大学物理课件：4 振动

1、振动振动（Vibration）1静力学静力学：研究物体平衡的条件：研究物体平衡的条件运动学运动学：研究物体位置随时间的变化：研究物体位置随时间的变化动力学动力学：研究各类运动发生的原因：研究各类运动发生的原因振动振动（Vibration）2第四章第四章 振动振动（Vibration）4.1 谐振动谐振动4.2 谐振动的合成谐振动的合成4.3 阻尼振动阻尼振动4.4 受迫振动，共振受迫振动，共振振动振动（Vibration）3第四章第四章 振振 动动1.1 简谐振动1.2 同方向同频率谐振动的合成振动振动（Vibration）4 机机械械振振动动 简简谐谐振振动动阻尼振动阻尼振动描述简谐振动的方

2、法描述简谐振动的方法在周期外力作用下的振动在周期外力作用下的振动振动特征振动特征 描述简谐振描述简谐振动的物理量动的物理量动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程频率频率 圆频率圆频率 振幅振幅 A周期周期 T相位相位 t+ 初相初相 解析法解析法矢量法矢量法受迫振动受迫振动振幅随时间减小的振动振幅随时间减小的振动谐振动的能量谐振动的能量 动能动能势能势能总能量总能量振动振动（Vibration）5 谐谐振振动动的的合合成成 同同方方向向同同频频率率 同频率振动同频率振动方向垂直方向垂直 当频率比为整数比当频率比为整数比时为利萨如图形时为利萨如图形分振动分振动方程方程 合振动合振动方程方程 不

3、同频率振不同频率振动方向垂直动方向垂直合振动轨迹为合振动轨迹为 椭圆或圆椭圆或圆cosx111=+A()tcosx222=+A()txx12=+xcos=+A()t)(12212221cos2AAAAA221122111cosAcosAsinAsinAtan振动振动（Vibration）6第四章第四章 振振 动动任何一个物理量在某一定值附近作周期性变化任何一个物理量在某一定值附近作周期性变化振动振动物体在一定位置附近作来回往复运动物体在一定位置附近作来回往复运动机械振动机械振动振动振动（Vibration）7-动力学方程动力学方程22dtxdmkx 022xmkdtxdkxf:受力一、谐振动动

4、力学方程谐振动动力学方程xvv -AA弹簧振子弹簧振子FF1、弹簧振子：由物体和轻质弹簧组成系统弹簧振子：由物体和轻质弹簧组成系统4. 1 简谐振动简谐振动振动振动（Vibration）82、单摆（数学摆）单摆（数学摆）-动力学方程动力学方程mgmgftsin22dtdmlmlmatmgtf 不可伸长的轻质细线下悬挂一质不可伸长的轻质细线下悬挂一质点，在平衡位置附近点，在平衡位置附近 (5的)小角摆小角摆动的装置。动的装置。ml022lgdtd振动振动（Vibration）93、复摆（物理摆）、复摆（物理摆） 一个可绕水平固定轴自由一个可绕水平固定轴自由小角摆动的刚体装置小角摆动的刚体装置.-

5、动力学方程动力学方程22sindtdJJmghmghM0022Jmghdtd+转转动动正正方方向向omgh.c质心质心转轴o振动振动（Vibration）10谐振动共同特征：谐振动共同特征：物体在线性恢复力物体在线性恢复力(矩矩)作用下的运动作用下的运动 线性恢复力线性恢复力(矩矩)：具有大小与：具有大小与(相对于平衡位置相对于平衡位置)位位移成正比移成正比,方向始终指向平衡位置性质的力方向始终指向平衡位置性质的力(矩矩)0222ydtyd只与系统本身有关只与系统本身有关022xmkdtxd弹簧振子022lgdtd摆单022Jmghdtd摆复mklgJmghmghMmgfkxf振动振动（Vib

6、ration）11二、谐振动的运动方程谐振动的运动方程 由d2x/dt2+ 02x=0得x=Acos( t+ )=Asin( t+ + /2)=Asin( t+ )1。运动方程中各物理量运动方程中各物理量(1)周期、频率、角频率周期、频率、角频率周期周期T：完成一全振动所需的时间：完成一全振动所需的时间)sin(tAdtdxv)cos(2tAdtdvaAx+=cos()tA+=cos()tT +一个周期后位移相等，所以一个周期后位移相等，所以T =2振动振动（Vibration）12频率频率 ：单位时间完成振动次数：单位时间完成振动次数T/1数学式：园频率园频率 ：2 秒内振动次数秒内振动次数

7、2:数学式2T数学式k/mT 2弹簧振子g/lT 2摆单mghJT/2复摆(2)振幅振幅A：物体最大位移的绝对值：物体最大位移的绝对值由初始条件确定由初始条件确定Asincos00AvAx)/(22020vxA消去x t=0=x 0v t=0=v 0振动振动（Vibration）13(3)位相（相位、周相）位相（相位、周相）时刻物体的振动状态：位相tt物体的初始状态初位相sincos00AvAx)(001xvtgA消去约定：初位相约定：初位相 (- ， (4)两同频率谐振动位相之差两同频率谐振动位相之差x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)=( t+ 2)-( t+ 1) = 2

8、- 1振动振动（Vibration）14(，约定：2112,21超前比不讲超前比a )= k2 (k=0,1,2) 同（位）相同（位）相x1x2xtoa )b )= (2k+1) (k=0,1,2) 反（位）相反（位）相x1x2toxb )c )为除上述两种情况外的一般情形为除上述两种情况外的一般情形x1x2tox12c )振动振动（Vibration）15谐振动的位移、速度及加速度位相关系谐振动的位移、速度及加速度位相关系)cos(tAx)2/cos()sin(tAtAv)cos()cos(22tAtAa2/超前比谐振动：xv2/超前比va反相与xavavaxxtoT振动振动（Vibrati

9、on）16 例例 水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为a，以下高度为，以下高度为b。水密度为。水密度为 ，木块密度为，木块密度为 ，不计水的阻，不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平力。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。齐。求证：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程求证：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程 平平衡衡位位置置bca.0 xsy任任意意位位置置acb0 xxs y.解解:(1).确定平衡位置确定平衡位置平平衡衡位位置置bca.0 xsy0gbsgsba)(平衡时振动振动（Vibration）17

10、(2).任意位置木块受力分析：任意位置木块受力分析：任任意意位位置置acb0 xxs y.gxsgsxbgsbaF)()(线性恢复力线性恢复力所以木块作谐振动所以木块作谐振动: x=Acos(t-)由牛顿定律：由牛顿定律：22dtxdsbagxs)( 022xbagdtxd)(0222xdtxd)(bag0000vaxt, 0/00122020)(xvtgavxAtbagax)(/cos舍去）0cos(0Ax振动振动（Vibration）18o解解:(1).确定平衡位置确定平衡位置0kxmg ) 1 (0kmgx x(2).写出写出任意位置处任意位置处物块的加速度物块的加速度)2(1maTmg

11、) 3()(21RaJJRTT)4()(212xxkTT1mgT2T1a(1)(2)(3)(4)xmRJkRa22谐振动谐振动xa22mRJkRR,Jmx-x0已知：初态时弹簧处于原长已知：初态时弹簧处于原长（1）.证明物块作谐振动，证明物块作谐振动，（2）写出振动表达式。）写出振动表达式。例例k振动振动（Vibration）190000vkmgxt初态为kmgA000 xt，则：平衡位置为20200)(212121RvJmvkxmgxo0v2kmgA)cos(2tmRJkRkmgx)2cos(2tmRJkRkmgxoR,Jmx-x0k振动振动（Vibration）2022231dtdmllk

12、l)()(0322mkdtdm/k3固 例m, l 均质细杆AB可绕水平轴A 旋转,其B 端固定一轻质弹簧k,弹簧另一端固定于天花板.开始时,将B 端抬起使弹簧无变形,然后从静止释放.求证:细杆作简谐振动,并求振动周期及谐振方程km,lBA222dtdJlbxklmg)(任意位置xx02 /mglkbl: 静平衡时解bo谐振动谐振动振动振动（Vibration）21sincos00mm固0V00oxt=1:oV00653265)365cos(Ax(2).旋转矢量法振动振动（Vibration）69 秒）：处所需的时间。（已知到处向右运动处释放，求振子从一弹簧振子由例222TAAAo2A2AXT

13、t2)(31)32(3st振动振动（Vibration）70）（解：tAxcosT2AvmmmvvAmvAvot21sin:065,6665vv)6cos(tvxm【例】【例】.质点按余弦规律作质点按余弦规律作谐振动，其谐振动，其v-t关系曲线如图关系曲线如图所示，周期所示，周期T=2。试求振动表达式。试求振动表达式。mv21)(smv)(sto振动振动（Vibration）71四、谐振动的能量四、谐振动的能量以弹簧振子为例221221)cos(tAkkxEp221221)sin(tAmmvEk谐振动总能量与振幅平方成正比谐振动总能量与振幅平方成正比说明说明:该结论对任一谐振系统均成立该结论对

14、任一谐振系统均成立2、谐振子能量变化规律及曲线谐振子能量变化规律及曲线变化规律: 系统系统EK、EP亦随时间作周期性变化亦随时间作周期性变化,其频率是系统固有频率其频率是系统固有频率2倍倍,尽管它们尽管它们之间相互转化之间相互转化,但任一时刻总能量守恒但任一时刻总能量守恒1、谐振动能量表达式谐振动能量表达式E =EEkp+A212kkm2振动振动（Vibration）72EA212k=EkEpEtox,votAx=costv= A cos(t+/2)谐振子的动能、势能及总能量变化曲线谐振子的动能、势能及总能量变化曲线振动振动（Vibration）73解：解：（1）分析：平衡位置处）分析：平衡位

15、置处v=vm，且是且是m1、m2分离处分离处2212)(2121mvmmkb2212121kAvmmmA1 . 0 时间。簧压缩到最大时所需的从释放后到再一次将弹）（，作谐振动的振幅分离后，与）求（后由静止释放。现将弹簧压缩，（与弹簧固接）已知：例1112212120. 025,0 . 30 . 1mAmmmmbmNkkgmkgmm1m2光滑振动振动（Vibration）74214341TTt54222111mmkT5222122mkTst57. 1m1m2光滑振动振动（Vibration）75解解（1）) 1 (21)(2122kxvnmM）（）即：（，点处200MvvnmMCPFoxx)3

16、(2121020klMv（1）（2）（3）0lnmMMx【例】如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端连接【例】如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端连接一质量为一质量为M 的容器，容器可在光滑的水平面上运动，当的容器，容器可在光滑的水平面上运动，当弹簧未变形时容器位于弹簧未变形时容器位于o处，今使容器自处，今使容器自o点左端点左端l0处由处由静止开始运动，每经过静止开始运动，每经过o点一次时，从上方滴管中滴入点一次时，从上方滴管中滴入一质量为一质量为m的油滴。的油滴。求求（1）滴到容器中）滴到容器中n滴以后，容器运动到距滴以后，容器运动到距o点的最远点的最远距离。距离。（2）第（）第（n+1）

17、滴与）滴与n滴的时间间隔。滴的时间间隔。l0oMmx振动振动（Vibration）76nmMkTTtnnnn22).2(knmMtl0oMmx振动振动（Vibration）772102kkmm 例题例题4-34-3两根两根弹簧弹簧( (弹性系数分别为弹性系数分别为k k1 1,k,k2 2自然长自然长度均为度均为l0) )与物体与物体m m连接后作连接后作A A0 0的谐振的谐振. .当当m m运动到两运动到两弹簧处于自然长度时弹簧处于自然长度时, ,突然速度为突然速度为0 0的质点的质点m m0 0轻粘在轻粘在m m上上, ,求：求：m m0 0粘上后振动系统周期和振幅粘上后振动系统周期和振

18、幅k1k2m mm02l0v0 0 0解解: :粘上后系统振动周期粘上后系统振动周期: :KMT 2其中：M=m0+m， K=k1+k2证明：设证明：设m0与与m一起偏离平衡位置一起偏离平衡位置x22021)()(dtxdmmxkkxmmkkdtxd)(0212221kkK振动振动（Vibration）78（粘接过程系统水平方向动量守恒）（粘接过程系统水平方向动量守恒）vmmmv)(00mkkAAv210000021mmkkAAv00AmmmA00mmmvvk1k2m mm02l0v0 0 0k1k2m mm02l0v 粘接过程粘接过程振动振动（Vibration）79由谐振能量求由谐振能量求

19、A A粘接前粘接前20210)(21AkkE2021mv粘接后粘接后221)(21AkkE2021vmm)(00AmmmAvmmmv)(0000mmmvvk1k2m mm02l0v0 0 0k1k2m mm02l0v 粘接过程粘接过程振动振动（Vibration）80 2121kkkkK求证：串联弹簧的例证明：证明：) 3()()(22021101xxkxxk）（）得：）（由（4312211xkxkxkkkx211242）得：）（由（ 222202xkxxkmgFm）（：合222121dtxdmxkkkkF合2121kkkkK) 1 (202101xkxkmg平衡位置处平衡位置处101xk20

20、2xkoxmgx)2(21xxxmg1101xxk2201xxk振动振动（Vibration）81cosx111=+A()tcosx222=+A()txx12=+xcos=+A()t合振动的振幅为：合振动的振幅为：)(12212221cos2AAAAA221122111cosAcosAsinAsinAtan合振动的初相为：合振动的初相为：物体同时参与两分振动：物体同时参与两分振动：AA11A22xoy4. 2 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成振动振动（Vibration）82旋转矢量法旋转矢量法xA210 xAA212Asin2Asin11cos11Acos22A)cos(21

21、2212221AAAAA221122111coscossinsintanAAAA振动振动（Vibration）83合振幅的讨论)(12212121cos2AAAAA12AA若若212k)(210,k合振动加强合振动加强21AAA1AA2若若)(1212k)(210,k合振动减弱合振动减弱12AAA振动振动（Vibration）84解解: :由由x x1 1 t:xt:x0 00, 0, v v0 000 1 1 /2 /2由由x x2 2 t: xt: x0 0 A, A, v v0 0002 2 例题例题4-64-6两谐振曲线如图示两谐振曲线如图示, ,它们是同频率谐动，它们是同频率谐动，求：它们合振动方程求