万有引力定律人造地球卫星

1、万有引力定律人造地球卫星夯实基础知识1. 开普勒行星运动三定律简介（轨道、而积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒 在英导师弟谷连续20年对行星的位置实行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻 苦计算，最终发现了三个定律。第一左律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上： 第二左律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等： 第三左律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.即尸 开普勒行星运动的泄律是在丹麦天文学家弟谷的大呈:观测数据的基础上概括出的，给出了行 星

2、运动的规律。2. 万有引力建律及其应用（1）内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正 比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。F = G聖厂 （1687年）G = 6.67x10-u/V-/h立律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大 于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离.对于均匀的球 体，r是两球心间的距离.当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力左律不再适用，不能依公式算 岀F近为无穷大。注意：万有引力左律把地而上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普

3、遍的规律之一， 式中引力恒量G的物理意义是:G在数值上等于质量均为lkg的两个质点相距lm时相互作用 的万有引力. 地球自转对地表物体重力的影响。重力是万有引力产生的，因为地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力.重 力实际上是万有引力的一个分力.另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所 示，在纬度为©的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一超绕地轴自转所需的向心力F |=mRcos（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的/2叫做引力常疑，它在数值上等于两个质疑都是ikg的物体相距 lm时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许

4、利用扭秤装垃测出。万有引力常量的测定一一卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平 而境将微小的运动效果放大）。万有引力常量的测启使卡文迪许成为“能称出地球质量的人"：对于地面附近的物体加，有Re （式中Re为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到"" G 。重力mg,其方向与支持力N反向，应竖直向下，而不是指向地心。因为纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向持续变化，因而表而物体的重力随纬度的变 化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极R逐渐减小，向心力mRcos°

5、o2 减小，重力逐渐增大，相对应重力加速度g也逐渐增大。在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m?g刚好在一条直线上，则有F=F + m2g,屮“2所以 ni2g=F F ii.j=G 厂 ni2Rco 伺2。物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动.没有向心力，物体受到 的万有引力F别和支持力N是一对平衡力，此时物体的重力mg=N=F恥综上所述重力大小：很小。重力方向：很小。因为地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大咼的近似计算中忽略了自转的影响，在两个极点处最大，等于万有引力：赤道上最小,其他地方介于两者之间，但差别在赤道上和两极点的时候指向地心，英地方都不指向

6、地心，但与万有引力的夹角G?M此基础上就有：地球表而处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即 尺 nmg说明：因为地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五：地而到地心的距离每 增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的汁算中，认为重力和万有引力相等。万有引力定律的应用：基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F沪Fc（类似原子模型）方法：轨道上正常转：（O天体表面尬力加速度问题Mm地而附近：G I = mg =>GM=gR2 金代换式）w通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m?g=G R' , g=GM/R- 常用来计算星球表面重力加速度的

7、大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地而高度的增大而 减小，即 gh=GM/ （R+h） 2,比较得 gh二（R + h込G凹G竺设天体表面重力加速度为g,天体半径为R，由mg= R得g二 用，由此推得两个不同天体表而重力加速度的关系为檢R：弘(2)计算中心天体的质量某星体加围绕中心天体做圆周运动的周期为7；圆周运动的轨道半径为儿则:G加中加r2得:例如：利用月球能够汁算地球的质崑 利用地球能够汁算太阳的质勒 能够注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。(3)计算中心天体的密度M 4“3”/一兀R P= v =3=GT2R3由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T,

8、就能够算出天体的 质疑M.若知道行星的半径则可得行星的密度(4) 发现未知天体用万有引力去分析已经发现的星体的运动，能够知道在此星体附近是否有其他星体，例如： 历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分 析发现的人造地球卫星。这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上绝大部分卫星轨道是椭圆，而中学阶段 对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。1、卫星的轨道平面：因为地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨 道平而一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平而内。2、原理：因为卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，

9、 于是有GmM22/r 2；=ma = m=mcor = /?/(y r 厂rT实际是牛顿第二立律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等:(1) 向心加速度"側与r的平方成反比。GM叽 / 2当r取其最小值时，"府取得最大值。GMa in)nu.= R =g=9.8m/s2(2) 线速度y与r的平方根成反比 浮,v= V r 当 hT，vj当r取其最小值地球半径R时，y取得最大值。（3）角速度Q与r的三分之三次方成百比当r取其最小值地球半径R时,Q取得最大值。（4）周期T与r的二分之三次方成正比。卫星的能量：（类似原子模型）r增二>减小（Ek减小v

10、Ep增加），所以E总增加濡克服引力做功 越多.地而上需要的发射速度越大应该熟记常识：地球公转周期1年，自转周期1天=24小时=86400s,地球表面半径6.4 x 2km 表而重力加速度g=9.8 nVs2月球公转周期30天4. 宇宙速度及其意义（1）三个宇宙速度的值分别为第一宇甫速度（又叫最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度）： 物体用绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环绕速度，英值为：儿=7.9kn"s 第一宇宙速度的计算.mMv2G（r + /J）2 =m方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力./GM。当hT，vi，所以在地球表而附近卫星的速度是

11、它运行的最大速度。其大小为r>>h （地而附近）时,浮 ,Y '=7. 9xl03m/s方法二：在地而附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运 动的向心力.2V/ mg = m ±-（厂+ ?丿.当 r>>h 时.gh=g 所以 vi="''=7 9xl03m/s第二宇宙速度（脱离速度）： 如果卫生的速大于79km/s而小于11.2km/s,卫星将做椭圆运动。当卫星的速度等于或大 于11.2km/s的时候，物体就能够挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到英它行星上去，把V2 = 11 -

12、2kliyS叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最 小发射速度。第三宇宙速度：物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度，又称 逃逸速度，苴值为："3=16.7kn“s（2）当发射速度V与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同 当p<vi时，被发射物体最终仍将落回地而： 当V!<V<V2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星； 当P2<V<V3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”： 当VN，3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。5. 同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星）同步卫星。

13、“同步“的含义就是和地球保持相对静I匕（又叫静I匕轨道卫星），所以其周期等于 地球自转周期，既r=24h, 特点（1）地球同步卫星的轨道平而，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同 步卫星一上位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平而上。这是因为：不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地作匀速圆运动，卫星的向心力 为地球对它引力的一个分力戸，而另一个分力尺的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有 在赤道上空，同步卫星才可能在稳左的轨道上运行。（2）地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。（3）同步卫星必位于赤道上方h处，且h是一左的.Mm=mco2r（

14、4）地球同步卫星的线速度：环绕速度（5）运行方向一定自西向东运行人造天体在运动过程中的能量关系当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较髙的轨道运动，而在较髙轨道上运动的人造天 体却具有较小的动能。反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这 个过程中，因引力对其做正功，故导致英动能将增大。_ GMm同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中卫星的动能为K=P ,因为重力加GMm速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用计算,而要用到公式P 厂（以 无穷远处引力势能为零，M为地球质量，加为卫星质r为卫星轨道半径。因为从无穷远向厂GMmE = _地球移动过程中万有引力做正功

15、，所以系统势能减小，为负。）所以机械能为2厂同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地而越髙，卫星具有的机械能越大，发射越困难。题型解析类型题：万有引力定律的直接应用【例题】下列关于万有引力公式厂 的说法中准确的是（）A. 公式只适用于星球之间的引力讣算，不适用于质量较小的物体B. 当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D. 公式中万有引力常量G的值是牛顿规定的【例题】设想把质量为川的物体，放到地球的中心，地球的质量为M,半径为/?,则物体与 地球间的万有引力是（）GMmA. R B.无穷大 C.零 D.无法确定【例题】设想人类开发月球，持续地把月

16、球上的矿藏搬运到地球上.假如经过长时间开采后， 地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较A. 地球与月球间的万有引力将变大B. 地球与月球间的万有引力将减小C. 月球绕地球运动的周期将变长D. 月球绕地球运动的周期将变短（上海卷理科综合）7有同学这样探究太阳的密度：正午时分让太阳光垂直照射一个当中有小 孔的黑纸板，接收屏上岀现一个小圆斑：测量小圆斑的直径和黑纸板到接收屏的距离，可大 致推出太阳直径。他掌握的数据是：太阳光传到地球所需的时间、地球的公转周期、万有引 力恒呈:；在最终得岀太阳密度的过程中，他用到的物理规律是小孔成像规律和（）A. 牛顿第二定律B.万有引力建律C

17、.万有引力泄律、牛顿第二泄律D.万有引力泄律、牛顿第三立律类型题：重力加速度岸随离高度h变化情况【例题】设地球表面的重力加速度为g，物体在距地心4R （R是地球半径）处，因为地球的 引力作用而产生的重力加速度g则g/g-为（）A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。£【例题】火星的质量和半径分别约为地球的1°和亍，地球表面的重力加速度为g,则火星表 面的重力加速度约为（）（A）0.2g（B）0.4g（C）2.5g（D）5 g类型题：用万有引力定律求天体的质量和密度【例题】已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49x10nm,公转的周期T=3.16x 107s,求太

18、阳 的质量M=【例题】宇航员在一星球表而上的某髙处，沿水平方向抛出一小球。经过时间I，小球落到星 球表而，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地 点之间的距离为、用L。已知两落地点任同一水平而上，该星球的半径为R,万有引力常数为 Go求该星球的质量【例题】某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运动，若要计算行星的密度，唯一要测量岀的 物理是（）A：行星的半径B：卫星的半径C：卫星运行的线速度D：卫星运行的周期【例题】如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表而做匀速圆周运动的周期为T,则可估 算此恒星的密度为多少？【例题】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度

19、很大。现有一中子星，观测到它 丄的自转周期为7'=3OSe问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳泄，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G=667xi0-“ J伽/ ）类型题：双星问题【例题】在天文学中，把两颗相距较近的恒星叫双星，已知两恒星的质量分别为m和M,两 星之间的距离为L,两恒星分别用绕共同的圆心作匀速圆周运动，如图所示， 求恒星运动的半径和周期。厂二【例题】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上 某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R,苴运动周期为 T,求两星的总质量。【例题】在光滑杆上穿着两个小球牝，且?尸2加2,

20、用细线把两球连起来，当盘架匀速转 动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示。此时两小球到转轴的距离门与门之比为（）门 |C. 2 : 1【例题】宇宙中存有一些离其他恒星较远的、由质呈相等的三颗星组成的三星系统，通常可 忽略英他星体对它们的引力作用，已观测到稳左的三星系统存有两种基本的构成形式：一种 是三颗星位于同一直线上，两颗星囤绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式 是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星 体的质量均为m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离

21、应为多少？类型题：人造卫星的一组问题【例题】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地而340km的圆轨道上运行了 108圈。运行中需 要多次实行“轨道维持”。所谓“轨道维持“就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大 小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不实行轨道维 持，因为飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低， 在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是A. 动能、重力势能和机械能都逐渐减小B. 重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C. 重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D. 重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小【例题】如图所示，某次发

22、射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨 道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P, 远地点为同步轨道上的Q）,到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地 圆轨道上运行的速率为刃，在P点短时间加速后的速率为吃，沿转移轨道刚到达远地点0时 的速率为V3,在。点短时间加速后进入同步轨道后的速率为山。试比较力、巾、V3, V4的大小, 并用小于号将它们排列起来°【例题】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于。点。轨道2、3相切于 P点（如图），

23、则当卫星分别在1, 2, 3,轨道上正常运行时，以下说法准确的是（）A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D. 卫星在轨逍2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度【例题】欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬5。左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨逍上做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，泄点在地球同步轨道 上时为3状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：这三个

24、状态下卫星的线速 度大小:向心加速度大小:周期大小O类型题：卫星的追及问题【例题】如右图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星 的周期为门,B行星的周期为门，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（）。A. 经过时间兀+八，两行星将第二次相遇t =代B. 经过时间一冃，两行星将第二次相遇C. 经过时间一2 5 ,两行星第一次相距最远D. 经过时间一二-,两行星第一次相距最远【例题】A、B两行星在同一平而内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半 径为门，B的轨道半径为门，已知恒星质疑为加'，恒星对行星的引力远大于得星间的引力， 两行星的

25、轨道半径n<r2o若在某一时刻两行星相距最近，试求：（1）再经过多少时间两行星距藹又最近？（2）再经过多少时间两行星距离最远？ 类型题：数学知识的使用物理是以数学为基础的。合理使用数学知识，能够使问题简化。甚至在有的问题中，数学知 识起关键作用。1. 用比值法求解相关问题【例题】假设火星和地球都是球体，火星的质量为M火和地球质量M地之比M火/M地=“，火 星半径R火和地球半径R览之比R火/ R那么火星表而重力加速度g火和地球表而重力加 速度g览之比为（A ）P£A. q' B. pq C. qD. pq2. 割补法的使用3代数知识的使用【例题】如图所示，在距一质虽为M、

26、半径为/?、密度均匀的球体中心27?处，有一质量为川 的质点，M对m的万有引力的大小为八 现从M中挖出一半径为厂的球体，如图，00JR/2。 求M中剩下的部分对川的万有引力的大小。a2b2c【例题】地球同步卫星到地心的距离r可由4兀求岀。已知式中a的单位是m, b的单位是s, c的单位是nVs2,则（）A. a是地球半径，b是球自转的周期，c是地球表而处的重力加速度B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度C. a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期。c是地球表面处的重力加速度类型题：会求解卫星运动与光学问题的综合题【例题】某颗地球同步卫星正下方的地球表而上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光 照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤逍）在日落1