高二数学数学归纳法[指南]

1、1.4数学归纳法教学过程：一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛" 的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什 么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法-一归纳法，这就是 今天的课题.人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出 什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是口球，还是黑 球，请问怎么判断？启发回答：方法一：把它全部倒出来看一看特点：方法是正确的，但操作 上缺乏顺序性.方法二：一个一个拿，拿一个看一个.比如结果为：

2、第一个白球，第二个白球，第三个白球，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球.特点：有顺序，有过程.2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球 是白球，还是黑球，上述方法可行吗?情境三：冋顾等差数列仇通项公式推导过程：=ala2 = q +dg3 = 4 + 2da4 =色 + 3dan = a】+ (n _ l)d设计意图：首先设计情境一，分析情境，自然引出课题一一归纳 法，谈笑间进入正题再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学 生学习的积极性情境三点出两种归纳法的不同特点通过梳理我们 熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引岀打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问

3、题的思考和解决，用的都是归纳法什么是归纳 法？归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点： 由特殊f 一般；2. 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳 法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般 结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用.例如气象工作者、 水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报, 地震预测用的就是归纳法.4. 引导学生举例：不完全归纳法实例：如欧拉发现立休图形的欧拉公 式:v-£ + f = 2(

4、r为顶点数,f为棱数，尸为面数)(2)完全归纳法实例：如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内 部、外部及一边上三种情况讨论.设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知 识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例， 进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已 接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围屮.三、借助史料，引申思辨问题 1：已知= (/i? _5m + 5)2 ( /?e ao,(1) 分别求; a2;如；勺(2) 由你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2：费马j fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几

5、何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人z-,是 概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献.他曾认为，当nn 时，2才+1 定都是质数，这是他对/7=0, 1, 2, 3, 4作了验证后得 到的.后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(euler却证明了 2»+1 =4 294 967 297 = 6 700 417x641,从而否定了费马的推测.没想 到当27=5这一结论便不成立.教师总结：有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法冋答的但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上!问题3 : /(h) = n2 +« + 41,当nw n时，/是否都为质数

6、？验证：r (0) =41, r (1) =43, r (2) =47, /(3) =53, f(4) =61, f (5) =71, f (6) =83, f (7) =97, f (8) =113, / (9) =131, / (10) =151,，f (39) =1 601.但是 f (40) =1 681 = 41?,是合数.承上启下：这里算了 39个数不算少了吧，但还是不行！我们介 绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅， 也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因， 并研究出对策來,寻求数学证明.教师设问：，不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不

7、足？怎么 给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学 生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳 法的普遍性.同吋引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常 常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此.那么， 不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？结论止确 性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：(1) 第一块要倒下；(2) 当前面一块倒下吋，后面一块必须倒下；当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则

8、生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等.2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正 整数命题的方法(建立数学模型).设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习” 强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现 数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习.另外，这个环节里, 我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好.应该让学 生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯 定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服 务的。概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出：思维都是在概括 中完成的.心理学认为“迁移就是概括”，这

9、里知识、技能、思维方 法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程.五、类比联想，形成概念1、类比多米诺骨牌过程，证明等差数列通项公式 q” =也+5-l)d (师生共同完成，教师强调步骤及注意点)(1) 当门=1时等式成立；(2) 假设当n=k时等式成立,即ak =a+(k-l)d, 则畋+i =ak +d二a】 +(k + l)-ld ,即刃=斤+1时等式也成立于是，我们可以下结论：等差数列的通项公式afl=a+（n-）d对任 何nwv都成立.2. 数学归纳法原理（学生表述，教师补正）:（1）（递推奠基）:门取第一个值心（例如如=1）时命题成立;（2）（递推归纳）：假设当且力三灿）时结论止

10、确；（归 纳假设）利用它证明当尸后1时结论也正确.（归纳证明）由（1）, （2）可知，命题对于从必开始的所有正整数门都正确，这 种证明方法叫做数学归纳法.3、数学归纳法的本质：无穷的归纳一有限的演绎（递推关系）设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程教师强调数学归纳法特点.数学归纳法实际上是一种 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化 为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一 种具普遍性的方法.六、讨论交流，深化认识例1、数列仏中，=1, a十匕通项公式是什么？你是怎么得到的？探讨一：观察数列仏特点，变形解岀.探讨二：先计

11、算勺，吗，©的值，再推测通项的公式，最后用数学归纳法证明结论.设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“观察一 归纳一猜想一证明”完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能 使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力.不 同的方法也体现解决问题的灵活性.七、反馈练习，巩固提高（请两位同学板演以下两题，教师指正）1、用数学归纳法证明：1 + 3 + 5 + （2/7-1） =/2、首项是，公比是q的等比数列的通项公式是an=a.q3、用数学归纳法证明:2 + 4 + 6 + 2 =兀2+ + i时,下列推证 是否正确，说出理由？证明：假设 吋，等式成立2 + 4

12、+ 6 + + 2k =+ k +1 jjfe.v.那么 2 + 4 + 6 + + 2p+2（r + l）=k2 +比 + 1 + 2依 + 1）二（比 + 1）2 +（£ + 1）+1这就是说当n = k + 时等式成立，所以 w n"吋等式成立.4、判断下列推证是否ie确，若是不对，如何改正.求证:冷+”+£证明：当严1时，左边弓右边等式成立.设丹时,有*+*+*+.+存1_（那么，当n二后1时，有1丄1丄1丄丄11°2 22 23 2k 2a+,1-=1-，即n=k+l时，命题成立 根据可知，对nen等式成立.设计意图：练习题1, 2的证明难度不

13、大，套用数学归纳法的证 明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤 的掌握情况.这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同 时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充.通过3, 4的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论,“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉” 八、总结归纳，加深理解1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归 纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元索，而不完全归 纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推（递归）思 想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假 设要用到，结论写明莫忘掉；4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证思想.九、布置作业，课外延伸十、书而作业：见教材课后思考题：1.是否存在常数3、b、c使得等式：1 9ix3 + 2x4 + 3x5 +