苏教平面向量数量积的坐标表示实用教案

1、 1. 1. 数量数量(shling)(shling)积是如何积是如何定义的？定义的？答案答案(d n)：2.2.如何用数量积、模来反映夹角？如何用数量积、模来反映夹角？22aaaaaaa 或或特别地，特别地，第1页/共27页第一页，共27页。运算律有：)()().(2bababaabba. 1cbcacba ).(3 3. 3. 数量积满足什么数量积满足什么(shn me)(shn me)运算律？运算律？第2页/共27页第二页，共27页。 4两平面向量垂直的等价条件是什么？两平面向量垂直的等价条件是什么？ 5两平面向量共线的等价条件又是什么，如两平面向量共线的等价条件又是什么，如 何用坐标表

2、示出来？何用坐标表示出来？0 babababba 使得使得存在唯一的存在唯一的）（0/0/12212211 yxyxbayxbyxa），），（），），（若若第3页/共27页第三页，共27页。探究一：若两个向量为 ，能否用 的坐标来表示他们(t men)的数量积 ？如何表示？二、新课讲授二、新课讲授(jingshu)1122,yy，a= xbx, a ba b第4页/共27页第四页，共27页。），（），），（已知两非零向量已知两非零向量2211yxbyxa ，则有，则有轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴和轴和分别为与分别为与，设设yxjijyixa11 jyixb22 221122122

3、1jyyijyxjiyxixx ）（）（jyixjyixba2211 第5页/共27页第五页，共27页。），（），），（已知两非零向量已知两非零向量2211yxbyxa ，则有，则有轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴和轴和分别为与分别为与，设设yxjijyixa11 jyixb22 ）（）（jyixjyixba2211 2211221221jyyijyxjiyxixx 1100第6页/共27页第六页，共27页。），（），），（已知两非零向量已知两非零向量2211yxbyxa ，则有，则有轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴和轴和分别为与分别为与，设设yxjijyixa11 jyi

4、xb22 ）（）（jyixjyixba2211 2211221221jyyijyxjiyxixx ，1122 j i0 ijji2121yyxxba 两个向量的数量两个向量的数量(shling)积等于它们对应坐标的乘积的积等于它们对应坐标的乘积的和。和。第7页/共27页第七页，共27页。 探究二：从探究二：从 这个式子这个式子(sh zi)，我们可以得到哪些其他结论？，我们可以得到哪些其他结论？两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即即2121yyxxba第8页/共27页第八页，共27页。（1）两向量垂直的坐标）两向量垂直的坐标(zubio)表

5、示表示0 baba），（），），（已知两非零向量已知两非零向量2211yxbyxa 02121 yyxxba注意：与向量共线注意：与向量共线(n xin)的坐标表示区别的坐标表示区别清楚清楚.第9页/共27页第九页，共27页。（2）向量）向量(xingling)的长度的长度（模）（模）公式）公式）（平面内两点间的距离（平面内两点间的距离（3）两向量）两向量(xingling)的夹角的夹角baba cos 夹角为夹角为），（），），（两非零向量两非零向量,2211yxbyxa 121222221122x xy yxyxy 设设a =（x，y），则），则 或或|a |= .2|a22yx 22yx

6、 若设 、 则 11,yxA22,yxBAB212212yyxx第10页/共27页第十页，共27页。3 2( 1) ( 4)10 ：a b解解2223( 1)10 a2222( 4)20 b 2223723ababaa bb02.=( 3, -1) , =( 2, -4) ,3ababab例例1 1 已已知知求求三、例题三、例题(lt)分析分析第11页/共27页第十一页，共27页。想一想的夹角有多大？ba, 3 3, 12, 47,1：3解解a -b =23, 12 2, 41,7 ab 27 ( 1) 1 70 3abab2.=( 3, -1) , =( 2, -4) ,3ababab例例1

7、 已1 已知知求求第12页/共27页第十二页，共27页。变式：已知直线变式：已知直线(zhxin)l1:x-2y=0和和l2:x+3y=0,求直线求直线(zhxin)l1和和l2的夹角的夹角.第13页/共27页第十三页，共27页。解：解：），（ sinsincoscos ba），（ sinsincoscos ba）（ sin(sinsin(sin)coscos)coscos 2222sinsincoscos ） 2222sin(cossincos 0 互相垂直互相垂直与与baba 22)()(bababa 22ba 2222sincossincos 0 互相垂直互相垂直与与baba )()(b

8、aba解解法法二二求证求证(qizhng)2cossincossinab例 、已知（，）， （，）第14页/共27页第十四页，共27页。例例3：已知：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）,求证求证(qizhng) ABC是直角三角形是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证.证证明：明：031) 3(1ACABABC是直角三角形) 1 , 1 ()23 , 12(AB)3 , 3()25 , 12(AC)2 , 4() 35 , 22(BC第15页/共27页第十五页，共27页。变式：变式：2,3 ,1,Rt ABCABACkk中，求 的值.K还有

9、其他(qt)情况吗？若有，算出来。第16页/共27页第十六页，共27页。变式2已知向量 ， ， （1）若点 A、B 、C 能构成三角形，求实数(shsh) 应满足的条件；（2）若ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数(shsh) m的值第17页/共27页第十七页，共27页。探究三探究三. 逆向逆向(n xin)及综合运用及综合运用 例例3 3 （1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），向量），向量(xingling) (xingling) 是垂直于是垂直于 的单位向量的单位向量(xingling)(xingling)，求，求 . .abab./)2 , 1 (,102的坐标，求，且）

10、已知（ababa.43)5 ,(),0 , 3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba. 532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（第18页/共27页第十八页，共27页。变形变形(bin xng)1:已知两单位向量已知两单位向量 的夹角为的夹角为120，若若 求求 夹角夹角的余弦值的余弦值.ab与2,3cab dba，cd 与解：解： 是两个单位向量是两个单位向量 ab与01,120abab 且 与 夹角为1cos1202a ba b 2222222(2)44447cca baa b baa b b 7c第19页/共27页第十九页，共27页。

11、典型典型(dinxng)题选讲题选讲22222(3)9613.13ddb aba bad (2) (3)c da bb a 22232a bab 17 =7 =-1717 91cos1822 7 13c dc d c d（ 是 与 的夹角）说明：本题考查说明：本题考查(koch)平面向量的数量积，向平面向量的数量积，向量的模及相关知识。量的模及相关知识。第20页/共27页第二十页，共27页。.4,3,120 ,2 ,2,(1) c (2) c(3)?ababcab dakbkddcd 已知与 的夹角为且问 为何值时与 的变：夹角为锐角形.0 :的夹角为锐角的夹角为锐角与与不能保证向量不能保证向

12、量注注baba!同向的情况同向的情况与与还要考虑向量还要考虑向量ba第21页/共27页第二十一页，共27页。为何值？为何值？则实数则实数），），（），且（），且（，（），），（）已知）已知（nbabanba 2/21212为何值？为何值？则实数则实数），），（），且（），且（，（），），（）已知）已知（mbabmaba 12431解：解：）（ 1），（mmbma 423），（ 51 ba）（）（babma 0 ）（）（babma054123 ）（）即（即（mm323 m）（）（baba 2/2），（）（42122nba ），（322nba 024321 ）（）（nn21 n练习练习(linx)

13、：第22页/共27页第二十二页，共27页。 3(3)(3,0),( ,5),4kabk若 与 的角是，那么 =ab 夹角为钝角，则 的取值范围为(4)( 2,1),( , 1)(),R 已知若 与 的abab(5)与 =(3,2)垂直的单位向量为 a第23页/共27页第二十三页，共27页。理解和应用向量(xingling)的坐标表示公式解决问题：1、数量(shling)积的坐标表示2121yyxxba2、向量(xingling)坐标表示的求 模公式22222,axyaxy或3、平面内两点间的距 离公式221221)yyxxAB（4、两向量夹角的余弦222221212121cosyxyxyyxx5、向量垂直的判定02121yyxxba四、小结四、小结第24页/共27页第二十四页，共27页。内容小结内容小结向量向量(xingling)形式形式坐标坐标(zubio)形式形