选择性必修第一册第一章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直

1、1 / 18 第第 3 课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系 知识点一 线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1l2u1u2u1 u20. 知识点二 线面垂直的向量表示 设 u 是直线 l 的方向向量，n 是平面 的法向量， l，则 lunr，使得 un. 知识点三 面面垂直的向量表示 设 n1，n2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1n2n1 n20. 1若直线 l的方向向量 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则( ) al bl cl dl

2、与 斜交 答案 b 解析 n2a，an，即 l. 2已知两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 a(31,0,2)，b(1，1，)，若l1l2，则 的值为( ) a1 或12 b1 或12 c1或12 d1或12 答案 d 解析 由题意知，ab， 31220， 1或12. 3(多选)下列命题中，正确的命题为( ) a若 n1，n2分别是平面 ，的法向量，则 n1n2 b若 n1，n2分别是平面 ，的法向量，则 n1 n20 2 / 18 c若 n是平面 的法向量，a 是直线 l的方向向量，若 l与平面 垂直，则 na d若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直 答案 bcd 解析 a中

3、平面 ， 可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知 bcd正确 4平面 与平面 垂直，平面 与平面 的法向量分别为 u(1,0,5)，v(t，5,1)，则 t的值为_ 答案 5 解析 平面 与平面 垂直， 平面 的法向量 u与平面 的法向量 v 垂直， u v0，即1t05510， 解得 t5. 一、证明线线垂直问题 例 1 如图，abc 和bcd 所在平面互相垂直，且 abbcbd2，abcdbc120 ，e，f分别为 ac，dc的中点求证：efbc. 证明 由题意，以点 b 为坐标原点，在平面 dbc 内过点 b 作垂直于 bc 的直线为 x 轴，bc所在直线为 y轴， 在平面 a

4、bc 内过点 b作垂直 bc的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得 b(0,0,0)，a(0，1， 3)，d( 3，1,0)，c(0,2,0)， 因而 e0，12，32，f32，12，0 ， 所以ef32，0，32，bc(0,2,0)， 因此ef bc0.从而efbc，所以 efbc. 3 / 18 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直 跟踪训练 1 已知正三棱柱 abc-a1b1c1的各棱长都为 1，m 是底面上 bc 边的中点，n 是侧棱 cc1上的点，且 cn14cc1.求证：ab1mn. 证明 设

5、ab 的中点为 o，作 oo1aa1.以 o为坐标原点，ob 所在直线为 x 轴，oc所在直线为 y 轴，oo1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 oxyz. 由已知得 a12，0，0 ，b12，0，0 ，c0，32，0 ， n0，32，14，b112，0，1 ， m为 bc的中点， m14，34，0 . mn14，34，14，ab1(1,0,1)， mn ab1140140. mnab1，ab1mn. 二、证明线面垂直问题 例 2 如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是正方形，侧棱 pd底面 abcd，pddc， e为 pc的中点，efbp 于点 f.求证：pb平面

6、efd. 4 / 18 证明 由题意得，da，dc，dp 两两垂直， 所以以 d 为坐标原点，da，dc，dp 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系dxyz，如图， 设 dcpd1，则 p(0,0,1)，a(1,0,0)，d(0,0,0)，b(1,1,0)，e0，12，12. 所以pb(1,1，1)，de0，12，12，eb1，12，12，设 f(x，y，z)， 则pf(x，y，z1)，efx，y12，z12. 因为efpb，所以 xy12z120， 即 xy z0. 又因为pfpb，可设pfpb(01)， 所以 x，y，z1. 由可知，x13，y13，z23， 所以ef1

7、3，16，16. 方法一 因为pb de(1,1，1) 0，12，12012120， 所以pbde ，所以 pbde， 因为 pbef，又 efdee，ef，de平面 efd. 所以 pb平面 efd. 方法二 设 n2(x2，y2，z2)为平面 efd的法向量， 则有 n2 ef0，n2 de0， 即 13x216y216z20，12y212z20， 所以 x2z2，y2z2.取 z21，则 n2(1，1,1) 5 / 18 所以pbn2，所以 pb平面 efd. 反思感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 将直线的方向向量用坐标表示 找出平面内两条相交直线，并用坐标表示

8、它们的方向向量 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直 (2)利用平面的法向量 将直线的方向向量用坐标表示 求出平面的法向量 判断直线的方向向量与平面的法向量平行 跟踪训练 2 如图所示，在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f 分别是 bb1，d1b1的中点求证：ef平面 b1ac. 证明 设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 a(2,0,0)，c(0,2,0)，b1(2,2,2)，e(2,2,1)，f(1,1,2) ef(1,1,2)(2,2,1) (1，1,1) ab1(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)， ac(0,2,0)(2,0,0)(2,2

9、,0) 设平面 b1ac 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n ab12y2z0，n ac2x2y0， 令 x1得 n(1,1，1)， 又efn， 6 / 18 efn， ef平面 b1ac. 三、证明面面垂直问题 例 3 在四棱锥 sabcd 中，底面 abcd 是正方形，as底面 abcd，且 asab，e 是sc的中点求证：平面 bde平面 abcd. 证明 设 asab1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 b(1,0,0)，d(0,1,0)，a(0,0,0)，c(1,1,0)，s(0,0,1)，e12，12，12. 方法一 连接 ac，交 bd于点 o，连接 oe， 则点 o的坐标

10、为12，12，0 . 易知as(0,0,1)，oe0，0，12， 所以oe12as， 所以 oeas. 又 as平面 abcd，所以 oe平面 abcd. 又 oe平面 bde，所以平面 bde平面 abcd. 方法二 设平面 bde 的法向量为 n1(x，y，z) 易知bd(1,1,0)，be12，12，12， 所以 n1bd，n1be， 即 n1 bdxy0，n1 be12x12y12z0. 令 x1，可得平面 bde的一个法向量为 n1(1,1,0) 因为 as底面 abcd，所以平面 abcd的一个法向量为 n2as(0,0,1) 因为 n1 n20，所以平面 bde平面 abcd.

11、反思感悟 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明 7 / 18 (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练 3 在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f分别是 bb1，cd 的中点 求证：平面 aed平面 a1fd1； 证明 以 d 为坐标原点，分别以 da，dc，dd1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 dxyz. 设正方体的棱长为 2，则 d(0,0,0)，a(2,0,0)，e(2,2,1)，f(0,1,0)，a1(2，0,2)，d1(0,0,2)， dad1a1(2,0,0)，de(2,2,1

12、)，d1f(0,1，2) 设平面 aed 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1) 由 n1 da(x1，y1，z1) (2，0，0)0，n1 de(x1，y1，z1) (2，2，1)0， 得 2x10，2x12y1z10.令 y11，得 n1(0,1，2) 同理，平面 a1fd1的一个法向量为 n2(0,2,1) n1 n2(0,1，2) (0,2,1)0，n1n2， 平面 aed平面 a1fd1. 1若平面 ， 的法向量分别为 a(2，1,0)，b(1，2，0)，则 与 的位置关系是( ) a平行 b垂直 c相交但不垂直 d无法确定 答案 b 解析 a b2200，ab，. 2已知平面 的

13、法向量为 a(1,2，2)，平面 的法向量为 b(2，4，k)，若 ，则 k等于( ) a4 b4 c5 d5 答案 d 解析 ，ab，a b282k0. k5. 8 / 18 3如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为 2，点 e 是棱 ab 的中点，点 f(0，y，z)是正方体的面 aa1d1d 上一点，且 cfb1e，则点 f(0，y，z)满足方程( ) ayz0 b2yz10 c2yz20 dz10 答案 d 解析 e(1,0,0)，b1(2,0,2)，c(2,2,0)， 所以b1e(1,0，2)，cf(2，y2，z)， 因为 cfb1e，所以b1e cf0， 即 22z0，即 z1.

14、4.如图，在长方体 abcda1b1c1d1中，ab2，aa1 3，ad2 2，p 为 c1d1的中点，m 为 bc 的中点，则 am与 pm 的位置关系是_ 答案 pmam 解析 以 d 为原点，分别以 da，dc，dd1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 dxyz， 依题意可得，d(0,0,0)，p(0,1， 3)，a(2 2，0,0)，m( 2，2,0)， 所以pm( 2，2,0)(0,1， 3)( 2，1， 3)，am( 2，2,0)(2 2，0,0)( 2，2,0)， 所以pm am( 2，1， 3) ( 2，2,0)0， 所以 pmam. 9 / 18

15、 5在三棱锥 sabc 中，sabsacacb90 ，ac2，bc 13，sb 29，则直线 sc与 bc 是否垂直_(填“是”“否”) 答案 是 解析 如图，以 a 为坐标原点，平行于 bc 的直线为 x 轴，ac，as 所在直线分别为 y 轴，z轴建立空间直角坐标系 axyz， 则由 ac2，bc 13，sb 29， 得 b( 13，2,0)，s(0,0，2 3)，c(0,2,0)， sc(0,2，2 3)， cb( 13，0,0) 因为sc cb0，所以 scbc. 1知识清单： (1)线线垂直 (2)线面垂直 (3)面面垂直 2方法归纳：转化法、法向量法 3常见误区：直线的方向向量、平

16、面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混 1设直线 l1，l2的方向向量分别为 a(2,2,1)，b(3，2，m)，若 l1l2，则 m 等于( ) a2 b2 c10 d6 答案 c 解析 因为 ab，所以 a b0， 即232(2)m0， 解得 m10. 10 / 18 2若平面 ， 的法向量分别为 a(1,2,4)，b(x，1，2)，且 ，则 x 的值为( ) a10 b10 c.12 d12 答案 b 解析 因为 ，所以它们的法向量也互相垂直， 所以 a b(1,2,4) (x，1，2)0， 解得 x10. 3已知点 a(0,1,0)，b(1,0，1)，c(2,1,1)，p(x，0

17、，z)，若 pa平面 abc，则点 p 的坐标为( ) a(1,0，2) b(1,0,2) c(1,0,2) d(2,0，1) 答案 c 解析 由题意知ab(1，1，1)，ac(2,0,1)，ap(x，1，z)，又 pa平面abc，所以有ab ap(1，1，1) (x，1，z)0，得x1z0. ac ap(2,0,1) (x，1，z)0，得 2xz0， 联立得 x1，z2，故点 p 的坐标为(1,0,2) 4在正方体 abcd-a1b1c1d1中，若 e 为 a1c1的中点，则直线 ce 垂直于( ) abd bac ca1d da1a 答案 a 解析 以 d为坐标原点，da，dc，dd1所在

18、直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 dxyz.设正方体的棱长为 1. 则 c(0,1,0)，b(1,1,0)，a(1,0,0)，d(0,0,0)，c1(0,1，1)，a1(1,0,1)，e12，12，1 ， ce12，12，1 ，ac(1,1,0)， bd(1，1,0)，a1d(1,0，1)，a1a(0,0，1)， 11 / 18 ce bd(1)12(1)12010， cebd. 5(多选)在正方体 abcda1b1c1d1中，o 是底面 abcd 的中心，m，n 分别是棱 dd1，d1c1的中点，则直线 om( ) a和 ac垂直 b和 aa1垂直 c和 mn 垂直 d

19、与 ac，mn 都不垂直 答案 ac 解析 以 d为原点，da，dc，dd1所在的直线为 x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为 2a， 则 d(0,0，0)，d1(0,0,2a)，m(0,0，a)，a(2a，0,0)，c(0,2a，0)，o(a，a，0)，n(0，a，2a) om(a，a，a)，mn(0，a，a)，ac(2a，2a，0) om mn0，om ac0， omac，ommn.om 和 aa1显然不垂直， 故选 ac. 6已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量 u(1，3，z)，向量 v(3，2,1)与平面 平行，则 z_. 答案 9 解析 由题意得

20、 uv，u v36z0， z9. 7在空间直角坐标系中，已知直角三角形 abc 的三个顶点为 a(3，2,1)，b(1，1，1)，c(5，x，0)，则 x的值为_ 答案 0或 9 解析 a(3，2,1)，b(1，1，1)，c(5，x，0)， ab(2,1，2)，bc(4，x1,1)，ac(2，x2，1) 分三种情况： 12 / 18 a为直角，ab ac0，4x220，x0； b为直角，ab bc0，8x120，x9； c 为直角，ac bc0，8(x1)(x2)10，x23x90，方程无解 综上，x的值为 0或 9. 8在abc 中，a(1，2，1)，b(0，3,1)，c(2，2,1)若向量

21、 n 与平面 abc 垂直，且|n| 21，则 n 的坐标为_ 答案 (2,4,1)或(2，4，1) 解析 据题意，得ab(1，1,2)，ac(1,0,2) 设 n(x，y，z)，n 与平面 abc 垂直， n ab0，n ac0，即 xy2z0，x2z0，可得 xy2，zy4. |n| 21， x2y2z2 21， 解得 y4或 y4. 当 y4 时，x2，z1；当 y4 时，x2，z1. n 的坐标为(2,4,1)或(2，4，1) 9.如图，在四面体 aboc中，ocoa，ocob，aob120 ，且 oaoboc1，设p为 ac的中点，q在 ab上且 ab3aq，证明：pqoa. 证明

22、如图，连接 op，oq，pq，取 o 为坐标原点，以 oa，oc 所在直线为 x 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 oxyz(如图所示) 则 a(1,0,0)，c(0,0,1)，b12，32，0 . p为 ac 的中点，p12，0，12. 13 / 18 ab32，32，0 ， 又由已知，可得aq13ab12，36，0 . 又oqoaaq12，36，0 ， pqoqop0，36，12. pq oa0，pqoa，即 pqoa. 10.如图，在四棱锥 eabcd 中，ab平面 bce，cd平面 bce，abbcce2cd2，bce120 ， 求证：平面 ade平面 abe. 证明 取 be 的中点

23、o，连接 oc， 又 ab平面 bce， 所以以 o 为原点建立空间直角坐标系 oxyz(如图所示) 则有 c(1,0,0)，b(0， 3，0)，e(0， 3，0)，d(1,0,1)，a(0， 3，2) 于是ae(0，2 3，2)，da(1， 3，1) 设平面 ade 的法向量为 n(a，b，c)， 则 n ae(a，b，c) (0，2 3，2)2 3b2c0， n da(a，b，c) (1， 3，1)a 3bc0. 令 b1，则 a0，c 3， 所以 n(0,1， 3) 又 ab平面 bce，oc平面 bce， 所以 aboc. 因为 beoc，abbeb，ab，be平面 abe， 所以 o

24、c平面 abe. 14 / 18 所以平面 abe的法向量可取为 m(1,0,0) 因为 n m(0,1， 3) (1,0,0)0，所以 nm， 所以平面 ade平面 abe. 11在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f 分别在 a1d，ac 上，且 a1e23a1d，af13ac，则( ) aef 至多与 a1d，ac 中的一个垂直 befa1d，efac cef 与 bd1相交 def 与 bd1异面 答案 b 解析 以 d 为坐标原点，分别以 da，dc，dd1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 dxyz， 设 正 方 体 的 棱 长 为 1 ， 则 a1(1,

25、0,1) ， d(0,0,0) ， a(1,0,0) ， c(0,1,0) ， e13，0，13，f23，13，0 ，b(1,1,0)，d1(0,0,1)， a1d(1,0，1)，ac(1,1,0)， ef13，13，13，bd1(1，1,1)， ef13bd1，a1d ef0，ac ef0， 从而 efbd1，efa1d，efac，故选 b. 12如图，pa平面 abcd，四边形 abcd 为正方形，e 是 cd 的中点，f 是 ad 上一点，当 bfpe 时，affd 的比值为( ) a.12 b1 c3 d2 15 / 18 答案 b 解析 以 a 为坐标原点，ab，ad，ap 所在直线

26、分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 axyz， 设正方形边长为 1，paa， 则 b(1,0,0)，e12，1，0 ，p(0,0，a) 设点 f的坐标为(0，y，0)， 则bf(1，y，0)，pe12，1，a . 因为 bfpe，所以bf pe0， 解得 y12，即点 f的坐标为0，12，0 ， 所以 f为 ad的中点，所以 affd11. 13.如图，四棱锥 pabcd 的底面 abcd是边长为 1 的正方形，pd底面 abcd，且 pd1，若 e，f分别为 pb，ad的中点，则直线 ef与平面 pbc 的位置关系是_ 答案 垂直 解析 以 d 为原点，da，dc，

27、dp 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则 p(0,0,1)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，e12，12，12，f12，0，0 ， ef0，12，12， 设 平 面pbc的 一 个 法 向 量n (x ， y ， z) ， 则 n pbxyz0，n bcx0， 取 y1，则 z1， 平面 pbc的法向量 n(0,1,1)， ef12n， efn， 16 / 18 ef平面 pbc. 14.如图，已知点 e，f 分别是正方体 abcda1b1c1d1的棱 ab，aa1的中点，点 m，n分别是线段 d1e，c1f 上的点，则与平面 abcd垂直的直线 mn有_条

28、答案 1 解析 假设存在满足条件的直线 mn，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为 2，则 d1(2,0,2)，e(1,2,0)， 设 m(x，y，z)，d1mmd1e(0m1)， 所以(x2，y，z2)m(1,2，2)，x2m，y2m，z22m， 所以 m(2m，2m，22m)， 同理，若设c1nnc1f(0n1)，可得 n(2n，2n，2n)， mn(m2n2,2n2m，2mn)， 又因为 mn平面 abcd，cd(2,0,0)，cb(0,2,0)， 所以 m2n20，2n2m0，解得 m23，n23， 即存在满足条件的直线 mn，有且只有一条 15如图，在三棱柱 abca1b1c1中，侧棱 aa1底面 a1b1c1，bac90 ，abacaa11，d是棱 cc1的中点，p是 ad的延长线与 a1c1的延长线的交点，若点 q在线段 b1p上，则下列结论正确的是( ) a当点 q为线段 b1p 的中点时，dq平面 a1bd 17 / 18 b当点 q为线段 b1p的三等分点时，dq平面 a1bd