d且 积 分, c d在上一致收敛，则1( )g y（）在 c,d 上连续；2( )g y（ ）在 c,d 上可积，且有( )( ,)( ,)dddccaacg y dydyf x y dxdxf x y dy。定理5：aadxyxfydxyxfdyd),(),(,) ,(,)yfxyfxy设 函 数在 区 域( ,) |,x yaxcyd 上连续且积分( )( , ),ag yf x y dxc d在上逐点

6、收敛，( , ),yafx y dxc d又积分在上一致收敛，( )( ,)ag yf x y dx则含参变量的无穷积分, c d在上可导且考虑含参数无穷限积分 01 dxexxs) 0 (s特点特点:1) 积分区间为无穷;2)100sx当时 被 积 函 数 在 点的右 领 域 内 无 界 。3,函函数数函函数数和和 ,111111sxssxxexxe 111,sI而根据比较判别法收敛。, 0lim)(lim)2(112 xsxsxxexxex2, I根据比较判别法极限形式也收敛。10(1), (2)0 xsexdxs由知积分对均收敛。s)(s o;,1) 1(1是是常常义义积积分分时时当当I

7、s ,10时时当当 s,1121011 dxxeIdxxeIsxsx设设10( )(0)xssexdxsGamma Gamma 函数函数性质性质1( )0,0ss（） 非负性。(2)递推公式)0()() 1(ssss证明证明: :0d) 1(xexsxs0dxsex(分部积分)01d0 xexsexxsxs)(ss注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!nn当为自然数时有(n+1)= n!,即-函数是阶乘运算的推广。0 xe (1 1)nn (2) 1,(3) 2,(4) 6,( ) (1)!nn (3)特殊值53122 333,2247

8、5122 证明证明: : 有时当,21s)(2112012xxe dx2102tt etdttx令202tedt22。有此得31122 11,2225515,22897122 77105,2216（4）函数性态0011ln)()(dxxexdxexssxsxs. 01)() ln ()(dxxexsnxsn 1Beta函数及其连续性函数及其连续性 称( 含有两个参数的 )含参数积分 1110(1)( 0 , 0 )pqxxdxpq为第一型第一型Euler积分。积分。 ) 0 ( , 1)1 (111xxxxqpp11p和 ) 1 ( , 1)1 ()1 (111xxxxpqq1 q1和 2. B-函数的对称性函数的对称性: 证明：证明： 1110( , )(1)1pqB p qxxdxtx 令0111(1)pqttdt 1011),()1 (pqBdtttpq)()()()